第13章SPSS20.0時(shí)間序列分析

1、.第第13章章 SPSS的時(shí)間序列分析的時(shí)間序列分析13.1時(shí)間序列分析概述時(shí)間序列分析概述13.2指數(shù)平滑指數(shù)平滑13.3建立自回歸序列的新變量建立自回歸序列的新變量13.4自回歸自回歸13.5季節(jié)分解法季節(jié)分解法13.6案例分析一案例分析一13.7案例分析二案例分析二13.8案例分析三案例分析三. 時(shí)間序列分析（Time Series Analysis）是研究事物發(fā)展變化規(guī)律的一種量化分析方法，隸屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)但又有不同于其他統(tǒng)計(jì)分析方法的特殊特點(diǎn)。近年來(lái)，時(shí)間序列分析的理論和應(yīng)用研究一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)，也取得了很大的進(jìn)步。 對(duì)于時(shí)間序列一詞可以有不同層次的理解。一般情況下，那些依時(shí)間先后順

2、序排列起來(lái)的一系列有相同內(nèi)涵的數(shù)據(jù)都可以稱為時(shí)間序列。在這個(gè)意義上來(lái)看，時(shí)間序列在日常生活中時(shí)無(wú)處不在的。從國(guó)家社會(huì)等宏觀角度看，我們常常聽(tīng)到的GDP、物價(jià)指數(shù)、股票指數(shù)等可以構(gòu)成時(shí)間序列；從微觀角度看，一個(gè)13.1時(shí)間序列分析概述時(shí)間序列分析概述.家庭每天的開(kāi)支、一個(gè)工人的每天的工作量、一個(gè)學(xué)生每天的伙食費(fèi)，等等，也可以構(gòu)成時(shí)間序列。事實(shí)上，萬(wàn)事萬(wàn)物的變化發(fā)展所表現(xiàn)出來(lái)的各種特征，只要能夠被持續(xù)的觀察和度量，同時(shí)被記錄，就能夠得到所謂的時(shí)間序列。 時(shí)間序列與一般的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的不同之處在于：這是一些有嚴(yán)格先后順序的數(shù)據(jù)。不同時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間段對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)之間可能是沒(méi)有關(guān)聯(lián)互相獨(dú)立的，但大多數(shù)情況下它們

3、之間往往存在著某種前后相承的關(guān)系，而非互相獨(dú)立。因此，對(duì)這類數(shù)據(jù)的分析和研究需要一些特殊的方法。時(shí)間序列分析就是包含了針對(duì)這種獨(dú)特?cái)?shù)據(jù)特點(diǎn)而形成和發(fā)展起來(lái)的一系列統(tǒng)計(jì)分析方法的一個(gè)完整的體系。.13.1.1時(shí)間序列的相關(guān)概念時(shí)間序列的相關(guān)概念通常，將時(shí)間序列描述成一個(gè)有序的數(shù)列： ，其中下標(biāo)表示時(shí)間序號(hào)。對(duì)上述數(shù)列可以有以下幾種理解：第一,為一個(gè)有先后順序且時(shí)間間隔均勻的數(shù)列。第二，為隨機(jī)變量族或隨機(jī)過(guò)程 的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”。即在每一個(gè) 固定的時(shí)間點(diǎn)t上，將現(xiàn)象看做是一個(gè)具有多種可能事實(shí)的隨機(jī)變量。每一個(gè)只是隨機(jī)變量 由于種種原因而表現(xiàn)出來(lái)的一個(gè)結(jié)果，而在所有被關(guān)注時(shí)間點(diǎn)上 ，就是一系列隨機(jī)變量所

4、表現(xiàn)出來(lái)的一個(gè)結(jié)果，通常稱做一個(gè)實(shí)現(xiàn)或一個(gè)現(xiàn)實(shí)，也可以稱做一個(gè)軌道。12,ty yy ,y ttTty12,ty yy.指標(biāo)集T指標(biāo)集T可直觀理解為時(shí)間t的取值范圍 。對(duì)一般的隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)它是一個(gè)連續(xù)的變化范圍，如可取，此時(shí)上述隨機(jī)過(guò)程可相應(yīng)地記為 。時(shí)間序列分析一般只涉及離散的時(shí)間點(diǎn)，如t可取 ，此時(shí)的隨機(jī)過(guò)程記為 ，又由于0點(diǎn)的相對(duì)性，一般的t可取 。 , ,y tt 0, 1, 2, ,0, 1, 2,y tt 0,1,2,采樣間隔采樣間隔 可直觀理解為時(shí)間序列中相鄰兩個(gè)數(shù)的時(shí)間間隔。在實(shí)際研究中。在整個(gè)數(shù)據(jù)期間一般都取一致的時(shí)間間隔，這樣會(huì)使分析結(jié)果更具直觀意義，更易使人信服。如在實(shí)際

