概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1-6 隨機(jī)事件的獨(dú)立性

1、一、事件的相互獨(dú)立性一、事件的相互獨(dú)立性二、獨(dú)立試驗(yàn)序列二、獨(dú)立試驗(yàn)序列 1.6 1.6 隨機(jī)事件的獨(dú)立性隨機(jī)事件的獨(dú)立性三、小結(jié)三、小結(jié).,)()()(,獨(dú)獨(dú)立立簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱(chēng)稱(chēng)事事件件如如果果滿(mǎn)滿(mǎn)足足等等式式是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 2. 定義定義1.9注注. 1則則若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 說(shuō)明說(shuō)明 事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無(wú)關(guān)發(fā)生的概率無(wú)關(guān).一、事件的相互獨(dú)立性一、事件的相互獨(dú)立性(一一) 兩個(gè)事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件的獨(dú)立性2 獨(dú)

2、立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 則則例如例如二者之間沒(méi)二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系獨(dú)立是事獨(dú)立是事件間的概件間的概率屬性率屬性互斥是事互斥是事件間本身件間本身的關(guān)系的關(guān)系11ABAB由此可見(jiàn)由此可見(jiàn)兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立兩事件兩事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如圖如圖若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可見(jiàn)由此可見(jiàn)兩事件兩事件互

3、斥互斥但但不獨(dú)立不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP又如：又如：兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立.兩事件兩事件互斥互斥可以證明：可以證明：時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)0)(, 0)( BPAPA、B 獨(dú)立獨(dú)立 與與A、B 互斥不能同時(shí)成立互斥不能同時(shí)成立證證若若A與與B 獨(dú)立獨(dú)立, 則則 )()()(BPAPABP 0)(, 0)( BPAP0)()()( BPAPABP AB故故即即 A與與B 不互斥不互斥(相容相容).3.性質(zhì)性質(zhì)1.5(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立.證證 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A

4、)= P( ) P(A)即即 與與A獨(dú)立獨(dú)立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 與與A獨(dú)立獨(dú)立.(2) 若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.；與與 BA；與與 BA.BA 與與證證 )()()(ABPAPBAP 注注 稱(chēng)此為二事件的獨(dú)立性稱(chēng)此為二事件的獨(dú)立性 關(guān)于逆運(yùn)算封閉關(guān)于逆運(yùn)算封閉.且且A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(對(duì)偶律對(duì)偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP )(1BAP )()()(1ABP

5、BPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 甲甲, 乙兩人乙兩人同時(shí)同時(shí)向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中已知甲擊中敵機(jī)的概率為敵機(jī)的概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 求敵機(jī)被擊中的概率求敵機(jī)被擊中的概率.解解設(shè)設(shè) A= 甲擊中敵機(jī)甲擊中敵機(jī) B= 乙擊中敵機(jī)乙擊中敵機(jī) C=敵機(jī)被擊中敵機(jī)被擊中 .BAC 則則依題設(shè)依題設(shè),5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP例例1由于由于 甲，乙甲，乙同時(shí)同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以響乙擊中敵機(jī)的可能性

6、，所以 A與與B獨(dú)立獨(dú)立,進(jìn)而進(jìn)而.獨(dú)獨(dú)立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件兩兩兩兩獨(dú)立的概念獨(dú)立的概念(二二) 多個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性定義定義.,),()()(),()()(),()()(,兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件如果滿(mǎn)足等式如果滿(mǎn)足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互獨(dú)立的概念三事件相互獨(dú)立的概念定義定義1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相相互互獨(dú)獨(dú)立

7、立則則稱(chēng)稱(chēng)事事件件如如果果滿(mǎn)滿(mǎn)足足等等式式是是三三個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 設(shè)設(shè) A1，A2 ， ，An為為n 個(gè)事件個(gè)事件，若對(duì)于任意若對(duì)于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個(gè)事件的獨(dú)立性個(gè)事件的獨(dú)立性定義定義 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個(gè)事件中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切相互獨(dú)立，即對(duì)于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21兩兩兩兩獨(dú)獨(dú)立立，則則稱(chēng)稱(chēng)nAAA.12)11(1032個(gè)個(gè)式式子子共共nCCCCCnnnnnnnn 定義定義1.11

