高等數(shù)學(xué)：7-1 向量及其線性運(yùn)算

1、1第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)幾何空間中的一些圖形與方程對(duì)應(yīng)起來(lái)幾何空間中的一些圖形與方程對(duì)應(yīng)起來(lái),用代用代數(shù)方法研究了幾何問(wèn)題數(shù)方法研究了幾何問(wèn)題.討論如下幾個(gè)問(wèn)題討論如下幾個(gè)問(wèn)題:1. 向量、向量的一些運(yùn)算向量、向量的一些運(yùn)算;2. 空間中的平面與直線空間中的平面與直線;3. 空間中的一些曲面和曲線空間中的一些曲面和曲線;4. 二次曲面二次曲面.在平面解析幾何中在平面解析幾何中,本章把這種方法運(yùn)用到三維幾何空間本章把這種方法運(yùn)用到三維幾何空間,曾通過(guò)坐標(biāo)法把二維曾通過(guò)坐標(biāo)法把二維2第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算向量概念向量概念向量的向量的線性運(yùn)

2、算線性運(yùn)算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)作向量的利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量的模向量的模 方向角方向角第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)3向量向量既有既有向量表示向量表示a模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1的向量的向量.21MM00a零向量零向量 模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0的向量的向量.0|a21MM| |向量的模向量的模向量的大小向量的大小.單位向量單位向量或或或或或或的量的量.又有又有大小大小方向方向a以以1M為起點(diǎn)為起點(diǎn),2M為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的有向線段有向線段.21MM1M 2M 一、向量概念一、向量概念向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算(vector)

3、(module)4自由向量自由向量不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量相等向量 大小相等大小相等且且方向相同方向相同的向量的向量.負(fù)向量負(fù)向量 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a aba a向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算ba 記作記作5加法加法cba （平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地特殊地 若若ab|bac 分為同向和反向分為同向和反向|bac （平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）(1)加法定義加法定義二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加減法向量的加減法向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算abba a

4、bbacaabbcb6 (2) 向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律交換律交換律 ba結(jié)合律結(jié)合律 cba);(cba . 0)( aa減法減法 baabb b cbabac )(3) 減法定義減法定義;ab cba)()( b ac向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算abba ba 7, 0 |;|aa , 0 ; 0 a , 0 . |aa aa2a21 2. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 (簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算)注注向量向量a a 向量的向量的“伸縮伸縮”,是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù)設(shè)設(shè) 向量向量 與與a的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為aa與與 同向同向,aa與與 反向反向,為為向量向

5、量.與數(shù)與數(shù)的乘積的乘積向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算8(2) 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律結(jié)合律結(jié)合律 )(a ;)(a分配律分配律 a)( 第一分配律第一分配律 )(ba 第二分配律第二分配律 )( a ;aa .ba 線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算由向量由向量 常用數(shù)乘運(yùn)算說(shuō)明常用數(shù)乘運(yùn)算說(shuō)明兩向量平行關(guān)系兩向量平行關(guān)系(兩向量共線的充要條件兩向量共線的充要條件):定理定理1.ab 使使a a與與平行平行,設(shè)向量設(shè)向量 ab則則存在唯一的實(shí)數(shù)存在唯一的實(shí)數(shù) , |aa aaa就就是是與與|a0 同方向的同方向的單位向量單位向量. 記作記

6、作0,a 9下列命題是否正確下列命題是否正確錯(cuò)錯(cuò),錯(cuò)錯(cuò),(1) ji 2. 1,0)2( aaa時(shí)時(shí)選擇題選擇題 設(shè)設(shè)向量向量 互相平行互相平行,但是但是方向相反方向相反,則當(dāng)則當(dāng)ba,0| ba|;| )(babaA ( )| |;()| |.CababDababA沒有定義向量的除法沒有定義向量的除法.向量不能比較大小向量不能比較大小, 只有模才能比較大小只有模才能比較大小.時(shí)時(shí), 必有必有( )向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算( )| |;Babab10例例 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(ba252 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算11例

7、例 試用向量方法證明試用向量方法證明:對(duì)角線互相平分的四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形必是平行四邊形.證證ABCD MAMMC BMMD AD AM MDMC BMBC 結(jié)論得證結(jié)論得證.BCAD且且BCAD 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算12上兩式相減得：上兩式相減得：, cba , acca ,)1()1(ca . 01, 01 且且故故只只能能1, 1 即即 設(shè)設(shè) 均均為非零向量為非零向量,其中任意兩個(gè)向量其中任意兩個(gè)向量 不共線不共線, 但但 與與 共線共線, 與與 共線共線. 證明：證明：cba,ba ca. 0 cba證證. 0 cba,acb 為常數(shù)為常數(shù).不共線不共