5、當(dāng)中T為 時(shí)，若取個(gè)時(shí)間點(diǎn)，則采樣間隔為 。tt, a bbatN .平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和平穩(wěn)時(shí)間序列在一些時(shí)間序列分析方法當(dāng)中要求時(shí)間序列具有平穩(wěn)性，即要求時(shí)間序列對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程定義如下：如果對(duì) 和任意整數(shù)n，都使 與 同分布，則概率空間(W,F,P)上的隨機(jī)過(guò)程 稱為平穩(wěn)過(guò)程。從這個(gè)定義可以看出平穩(wěn)性實(shí)質(zhì)上是要求隨機(jī)過(guò)程包含的任意有限維隨機(jī)變量族的統(tǒng)計(jì)特性具有時(shí)間上的平移不變性。這是一種非常嚴(yán)格的平穩(wěn)性要求，而要刻畫和度量這種平穩(wěn)性，需要掌握 個(gè)隨機(jī)變量或隨機(jī)變量族的分布或聯(lián)合分布，這在實(shí)踐當(dāng)中是非常困難甚至是不可能的。因此這種平穩(wěn)性一般被稱為“嚴(yán)平穩(wěn)”或者“完

6、全平穩(wěn)”。12, ,nt tt hT12,ntttyyy12,nthththyyy ,y ttT21n.白噪聲序列白噪聲序列是一種特殊的平穩(wěn)序列。它定義為：若隨機(jī)序列yt由互不相關(guān)的隨機(jī)變量構(gòu)成，即對(duì)所有 ,則稱其為白噪聲序列?？梢钥闯觯自肼曅蛄惺且环N平穩(wěn)序列，在不同時(shí)點(diǎn)上的隨機(jī)變量的協(xié)方差為0。該特性通常被稱為“無(wú)記憶性”，意味著人們無(wú)法根據(jù)其過(guò)去的特點(diǎn)推測(cè)其未來(lái)的走向，其變化沒(méi)有規(guī)律可循。雖然有這個(gè)特點(diǎn)，但白噪聲序列卻是其他時(shí)間序列得以產(chǎn)生的基石，這在時(shí)間序列的ARIMA模型分析中體現(xiàn)得相當(dāng)明顯。另外，時(shí)間序列分析當(dāng)中，當(dāng)模型的殘差序列成為白噪聲序列時(shí)，可認(rèn)為模型達(dá)到了較好的效果，剩余殘

7、差中已經(jīng)沒(méi)有可以識(shí)別的信息。因此，白噪聲數(shù)列對(duì)模型檢驗(yàn)也是很有用處的。 ,0stst Cov yy.時(shí)點(diǎn)序列和時(shí)期序列實(shí)際當(dāng)中，人們研究的時(shí)間序列是前面提到的隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”，也就是那些按時(shí)間先后順序排列的一系列數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)往往由兩部分組成：一是觀測(cè)值；二是觀察值對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間段。一般情況下，時(shí)期數(shù)據(jù)和時(shí)點(diǎn)數(shù)據(jù)之間可以通過(guò)將時(shí)期數(shù)據(jù)累加、或者將時(shí)點(diǎn)數(shù)據(jù)后項(xiàng)減前項(xiàng)或后項(xiàng)比前項(xiàng)的處理方式互相轉(zhuǎn)換。不過(guò)隨著這種轉(zhuǎn)換，序列包含的實(shí)際意義也會(huì)有所變化，相應(yīng)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也會(huì)有很大的變化，對(duì)應(yīng)的分析處理方法也會(huì)有很大的不同。.13.1.2時(shí)間序列分析的一般步驟時(shí)間序列分析的一般步驟時(shí)間序列分析

