第八章期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法

1、.8.1 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型二叉樹期權(quán)定價(jià)模型8.1.1 二叉樹模型的基本方法二叉樹模型的基本方法 熟悉熟悉8.1.2 基本二叉樹方法的擴(kuò)展基本二叉樹方法的擴(kuò)展 熟悉熟悉8.1.3 構(gòu)造樹圖的其他方法和思路構(gòu)造樹圖的其他方法和思路 了解了解8.1.4 二叉樹定價(jià)模型的深入理解二叉樹定價(jià)模型的深入理解 熟悉熟悉8.2 蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬8.2.1 蒙特卡羅模擬的基本過程蒙特卡羅模擬的基本過程 熟悉熟悉8.2.2 蒙特卡羅模擬的技術(shù)實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的技術(shù)實(shí)現(xiàn) 熟悉熟悉8.2.3 減少方差的技巧減少方差的技巧 了解了解8.2.4 蒙特卡羅模擬的理解和應(yīng)用蒙特卡羅模擬的理解和應(yīng)用 了解了解8.3

2、 有限差分方法有限差分方法8.3.1 隱性有限差分法隱性有限差分法 熟悉熟悉8.3.2 顯性有限差分法顯性有限差分法 熟悉熟悉8.3.3 有限差分方法的比較分析和改進(jìn)有限差分方法的比較分析和改進(jìn) 了解了解8.3.4 有限差分方法的應(yīng)用有限差分方法的應(yīng)用 了解了解.1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ； 2、下降到原先的 倍，即 。圖8.1 時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)SuSudSd把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔 ，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：t t其中 . 如圖8.1所示。價(jià)格上升的概率假設(shè)為 ，下降的概率假設(shè)為 。1u 1d p1pt相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，

3、分別為 和 。ufdf.二叉樹模型實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng) .二叉樹模型可分為以下幾種方法：二叉樹模型可分為以下幾種方法：（一）單步二叉樹模型 1.無套利定價(jià)法 2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法 3.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法（二）證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) 4.證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)（三）倒推定價(jià)法 5. 倒推定價(jià)法二叉樹方法的一般定價(jià)過程二叉樹方法的一般定價(jià)過程以無收益證券的美式看跌期權(quán)為例 6.一般定價(jià)過程.無套利定價(jià)法：構(gòu)造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當(dāng) 則組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合SuuSdfd此時(shí) udffSuSd 因?yàn)槭菬o風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得r tuSfSufe 將

4、 代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中 dudeptr.在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppSuSetr)1 ( dppuetr)1 ( 假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則：22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStS2222)1 ()1 (dppudpput再設(shè)定： （第三個(gè)條件的設(shè)定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1ud由以上三式可得，當(dāng) 很小時(shí)：tdudeptrteuted從而 1r

5、 tudfepfp f 以上可知，無套利定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法具有內(nèi)在一致性。.一般而言，在 時(shí)刻，證券價(jià)格有 種可能，它們可用符號(hào)表示為：ti1ijijdSu 其中0,1,ji注意：由于 ，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡(jiǎn)化了樹圖。 1ud. 得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價(jià)法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。 如果是歐式期權(quán)，可通過將 時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在 時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)以無風(fēng)險(xiǎn)利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值； 如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作

6、為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。 Ttrt.假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為 的小區(qū)間，同時(shí)用 表示結(jié)點(diǎn) 處的證券價(jià)格可得： ，其中假定期權(quán)不被提前執(zhí)行， 后，則： （表示在時(shí)間 時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：tjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSu d，0,1,jNt1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNifijti1,11,max,(1)jijr tijijijfXSu depfp f .當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為 的紅利時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為， 因此：qrqdppuetqr)1 ()(dudeptq

7、r )(teuted對(duì)于股價(jià)指數(shù)期權(quán)來說， 為股票組合的紅利收益率；對(duì)于外匯期來說， 為國(guó)外無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此以上式子可用于股價(jià)指數(shù)和外匯的美式期權(quán)定價(jià)。qq.支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 可通過調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格，算出期權(quán)價(jià)格； 如果時(shí)刻 在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格仍為：ijdSujij, 1 , 0,ti如果時(shí)刻 在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為：tijijduS )1 (0,1,ji若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率，則 時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為：jijiduS)1 (ti（ 為0時(shí)刻到 時(shí)刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率）iti.已知紅利額 將證券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部