8、線與與而而ca向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算bc13x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)O空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系, 三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)坐標(biāo)軸的點(diǎn)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)或原點(diǎn))正方向符合正方向符合右手系右手系即以右手握住即以右手握住 z 軸軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指 從正向從正向x軸以軸以 2 角度角度轉(zhuǎn)向正向轉(zhuǎn)向正向y 軸時(shí)軸時(shí), 大大拇指的指向就是拇指的指向就是z軸軸的正向的正向. 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系1.1.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)ijkOxyz稱稱坐標(biāo)系坐標(biāo)系 或或,;kjiO坐標(biāo)系坐標(biāo)系.向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算14x

9、yzO向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限面面xOy面面yOz面面zOx15空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算OxyzB), 0(zyR), 0 , 0(zA)0 ,(yxQ)0 , 0(yP)0 , 0 ,(x ),(zyxM16(3) 點(diǎn)點(diǎn)M(2, - -3, 1)關(guān)于關(guān)于y 軸軸的對(duì)稱點(diǎn)是的對(duì)稱點(diǎn)是( ). (1) 點(diǎn)點(diǎn)M(2, - -3, 1)關(guān)于關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)

10、稱點(diǎn)是的對(duì)稱點(diǎn)是( );選擇題選擇題(2) 點(diǎn)點(diǎn)M(2, - -3, 1)關(guān)于關(guān)于xOy面面的對(duì)稱點(diǎn)是的對(duì)稱點(diǎn)是( ) ;(A) (- -2, 3, - -1); (B) (- -2, - -3, - -1);(C) (2, -3-3, - -1); (D) (- -2, 3, 1).ACB向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算17 P?21 MMd 21PM、設(shè)設(shè)),(1111zyxM),(2222zyxM為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn). 2PN22NM 2d在直角三角形在直角三角形21NMM 和和PNM1 中中, 用用勾股定理勾股定理,121xxPM ,12yyPN 122zzNM 向量及其線性運(yùn)算向量及

11、其線性運(yùn)算2.空間兩點(diǎn)間點(diǎn)的距離空間兩點(diǎn)間點(diǎn)的距離22221NMPNPMd 21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式xyzO2M 1M RQ N d18若兩點(diǎn)分別為若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd 222zyx 特殊地特殊地向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算向徑向徑空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)M與原點(diǎn)構(gòu)成的與原點(diǎn)構(gòu)成的向量向量. OM常用常用r表示表示. 21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式19解解 設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為)0 , 0 ,(x 1PP2223)2( x112 x

12、2PP2221)1( x22 x 1PP22PP112 x222 x1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為),0 , 0 , 1()0 , 0 , 1( 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算例例)3 , 2, 0(,1PxP它到點(diǎn)它到點(diǎn)軸上軸上在在設(shè)設(shè)的距離為到的距離為到)1, 1 , 0(2 P點(diǎn)點(diǎn)的距離的兩倍的距離的兩倍,求點(diǎn)求點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo).201. 兩向量的夾角的概念兩向量的夾角的概念, 0 a0 bab ),(ba ),(ab )0( 類似地類似地,特殊地特殊地,可定義可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí), 規(guī)定規(guī)定它們的夾角

13、可在它們的夾角可在 與與0之間任意取值之間任意取值.向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算向量向量a與向量與向量b的夾角的夾角四、利用坐標(biāo)作向量的四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算21空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作軸作軸u的垂直平面的垂直平面,即為點(diǎn)即為點(diǎn)A在軸在軸u上上A 交點(diǎn)交點(diǎn)的的投影投影.向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影軸軸u稱為投影軸稱為投影軸.已知向量的起點(diǎn)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)和終點(diǎn)B在軸在軸u上的投影分別為上的投影分別為BA ,那么軸那么軸u上的有向線段上的有向線段BA 的值的值, 稱為向量在軸稱為向量在軸u上的上

14、的投影投影.2.向量在軸上的投影向量在軸上的投影 AA B A uAB22ABjuPrBA ABjuPr cos| AB Projection在軸在軸u上的上的向量向量AB軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：向量向量AB在軸在軸u上的上的投影投影記為記為投影性質(zhì)投影性質(zhì)1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算uAB)(投影有正、投影有正、注注負(fù)之分負(fù)之分;模只為非負(fù)值模只為非負(fù)值. cos|)(ABABu B A ABuu B 23 )(Pr21aaju（可推廣到有限多個(gè)）（可推廣到有限多個(gè)） )(Praju 兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量?jī)?/p>

15、個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影之和在該軸上的投影之和. 1Praju2PrajuajuPr 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算投影性質(zhì)投影性質(zhì)2 2投影性質(zhì)投影性質(zhì)3 324112,OuABu u是軸 坐標(biāo)原點(diǎn)、 坐標(biāo)依次為.的的兩兩個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)證證,1uA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為因點(diǎn)因點(diǎn)同同理理于是于是例例,1uOA 即即故故向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算.)(:12euuAB 證證明明,1euOA .2euOB OAOBAB u OB 2uA 1u),(如圖如圖同方向的單位向量同方向的單位向量是與軸是與軸uee2121() .u eu euu e253. 向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量