8、一般需經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備、數(shù)據(jù)的觀察及檢驗(yàn)、數(shù)據(jù)的預(yù)處理、數(shù)據(jù)的分析和建模、模型的評(píng)價(jià)、模型的實(shí)施應(yīng)用等幾個(gè)階段。數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備階段數(shù)據(jù)的觀察及檢驗(yàn)階段數(shù)據(jù)的預(yù)處理階段數(shù)據(jù)的分析和建模階段模型的評(píng)價(jià)階段模型的實(shí)施應(yīng)用階段.13.1.3 SPSS時(shí)間序列分析的特點(diǎn)時(shí)間序列分析的特點(diǎn)SPSS的時(shí)間序列分析沒(méi)有自成一體的單獨(dú)模塊，而是分散在Data、Transform、Analyze、Graph四個(gè)功能菜單當(dāng)中。在Data和Transform中實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的定義和必要處理，以適應(yīng)各種分析方法的要求；在Analyze和Time Series中主要提供了四種時(shí)間序列分析方法，包括指數(shù)平滑法、自回歸法、AR

9、IMA模型和季節(jié)調(diào)整方法；在Graph中提供了時(shí)間序列分析的圖形工具，包括序列圖（Sequence）、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖等。另外，也可利用SPSS的譜分析圖等模塊進(jìn)行簡(jiǎn)單的譜分析。.13.2數(shù)據(jù)準(zhǔn)備數(shù)據(jù)準(zhǔn)備 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備是利用SPSS進(jìn)行時(shí)間序列分析的一個(gè)首要任務(wù)，它對(duì)以后的分析起著舉足輕重的作用，是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)。通過(guò)前面的討論可知，時(shí)間序列最顯著的特點(diǎn)就是數(shù)據(jù)有著嚴(yán)格的先后順序，并且與一定時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間段相對(duì)應(yīng)。因此，要把一系列SPSS變量數(shù)據(jù)當(dāng)做時(shí)間序列數(shù)據(jù)來(lái)分析，就必須首先指明每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間段，以及整個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的期間。SPSS的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備正是用來(lái)完成這些任務(wù)的。 數(shù)據(jù)期間

10、的選取也是時(shí)間序列分析中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。所謂數(shù)據(jù)期間的選取是指，如果分析過(guò)程中只希望選取全部樣本期中的部分時(shí)段數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則應(yīng)首先指定該時(shí)間段的起止時(shí)間。對(duì)此可通過(guò)SPSS的樣本選取（Select Cases）功能實(shí)現(xiàn)。.13.3指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法13.3.1指數(shù)平滑法的基本思想指數(shù)平滑法的基本思想 為掌握指數(shù)平滑法的基本思想應(yīng)首先了解移動(dòng)平均的思想。研究時(shí)間序列的一個(gè)重要目的是預(yù)測(cè)。現(xiàn)實(shí)當(dāng)中事物的發(fā)展都是有連續(xù)性的，事物過(guò)去的表現(xiàn)與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，現(xiàn)在的狀態(tài)又與將來(lái)的可能表現(xiàn)有一定的聯(lián)系。因此，可以從現(xiàn)有數(shù)據(jù)入手通過(guò)構(gòu)造某種計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)?；谶@種思想可以構(gòu)造出豐富多彩的預(yù)測(cè)模

11、型。移動(dòng)平均法正是這樣一種利用已知值的某種平均值進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。移動(dòng)平均包括簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法。.簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法是利用一定時(shí)間跨度t下數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單平均實(shí)現(xiàn)對(duì)下一期值的預(yù)測(cè)，即 可見(jiàn)，簡(jiǎn)單移動(dòng)平均認(rèn)為，時(shí)間跨度內(nèi)的所有數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)貢獻(xiàn)全部相同。然而，眾所周知，事物的當(dāng)前狀態(tài)與其在過(guò)去時(shí)間所有點(diǎn)上的表現(xiàn)之間聯(lián)系的緊密程度并不完全一致，因此這樣的預(yù)測(cè)有時(shí)可能出現(xiàn)很大的偏差。通常，序列數(shù)據(jù)在近期的表現(xiàn)比遠(yuǎn)期的表現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)狀態(tài)的聯(lián)系更加緊密。因此，預(yù)測(cè)時(shí)對(duì)過(guò)去的數(shù)據(jù)應(yīng)給予不同的重視程度。12111tttiiyyyfytt. 加權(quán)移動(dòng)平均法是對(duì)簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法的改進(jìn)，通過(guò)不同的權(quán)數(shù)體現(xiàn)對(duì)過(guò)去狀態(tài)

