第11章二叉樹模型入門

1、.工程學(xué) 2008年9月11.1二叉樹模型入門二叉樹模型入門Chapter 11.工程學(xué) 2008年9月11.211.1 單步二叉樹模型單步二叉樹模型l一只股票現(xiàn)價一只股票現(xiàn)價$20l三個月內(nèi)價格為三個月內(nèi)價格為 $22 或或 $18股票價格= $22股票價格 = $18股票價格= $20.工程學(xué) 2008年9月11.3Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?看漲期權(quán)看漲期權(quán)(Figure 11.1)一只三月期股票的看漲期權(quán)執(zhí)行價格為一只

2、三月期股票的看漲期權(quán)執(zhí)行價格為21.工程學(xué) 2008年9月11.4l考慮資產(chǎn)組合考慮資產(chǎn)組合: D D 股票股票 + short 1 call optionl當(dāng)當(dāng)22D D 1 = 18D D時，時，資產(chǎn)組合是無資產(chǎn)組合是無風(fēng)險的，風(fēng)險的， 此時此時D D = 0.2522D 118D配置一個無風(fēng)險資產(chǎn)組合配置一個無風(fēng)險資產(chǎn)組合.工程學(xué) 2008年9月11.5資產(chǎn)組合的估值資產(chǎn)組合的估值(無風(fēng)險利率為無風(fēng)險利率為 12%)l無風(fēng)險資產(chǎn)組合為無風(fēng)險資產(chǎn)組合為: 股票為股票為 0.25份份賣空賣空1份看漲期權(quán)份看漲期權(quán)l(xiāng)三個月后組產(chǎn)組合的價值為三個月后組產(chǎn)組合的價值為22 0.25 1 = 4.5

3、0l資產(chǎn)組合現(xiàn)值為資產(chǎn)組合現(xiàn)值為 4.5e 0.120.25 = 4.3670.工程學(xué) 2008年9月11.6期權(quán)估價期權(quán)估價l包括包括0.25份股票和一份看漲期權(quán)空頭份股票和一份看漲期權(quán)空頭的組合的期初價值為的組合的期初價值為 4.367l其中，股票價值為其中，股票價值為5.000 (= 0.25 20 )l期權(quán)的價值因此為期權(quán)的價值因此為0.633 (= 5.000 4.367 ).工程學(xué) 2008年9月11.7推廣推廣(Figure 11.2)一個關(guān)于一種股票的衍生品持有時間一個關(guān)于一種股票的衍生品持有時間TSu uSd dS.工程學(xué) 2008年9月11.8推廣推廣 l假設(shè)資產(chǎn)組合由假設(shè)

4、資產(chǎn)組合由D D份股票和份股票和1份衍生品空頭構(gòu)成份衍生品空頭構(gòu)成l當(dāng)當(dāng)SuD D u = Sd D D d，資產(chǎn)組合是無風(fēng)險的，即資產(chǎn)組合是無風(fēng)險的，即D udfSuSdSuD uSdD d.工程學(xué) 2008年9月11.9推廣推廣lT時刻資產(chǎn)組合的價值為時刻資產(chǎn)組合的價值為 Su D D ul資產(chǎn)組合的貼現(xiàn)值為資產(chǎn)組合的貼現(xiàn)值為 (Su D D u )erTl資產(chǎn)組合的構(gòu)建成本資產(chǎn)組合的構(gòu)建成本 S D D fl因此因此 = S D D (Su D D u )erT .工程學(xué) 2008年9月11.10推廣推廣 l替換替換D D 就得到就得到 = p u + (1 p )d erT其中：其中：

5、 pedudrT.工程學(xué) 2008年9月11.1111.2 風(fēng)險中性定價風(fēng)險中性定價l = p u + (1 p )d e-rTl變量變量p 和和 (1 p ) 是風(fēng)險中性時股票期權(quán)上漲和下跌的是風(fēng)險中性時股票期權(quán)上漲和下跌的概率概率l衍生品的價格是風(fēng)險中性環(huán)境中用無風(fēng)險利率折現(xiàn)的衍生品的價格是風(fēng)險中性環(huán)境中用無風(fēng)險利率折現(xiàn)的其預(yù)期得益其預(yù)期得益Su uSd dSp(1 p ).工程學(xué) 2008年9月11.12股票預(yù)期收益的無關(guān)性股票預(yù)期收益的無關(guān)性l當(dāng)利用風(fēng)險中性原理對期權(quán)定價時，標(biāo)的當(dāng)利用風(fēng)險中性原理對期權(quán)定價時，標(biāo)的股票的期望收益是無關(guān)的。股票的期望收益是無關(guān)的。lWhen we are

6、 valuing an option in terms of the underlying stock the expected return on the stock is irrelevantl為什么？為什么？.工程學(xué) 2008年9月11.13示例示例l p 是風(fēng)險中性概率是風(fēng)險中性概率20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523l或者或者 使用公式使用公式6523.09 .01 .19 .00.250.12edudeprTSu = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p ).工程學(xué) 2008年9月11.14期權(quán)股價期權(quán)股價期權(quán)的價格

7、是期權(quán)的價格是e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.3477.工程學(xué) 2008年9月11.1511.3 兩步二叉樹兩步二叉樹Figure 11.3l每步長3個月20221824.219.816.2.工程學(xué) 2008年9月11.16看漲期權(quán)價格看漲期權(quán)價格Figure 11.4lB 點價格點價格= e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257lA 點價格點價格 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.282

8、3221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF.工程學(xué) 2008年9月11.17看跌期權(quán)估價看跌期權(quán)估價K=52Figure 11.7504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF.工程學(xué) 2008年9月11.1811.5 美式期權(quán)美式期權(quán) (Figure 11.8) 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF.工程學(xué) 2008年9月11.1911.6 DeltalDelta (D D)是股票期權(quán)價格的變化與是股票期權(quán)價格的變化與標(biāo)的股票價格的變化之比標(biāo)的股票價格的變化之比 lDelta hedgingl 二叉樹中二叉樹中D D 的值在每一節(jié)點均不同的值在每一節(jié)點均不同.工程學(xué) 2008年9月11.2011.7 u and d的確定的確定波動的確定方法波動的確定方法當(dāng)當(dāng) s s 是波動率且是波動率且 D Dt 是一步的時間長是一步的時間長. 這是這是Cox, Ross, 和和 Rubinstein使用的方法使用的方法tteudeuDsDs1.工程學(xué) 2008年9月11.21上漲概率上漲概率 1r