16、的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)上上投投影影分分別別在在軸軸點(diǎn)點(diǎn)uMM21,.,21PP為為點(diǎn)點(diǎn)uPP在在軸軸又又設(shè)設(shè)21,.,21uu.121221uuOPOPPP 而而.12uuau 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算,21為為一一向向量量設(shè)設(shè)MMa 上上在在軸軸由由向向量量uMM21 )(21MM的投影的投影.ua如如 是與軸是與軸 u正向一致的單位向量正向一致的單位向量, e因此因此可知可知:.)(12euu eaPPu21上坐標(biāo)分別為上坐標(biāo)分別為1P2P1M2MuO)(1u)(2u26kajaiaazyx 12xxax 12yyay 12zzaz 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)

17、算),(1111zyxM),(2222zyxM起點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)PNQR,21MMa 向量在向量在x軸上的投影軸上的投影向量在向量在y軸上的投影軸上的投影向量在向量在z軸上的投影軸上的投影 21MMa按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：kzzjyyixx)()()(121212 向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式： 21MMa),(121212zzyyxx 坐標(biāo)坐標(biāo)坐標(biāo)坐標(biāo)坐標(biāo)坐標(biāo) x軸軸分向量分向量 y軸軸分向量分向量 z軸軸分向量分向量特殊地特殊地),(zyxOM xyzO 1M 2Maijk27),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa

18、),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算4. .利用坐標(biāo)作向量的利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算28由由按坐標(biāo)表示式即為按坐標(biāo)表示式即為: zzyyxxababab 當(dāng)分母為零理解為分子也為零當(dāng)分母為零理解為分子也為零.注注向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算也即向量也即向量 與與 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例: ba定理定理.ab 使使設(shè)向量設(shè)向量 ab則則存在唯一的實(shí)數(shù)存在唯一的實(shí)數(shù) (,)(,)xyzxyzb b ba

19、aa0,a 29解解 AM MB設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)為直線上的點(diǎn),oxyzAB向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算例例 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)),(),(222111zyxBzyxA和和以及實(shí)數(shù)以及實(shí)數(shù), 1 在直線在直線AB上求點(diǎn)上求點(diǎn)M, 使使MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx ,121 xxx,121 yyy.121 zzz同理同理,得得的定比分點(diǎn)的定比分點(diǎn)為有向線段為有向線段ABMM 30非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱之為非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱之為非零向量非零向量 的的方向

20、角方向角：a 、 、 ,0 ,0 .0 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角(direction angle )xyzO 1M 2Ma 31由圖分析可知由圖分析可知 xa ya za向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦方向余弦222|zyxaaaa 向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算(direction cosine )通常用來(lái)表示向量的方向通常用來(lái)表示向量的方向. cos|a cos|a cos|axyzO 1M 2Ma PQR320222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zy

21、xxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式 cos|aax cos|aay cos|aaz 1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征(cos , cos, cos )|aa特殊地特殊地向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算oa33解解222)6(76| a11 |aa 0akji116117116 或或0a|aa kji116117116 a所求向量有兩個(gè)所求向量有兩個(gè),一個(gè)與一個(gè)與同向同向,一個(gè)與一個(gè)與a反向反向.向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算|aa oa求平行于向量求平行于向量的單位向量的單位向量k

22、jia676 例例的分解式的分解式.34解解 、 、 ,3 4 1coscoscos222 21cos ,3 32 22cos ,21cos 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算設(shè)有向量設(shè)有向量例例,21PP已知已知, 2|21 PP它與它與x軸和軸和y軸的軸的夾角分別為夾角分別為,43 和和如果如果P1的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,0,3),求求P2的坐標(biāo)的坐標(biāo).設(shè)向量設(shè)向量21PP的方向角為的方向角為35|)(cos2121PPPP cos21 x21, 2 x cos20 y22 , 2 y23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 |121PPx 向量及其線性運(yùn)算向

23、量及其線性運(yùn)算),3 , 0 , 1(1P2|21 PP設(shè)設(shè)P2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyxx|021PPy cos|321PPz P2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為36解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji15713 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算,742,853kjinkjim 設(shè)設(shè),45kjip 求向量求向量例例x軸上的軸上的pnma 34投影及在投影及在y軸上的分向量軸上的分向量.在在x軸上的投影為軸上的投影為,13 xa在在y軸上的分向量為軸上的分向量為7 .ya jj 37向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算六、小結(jié)六、小結(jié)向量的概念向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算（注意（注意:與數(shù)量的區(qū)別與記法）與數(shù)量的區(qū)別與記法）(平行四邊形法則平行四邊形法則, 三角形法則三角形法則, 注意數(shù)乘后的注意數(shù)乘后的方向方向)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式(注意它與平面直角坐標(biāo)系的注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別區(qū)別)(點(diǎn)、坐