12、的不同重視程度。重視程度越高、與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系密切的時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)較大的權(quán)數(shù)，而重視程度低、與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系松散的時(shí)間點(diǎn)則對(duì)應(yīng)較小的權(quán)數(shù)。即 不同事物的發(fā)展規(guī)律是不同的，同一種事物隨時(shí)間的推移其變化規(guī)律也會(huì)發(fā)生變化。所以，權(quán)數(shù)應(yīng)隨不同的問(wèn)題、不同的時(shí)間變換而變化。通常，權(quán)數(shù)確定沒(méi)有一定之規(guī)，一般可參照幾種典型的具有代表性的方法來(lái)設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)。 112211221ttttttiiyyyfyyy1212,1.tt .13.3.2指數(shù)平滑法的模型指數(shù)平滑法的模型指數(shù)平滑法因權(quán)數(shù)選擇和平滑方法的不同而分成多種模型形式。雖然他們都基于上述基本思想，但在具體實(shí)現(xiàn)上還有所差別，也有不同的適用場(chǎng)合。下面介紹常用的幾種模型。一次指

13、數(shù)平滑法（簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法）一次指數(shù)平滑法（簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法）一次指數(shù)平滑法是簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法的變形，模型為11ttttffyfn其中， 是t時(shí)刻的一次指數(shù)平滑值，n為移動(dòng)步長(zhǎng)，整理后得：。tf1111tttfyfnn.如果令 ，則 。其中為一次平滑模型中的平滑常數(shù)，且顯然 。由1n11tttfyf0111111ttttttfyffyf則11121112111111111ttttttttttttkt kkfyyfyyfyyfy 可見(jiàn)，指數(shù)平滑法是以前t+1期的平滑值作為當(dāng)期的預(yù)測(cè)值。.二次指數(shù)平滑法（線性指數(shù)平滑法）二次指數(shù)平滑法（線性指數(shù)平滑法） 二次指數(shù)平滑也稱雙重指數(shù)平滑，是對(duì)一次指數(shù)平滑值再

14、進(jìn)行一次平滑。一次指數(shù)平滑法是直接利用平滑值作為預(yù)測(cè)值，而二次指數(shù)平滑則是利用平滑值對(duì)時(shí)間序列的線性趨勢(shì)進(jìn)行修正，進(jìn)而建立線性平滑模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。二次指數(shù)平滑法包括布朗（Brown）單一參數(shù)線性指數(shù)平滑、霍特（Holt）雙參數(shù)指數(shù)平滑等。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑 布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的一次平滑公式為 1111tttfyf.布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的二次平滑公式為式中， 為一次指數(shù)平滑值, 為二次指數(shù)平滑值。 21211tttfff 1tf 2tf由兩個(gè)平滑值計(jì)算線性平滑模型的兩個(gè)參數(shù)： ， ，從而得到線性指數(shù)平滑模型 式中，m為超前期數(shù)。當(dāng)t=1時(shí)，由于 和 是平滑初

15、始值，需事先給定。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑適用于有線性趨勢(shì)的時(shí)間序列。 122tttff 121tttbfft mttfbm 11tf 21tf.三次指數(shù)平滑法三次指數(shù)平滑法三次指數(shù)平滑法也稱三重指數(shù)平滑，與二次指數(shù)平滑類似，也不直接將平滑值作為預(yù)測(cè)值，而是服務(wù)于模型建立。三次指數(shù)平滑包括布朗三次指數(shù)平滑、溫特（Winter）線性和季節(jié)性指數(shù)平滑。布朗三次指數(shù)平滑布朗三次指數(shù)平滑布朗三次指數(shù)平滑是對(duì)二次指數(shù)平滑值再進(jìn)行一次平滑，并用以估計(jì)二次多項(xiàng)式參數(shù)。其一般模型為212t mtttfbmc m由上式可知，布朗三次指數(shù)模型并非一個(gè)線性模型，而是類似于二次多項(xiàng)式的曲線模型，可表現(xiàn)時(shí)間序列的曲線變