8、分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日在到之間，則在時(shí)刻不確定部分的價(jià)值為：*()()S i tS i t 當(dāng) 時(shí)i t *()()()ri tS i tS i tDe 當(dāng) 時(shí)（表示紅利）i t 在 時(shí)刻：當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為：tii t *()0jijri tS u dDe 0,1,ji當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為：ti*0jijS u d0,1,ji（ 為零時(shí)刻的 值）*0S*S.利率是時(shí)間依賴的情形 假設(shè) ，即在時(shí)刻 的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于 到 時(shí)間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則： rf ttttt f tt

9、edpud 1f ttuepud這一假設(shè)并不會(huì)改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖.的二叉樹圖0.5p 在確定參數(shù) 、 和 時(shí)，不再假設(shè) ，而令 ，可得： pud1ud0.5p 222r qttue 222r qttde 該方法優(yōu)點(diǎn)在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 t.三叉樹圖 每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動(dòng)的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd.一些相關(guān)參數(shù)：3 tue1du2211226dtprq 2211226utprq23mp .控制方差技術(shù) 基

10、本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)： （ 代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值， 和 表示用同一個(gè)二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計(jì)值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為： BBffAAffBfAfAfBfAAffBBff.適應(yīng)性網(wǎng)狀模型 在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格接近執(zhí)行價(jià)格時(shí)和接近到期時(shí)，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。 即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng) 進(jìn)一步細(xì)分，如分為 ，每個(gè)小步長(zhǎng)仍然采用相同的三叉樹定價(jià)過程 t4t. 隱含樹圖 通過構(gòu)建一個(gè)與目

11、前市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格信息相一致的資產(chǎn)價(jià)格樹圖，從而得到市場(chǎng)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來概率分布的看法。 其具體方法是在二叉樹圖中，通過前一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格向前推出（注意不是倒推）下一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格和相應(yīng)概率 隱含樹圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權(quán)中得到的關(guān)于波動(dòng)率微笑和期限結(jié)構(gòu)的信息，來為奇異期權(quán)定價(jià) . 二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率 ，從而為期權(quán)定價(jià)p取當(dāng)前時(shí)刻為 ，在給定參數(shù) 、 和 的條件下，當(dāng) 時(shí)，二叉樹公式：ttpud0t ,1,r

12、tf S ttpf Su tp f Sd te 可以在 進(jìn)行泰勒展開，最終可以化簡(jiǎn)為：,S t22221,02fffS trSS tSS trf S tottSS在 時(shí)，二叉樹模型收斂于布萊克舒爾斯偏微分方程。0t .Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào)(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。. 隨機(jī)路徑：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中， 為了模擬的路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個(gè)長(zhǎng)

13、度為時(shí)間段，則上式的近似方程為 dSrq SdtSdz 2lnln2S ttS trqtt 2exp2S ttS trqtt 或 （是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本）重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報(bào)值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值.單個(gè)變量和多個(gè)變量的蒙特卡羅模擬：1、當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí) 的最終價(jià)值時(shí) 可直接用一個(gè)大步（ ）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期權(quán)價(jià)值：S0T 20 exp2S TSrqTT2、當(dāng)回報(bào)依賴于多個(gè)市場(chǎng)變量時(shí)每次模擬運(yùn)算中對(duì)每個(gè)變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣，從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。 的離散過程可以寫為：i （

14、期權(quán)依賴于 個(gè)變量， ， 為 的波動(dòng)率， 為 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長(zhǎng)率， 為 和 之間的瞬間相關(guān)系數(shù)） iiiiiiitttmttstt n1iin isiimiikik. 常數(shù)利率和隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬 利率為常數(shù)時(shí)：期權(quán)價(jià)值為（初始時(shí)刻設(shè)為0）：. 其中， 表示風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望。 利率為變量時(shí)：期權(quán)價(jià)值為（初始時(shí)刻設(shè)為0）： 為有效期內(nèi)瞬間無風(fēng)險(xiǎn)利率的平均值。rTTfeE f E rTTfE efr.隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定：1. 的產(chǎn)生 是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。如果只有一個(gè)單變量，則可以通過下式獲得：其中 是0到1的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。2. 模擬運(yùn)算次數(shù)的確定如