16、化趨勢(shì)。其中 12333ttttSSS. 123265108432 1ttttbSSS 2123221ttttcSSS各次平滑形式分別為 1111tttSyS 21211tttSSS 32311tttSSS布朗三次指數(shù)平滑模型適用于有非線性趨勢(shì)存在的序列。.溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑模型的一般形式為上式中包含三種成分，它們分別是平穩(wěn)性 、趨勢(shì)性 和季節(jié)性 。 為季節(jié)周期長(zhǎng)度， 為季節(jié)調(diào)整因子， 分別為模型的三個(gè)初始參數(shù)。其中 1t mtttmfSbm I tS tb tIlI、 、1111tttttySSbI 111ttttbSSb11ttttyIIs溫

17、特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型適用于同時(shí)具有趨勢(shì)性和季節(jié)性的時(shí)間序列，且只適用于短期預(yù)測(cè)。.13.4自回歸法自回歸法13.4.1自回歸法的基本思想和模型自回歸法的基本思想和模型利用簡(jiǎn)單回歸分析法進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)，模型要求各期的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間是不相關(guān)的。在前文的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義中也介紹過(guò)，只有誤差項(xiàng)中不存在任何可利用的信息時(shí)，才能夠認(rèn)為模型已經(jīng)達(dá)到了最優(yōu)。而當(dāng)誤差項(xiàng)之間存在相關(guān)性時(shí)，一方面常用的估計(jì)方法不再具有優(yōu)良性，普通的簡(jiǎn)單回歸模型存在著較大的缺陷；另一方面也說(shuō)明模型對(duì)序列中的信息沒(méi)有充分地提取。自回歸模型，簡(jiǎn)寫為AR模型，正是針對(duì)模型誤差項(xiàng)存在相關(guān)性的情況而設(shè)計(jì)的一種改進(jìn)的方法。由于自回歸

18、模型只考慮了誤差項(xiàng)中的一階相關(guān)性，因此也稱為一階自回歸AR（1）模型，其一般形式為.011221tttptpttttyxxx其中， ?？梢钥闯?，模型的主體部分與一般的回歸模型完全相同，但是其殘差序列不滿足一般回歸模型要求的殘差項(xiàng)之間不存在相關(guān)性的Gauss-Markov假設(shè)，而是存在著系數(shù)為 的一階自相關(guān)。21,0,tN對(duì)于存在一階自相關(guān)的序列，當(dāng)然不能按普通回歸模型進(jìn)行分析，而應(yīng)想辦法消除殘差項(xiàng)中的自相關(guān)性。一般的處理方法是對(duì)其進(jìn)行差分。如何實(shí)施一階差分是很重要的，不恰當(dāng)?shù)牟罘植坏荒芟韵嚓P(guān)性，甚至還可能帶來(lái)相反方向的相關(guān)性。適當(dāng)?shù)牟罘址椒ㄊ?101211 11 2110111 111t

19、pttttptttttptptttpyxxxyxxxx 上式表示的是一種加系數(shù) 的差分處理方法，也就是前面提到過(guò)的廣義差分。可以看出，只有廣義差分的系數(shù)恰好等于殘差項(xiàng)的一階自相關(guān)系數(shù)時(shí)，廣義差分才能真正消除誤差項(xiàng)的一階自相關(guān)性。因此，進(jìn)行廣義差分需要對(duì)誤差項(xiàng)的一階自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)的方法較多，一般可通過(guò)對(duì)原模型的殘差序列與其自身滯后一期序列的常數(shù)項(xiàng)為0的線性回歸分析，將得到的回歸系數(shù)作為系數(shù) 的估計(jì)值。另外，還可以按下式進(jìn)行估算，即12DW .其中，DW是Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量，是對(duì)小樣本隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，這在回歸分析中已經(jīng)講過(guò)。SPSS中系數(shù) 的最終確

20、定通過(guò)不斷迭代以實(shí)現(xiàn)模型擬合優(yōu)度最高為原則確定。對(duì)式（13.21）中的差分形式稍做變換得到10111111tttptptttpyyxxxx 上式所示的模型正是本節(jié)所講的一階自回歸模型，可以看出它與一般回歸模型十分相似，但其中的解釋變量不只是影響被解釋變量的外界因素 等，還包括了被解釋變量自身的一階滯后序列，正是因?yàn)檫@個(gè)特點(diǎn)才稱該模型為“自回歸”模型。而這個(gè)特點(diǎn)也清楚地顯示了自回歸分析方法的局限性：它只能處理誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)的情況，對(duì)于可能存在的高階自相關(guān)情況則沒(méi)有考慮。12,ttxx.13.5 ARIMA模型分析模型分析ARIMA模型是隨機(jī)性時(shí)間序列分析中的一大類分析方法的綜合，這些方法以

21、序列不同時(shí)期間的相關(guān)性度量為基礎(chǔ)，可以進(jìn)行精度較高的短期預(yù)測(cè)。13.5.1ARIMA分析的基本思想和模型分析的基本思想和模型ARIMA是自回歸移動(dòng)平均結(jié)合（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型之前，應(yīng)首先了解ARMA模型。ARMA模型也稱B-J方法，是一種時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法。從字面上可以知道，ARMA模型是自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA）有效組合和搭配的結(jié)果，稱為自回歸移動(dòng)平均模型。對(duì)ARMA的理解可分別從自回歸模型AR和移動(dòng)平均模型MA開(kāi)始。.自回歸模型認(rèn)為，時(shí)間序列的自回歸模型與一般線性回歸模型形式相同，差別僅在于模型中的解釋變量是被

22、解釋變量的1,2，p階的滯后變量。意味著一個(gè)時(shí)間序列 的變化受到自身以往狀態(tài)的影響，影響變化的主要因素是時(shí)間序列在不同時(shí)期的取值。于是AR(p)模型即為：從AR(p)的定義可知，在去除間接的相關(guān)性之后，與它間隔超過(guò)p期的序列值將不再相關(guān)，因而AR(p)的偏自相關(guān)圖在p階函數(shù)值之后將呈現(xiàn)截尾性。對(duì)AR(p)模型有平穩(wěn)性的要求，這通過(guò) 體現(xiàn)，深刻的論述參見(jiàn)時(shí)間序列方面的專著。ty01122tttptptyyyye01,p .移動(dòng)平均模型認(rèn)為，時(shí)間序列模型可根據(jù)平均前期預(yù)測(cè)誤差的原則建立，在前一期預(yù)測(cè)值之上加上預(yù)測(cè)誤差便可得到現(xiàn)在的預(yù)測(cè)值。于是，經(jīng)過(guò)遞推MA(q)模型即為：MA(q)的定義可知，移動(dòng)

23、平均模型是白噪聲序列 的q+1個(gè)近期值的線性組合，因此， 只會(huì)影響q+1期的序列值。因而使得相隔時(shí)間超過(guò)q+1的兩個(gè) 之間不存在相關(guān)性，從而使MA(q)的自相關(guān)圖在q階函數(shù)值之后將呈現(xiàn)截尾。對(duì)MA(q)模型有可逆性的要求，這通過(guò)來(lái) 體現(xiàn)，同樣請(qǐng)參見(jiàn)相關(guān)專著。01122tttqt qtyeeeetetetyty01,q .ARMA(p，q)模型是建立在AR(p)和MA(q)模型基礎(chǔ)上的。對(duì)于平穩(wěn)可逆的模型來(lái)說(shuō)，它事實(shí)上是無(wú)限階的AR模型或MA模型的等價(jià)形式，因此有效的ARMA模型可以彌補(bǔ)單純用AR模型或MA模型導(dǎo)致的參數(shù)過(guò)多的問(wèn)題，從理論上來(lái)講能夠較大地提高估計(jì)的精度并且節(jié)省計(jì)算量。ARMA其一

24、般形式為：11221122tttpt ptttq t qyyyyeeee其中，等式的左邊是模型的自回歸部分， 非負(fù)整數(shù)p稱為自回歸階數(shù)， 稱為自回歸系數(shù)；等式右邊是模型的移動(dòng)平均部分，非負(fù)整數(shù)q稱為移動(dòng)平均階數(shù)，稱為移動(dòng)平均系數(shù)。 分別是偏自相關(guān)函數(shù)值和自相關(guān)函數(shù)值顯著不為零的最高階數(shù)?？梢钥闯?01,p 01,q , p q.當(dāng) 時(shí)，模型是純移動(dòng)平均模型，記為ARMA(0,q)；當(dāng) 時(shí)，模型是純自回歸模型，記為ARMA(p,0)。ARMA(p,q)模型可用較少的參數(shù)對(duì)序列進(jìn)行較好地?cái)M合，其自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)均呈現(xiàn)拖尾性。0p 0q 下表是上述模型的相關(guān)圖特征列表。通過(guò)觀察相關(guān)圖并結(jié)合該表可