15、果對(duì)估計(jì)值要求95的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)滿足 （ 是進(jìn)行運(yùn)算的個(gè)數(shù)， 為均值， 是標(biāo)準(zhǔn)差）1216iiRiR112i 1.961.96fMMM.（一）對(duì)偶變量技術(shù)（二）控制方差技術(shù)（三）重點(diǎn)抽樣法（四）間隔抽樣法（五）樣本矩匹配法（六）準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法（七）樹圖取樣法.主要優(yōu)點(diǎn)： 1. 在大多數(shù)情況下，人們可以很直接地應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法，而無需對(duì)期權(quán)定價(jià)模型有深刻的理解 2. 蒙特卡羅模擬的適用情形相當(dāng)廣泛主要缺點(diǎn)：1. 只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處理提前執(zhí)行的情形。2. 為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算。.222212fffrSSrftSS轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，即用離散算子

16、逼近 、 和 各項(xiàng)，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。具體地說，有限差分方法就是用有限的離散區(qū)域來替代連續(xù)的時(shí)間和資產(chǎn)價(jià)格在坐標(biāo)圖上，有限差分方法則體現(xiàn)為格點(diǎn)（Grids）ftfS22fS.可以理解為從格點(diǎn)圖內(nèi)部向外推知外部格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。如圖所示：下面介紹一下 、 和 的差分近似 8.3.1(2) 、 和 的差分近似ftfS22fSftfS22fS.1. 的近似對(duì)于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn) ，期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示： 、 和2. 的近似對(duì)于 點(diǎn)處的 ，我們則采取前向差分近似以使 時(shí)刻的值和 時(shí)刻的值相關(guān)聯(lián)：3. 的近似 點(diǎn) 處的 的后向差分近似為 ，因此點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)

17、價(jià)格的二階差分為這個(gè)二階差分也是中心差分，其誤差為 。fS, i j,1,i ji jffS,1i ji jffS,1,12i ji jffSft, i jfti t1it1,iji jffftt22fS,1i jfS,1,i ji jffS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS2oS.差分方程把以上三個(gè)近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中， ,1,11,ji jji jji jija fb fc ff221122jarj tjt 221jbjtr t 221122jcrj tjt 0,1,.,1iN0,1,.,1jM.邊界條件

18、1. 時(shí)刻看跌期權(quán)的價(jià)值為 其中 2. 當(dāng)股票價(jià)格為零時(shí)，下方邊界上所有格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值： 3. 當(dāng)股票價(jià)格趨于無窮時(shí) T,max,0N jTfXSTSj S 0,1,.,jM0S ,0ifX0,1,.,iN,0i Mf0,1,.,iN.求解期權(quán)價(jià)值：聯(lián)立 個(gè)方程： 和 時(shí)， 時(shí)，解出每個(gè) 的期權(quán)價(jià)值最后可以計(jì)算出 ，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 就是我們要求的期權(quán)價(jià)值。 1M 1,11,1,1,jNjjNjjNjN ja fb fc ff1,.,1jM0j 1,0NfXjM1,0NMf1,Njf0, jfj Sf.頁(yè)面呈現(xiàn)頁(yè)面呈現(xiàn)顯性有限差分法： 其中， 即直接從 時(shí)刻的三個(gè)相鄰格點(diǎn)的

19、期權(quán)價(jià)值求出 時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為 時(shí)的期權(quán)價(jià)值，可理解為從格點(diǎn)圖外部推知內(nèi)部格點(diǎn)期權(quán)價(jià)值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj tjtr t *22111jbjtr t *22111122jcrj tjtr t 1iti tj S.有限差分方法有限差分方法樹圖方法樹圖方法相同點(diǎn)：兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)不同點(diǎn)：樹圖方法中包含了資產(chǎn)價(jià)格的擴(kuò)散和波動(dòng)率情形；有限差分方法中的格點(diǎn)則是固定均勻的，只是參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形。 .隱 性 有 限隱 性 有 限差分方法差分方法顯 性 有 限顯 性 有 限差分方法差分方法 顯性方法計(jì)算比較直接方便，無需象隱性方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應(yīng)用。但是，顯性方法存在一個(gè)缺陷