25、以大致識(shí)別出模型的階數(shù)。.ARMA模型只適合于對(duì)平穩(wěn)序列的分析。實(shí)際應(yīng)用中的時(shí)間序列并非平穩(wěn)序列，不能直接采用ARMA模型。但通常這些序列可通關(guān)變換處理后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。對(duì)它們的分析一般應(yīng)采用自回歸移動(dòng)平均結(jié)合ARIMA模型。ARIMA模型又分為ARIMA(p,d,q)模型和 模型。, ,sARIMA p d qP D QARIMA(p,d,q)模型當(dāng)序列中存在趨勢(shì)性時(shí)，可通過(guò)某些階數(shù)的差分處理使序列平穩(wěn)化。這樣的序列被稱為是一種準(zhǔn)平穩(wěn)的序列，而相應(yīng)地分析模型被概括為ARIMA(p,d,q),其中，d表示平穩(wěn)化過(guò)程中差分的階數(shù)。. 模型 當(dāng)序列中同時(shí)存在趨勢(shì)性和季節(jié)性的周期和趨勢(shì)時(shí)，序列中存在著

26、以季節(jié)周期的整數(shù)倍為長(zhǎng)度的相關(guān)性，需經(jīng)過(guò)某些階數(shù)的逐期差分和季節(jié)差分才能使序列平穩(wěn)化。對(duì)這樣的準(zhǔn)平穩(wěn)序列的分析模型概括為 模型，其中P,Q為季節(jié)性的自回歸和移動(dòng)平均階數(shù)， D為季節(jié)差分的階數(shù)，s為季節(jié)周期。 本節(jié)討論了模型的基本原理及在SPSS中的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。模型是自回歸模型的擴(kuò)充形式，是隨機(jī)性時(shí)間序列分析的代表性方法。這種模型有科學(xué)嚴(yán)密的理論體系，對(duì)波動(dòng)性較強(qiáng)的時(shí)間序列能給出比較準(zhǔn)確的模型，因而是當(dāng)前比較常用的時(shí)間序列分析方法之一。 , ,sARIMA p d qP D Q, ,sARIMA p d qP D Q.13.6 季節(jié)調(diào)整法季節(jié)調(diào)整法本節(jié)所討論的季節(jié)調(diào)整方法的本質(zhì)就是要對(duì)時(shí)間序列的周

27、期性進(jìn)行識(shí)別和分解。一般的時(shí)間序列分析的論述中將這種方法局限在那些與年、季、月等相關(guān)的周期性的分析上，把這樣的周期性變動(dòng)稱為季節(jié)性變動(dòng)（seasonal fluctuation），而將其他的周期性變動(dòng)統(tǒng)稱周期性（periodicity）。不過(guò)一般認(rèn)為季節(jié)調(diào)整方法完全可用于序列中各種周期性成分的識(shí)別和提取。 .13.6.1 季節(jié)調(diào)整法的基本思想和模型季節(jié)調(diào)整法的基本思想和模型季節(jié)調(diào)整法認(rèn)為，時(shí)間序列是由四種成分構(gòu)成的，它們分別是：趨勢(shì)性T（Trend）、季節(jié)性S（Seasonal Fluctuation）、周期性P（Periodicity）和不規(guī)則波動(dòng)性I（Irregular Variation

28、s）。這些成分通過(guò)不同的組合方式影響時(shí)間時(shí)間序列的發(fā)展變化。時(shí)間序列分析的季節(jié)調(diào)整法從這個(gè)角度出發(fā)理解時(shí)間序列的構(gòu)成因素，并將其轉(zhuǎn)化成可量化的季節(jié)模型。通過(guò)季節(jié)模型能夠反映出時(shí)間序列在一個(gè)周期內(nèi)所呈現(xiàn)的典型狀態(tài)，而這種狀態(tài)在不同周期以基本相同的形態(tài)出現(xiàn)。季節(jié)調(diào)整模型通常分為加法模型和乘法模型。.1、加法模型加法模型認(rèn)為時(shí)間序列是由趨勢(shì)性、季節(jié)性、周期性和不規(guī)則波動(dòng)性疊加形成的。一般來(lái)說(shuō)，加法模型適用于那些隨著時(shí)間的推移，波動(dòng)幅度沒(méi)有明顯變化的序列。加法模型的一般形式為YTSPI2、乘法模型乘法模型認(rèn)為時(shí)間序列是由趨勢(shì)性、季節(jié)性、周期性和不規(guī)則波動(dòng)性交乘形成的。一般來(lái)說(shuō)，乘法模型適用于那些隨時(shí)間

29、的推移，波動(dòng)幅度隨之增大或減小的序列。乘法模型的一般形式為YTSPI. 實(shí)際分析當(dāng)中還會(huì)遇到其他的模型形式，但往往都是由以上兩種模型變化而來(lái)的。他們或者因?yàn)槟撤N成分無(wú)需考慮而將其舍去，或者是兩種模型的某種組合等。另外，在一些書的討論中往往將趨勢(shì)僅僅局限于線性，實(shí)際上只要能明確識(shí)別出趨勢(shì)的類型，非線性的趨勢(shì)也可以引入到季節(jié)調(diào)整模型中，這樣可大大拓寬季節(jié)調(diào)整方法的應(yīng)用范圍。 季節(jié)模型通常都是由季節(jié)指數(shù)構(gòu)成的，他們能夠刻畫出現(xiàn)象在一個(gè)周期內(nèi)各時(shí)段的典型數(shù)量特征。若分析的數(shù)據(jù)是月度數(shù)據(jù)，而周期為一年，季節(jié)模型就由12個(gè)指數(shù)構(gòu)成；若分析的數(shù)據(jù)是季度數(shù)據(jù)，季節(jié)模型就由4各指數(shù)構(gòu)成；各個(gè)指數(shù)是以全年月或季的

30、平均數(shù)為基礎(chǔ)計(jì)算出來(lái)的。. 下面以一般的月（季）形式的季節(jié)周期來(lái)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。分析季節(jié)變動(dòng)的方法較多，常見(jiàn)的有按月（季）平均法和趨勢(shì)剔除法等。 按月（季）平均法是根據(jù)原時(shí)間序列通過(guò)平均計(jì)算季節(jié)指數(shù)的方法。其基本思想是，為消除隨機(jī)性的影響，計(jì)算各年同月（或季）的平均數(shù)作為該月（或季）的代表值；然后計(jì)算出總月（或季）的平均數(shù)作為全年的代表值；最后將同月（或季）平均數(shù)與總月（或季）的平均數(shù)對(duì)比，結(jié)果即為季節(jié)指數(shù)。 趨勢(shì)剔除法的基本思想與按月（或季）類似，它首先將時(shí)間序列中的長(zhǎng)期趨勢(shì)消除，然后再利用按月（季）平均法計(jì)算季節(jié)指數(shù)。序列中的趨勢(shì)值可采用移動(dòng)平均法或最小二乘法求得，分別稱為移動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法

31、和趨勢(shì)剔除法。在乘法模型中，各因素的消除可通過(guò)除法實(shí)現(xiàn)。.13.7 案例分析一案例分析一 看一個(gè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)例子。這是某企業(yè)從1998年1月到2010年12月的銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)元）。該數(shù)據(jù)有按照時(shí)間順序的按月記錄，共156個(gè)觀測(cè)值。數(shù)據(jù)表13-1(tssale.sav)。.從該表格中的眾多數(shù)據(jù)只能看出一個(gè)大概，即總的趨勢(shì)是增長(zhǎng)的，但有起伏。利用散點(diǎn)圖則可以得到對(duì)該數(shù)據(jù)更加直接的印象。在SPSS中通過(guò)選用【分析】【預(yù)測(cè)】【序列圖】，我們可以得到時(shí)間序列圖13.1。從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出，總的趨勢(shì)是增長(zhǎng)的，但增長(zhǎng)并不是單調(diào)上升的；有漲有落。大體上看，這種升降不是雜亂無(wú)章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)。當(dāng)然，除了增長(zhǎng)趨勢(shì)和季節(jié)影響之外，還有些無(wú)規(guī)律的的隨機(jī)因素的影響。 .從上面的例子不難看出時(shí)間序列可以有三部分組成：趨勢(shì)季節(jié)、季節(jié)成分和無(wú)法用趨勢(shì)和季節(jié)模式解釋的