8、)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱(chēng)稱(chēng)nAAA注注. 相互獨(dú)立相互獨(dú)立nAAA,21兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立nAAA,21設(shè)一個(gè)口袋里裝有四張形狀相同的卡設(shè)一個(gè)口袋里裝有四張形狀相同的卡片片.在這四張卡片上依次標(biāo)有下列各組在這四張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字：數(shù)字：110，101，011，000 從袋中任取一張卡片，記從袋中任取一張卡片，記1位位上上的的數(shù)數(shù)字字為為取取到到的的卡卡片片第第 iAi )3,2,1( i證明：證明：;,)1(321兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立AAA.,)2(321不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立AAA例例2證證 (1)()(2142)(3

9、21APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立AAA )()2(321AAAP040 81)()()(321 APAPAP.,321不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121個(gè)個(gè)事事件件也也是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立其其中中任任意意則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若事事件件nkknAAAn 逆逆運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉獨(dú)獨(dú)立立性性關(guān)關(guān)于于個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的立立事事件件們們的的對(duì)對(duì)中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它則則將將相

10、相互互獨(dú)獨(dú)立立個(gè)個(gè)事事件件若若.,)2(,. 22121nAAAnAAAnnn 兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)結(jié)論n 個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立nAAA,21即即 n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積減去各自對(duì)立事件概率的乘積.)(nAAAP21結(jié)論的應(yīng)用結(jié)論的應(yīng)用nAAA,21則則“ 至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為的概率為 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-p

11、n )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若設(shè)若設(shè)n個(gè)獨(dú)立事件個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率分別為分別為類(lèi)似可以得出：類(lèi)似可以得出：nAAA,21至少有一個(gè)不發(fā)生至少有一個(gè)不發(fā)生”的概率為的概率為“)(nAAAP21=1- - p1 pn 若每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為若每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%, 假設(shè)每個(gè)人血清中是否含有肝炎假設(shè)每個(gè)人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立，混合病毒相互獨(dú)立，混合100個(gè)人的血清，個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒個(gè)人的血清含有肝炎病個(gè)人的血清含有肝炎病第第記記iAi )100,2,1

12、( i則則004. 0)( iAP10021AAAB 例例3100肝肝炎炎病病毒毒個(gè)個(gè)人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B依題設(shè)，依題設(shè)，相互獨(dú)立相互獨(dú)立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 事件的獨(dú)立性在事件的獨(dú)立性在可靠性理論可靠性理論中的應(yīng)用：中的應(yīng)用：一個(gè)元件的可靠性一個(gè)元件的可靠性：該元件正常工作的概率該元件正常工作的概率.一個(gè)系統(tǒng)的可靠性一個(gè)系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常由元件組成的系統(tǒng)

13、正常工作的概率工作的概率.設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由2n 個(gè)元件組成，每個(gè)元件個(gè)元件組成，每個(gè)元件的可靠性均為的可靠性均為 r，且各元件能否正常工作，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的.(1) 求下列兩個(gè)系統(tǒng)求下列兩個(gè)系統(tǒng)和和的可靠性；的可靠性；(2) 問(wèn)：哪個(gè)系統(tǒng)的可靠性更大？問(wèn)：哪個(gè)系統(tǒng)的可靠性更大？例例4系統(tǒng)系統(tǒng).系統(tǒng)系統(tǒng).解解,個(gè)個(gè)元元件件正正常常工工作作第第設(shè)設(shè)iAi rAPi )(則則),2,1(ni 設(shè)設(shè) B1= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n B2= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作考察系統(tǒng)考察系統(tǒng)：設(shè)設(shè) C = 通路通路正常工作正常工作

14、， D= 通路通路正常工作正常工作 每條通路正常工作每條通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作兩條通路中兩條通路中至少至少有一條正常工作有一條正常工作DCB 1nnnnAAAAAA22121 )()(21nAAAPCP )()()(21nAPAPAP nr )()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr )()(1DCPBP )(1DCP )(1DCP )()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作的概率：正常工作的概率：考察系統(tǒng)考察系統(tǒng)：系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作通路上的每對(duì)并通路上的每對(duì)并聯(lián)元

15、件正常工作聯(lián)元件正常工作 B2= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAAPAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ), 2, 1(ni )()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系統(tǒng)所以，系統(tǒng)正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2( nnrr)2( (2) 問(wèn)：哪個(gè)系統(tǒng)的可靠性更大？問(wèn)：哪個(gè)系統(tǒng)的可靠性更大？10 rnnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf 2)2(, 12)2(1)1()2)2(2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即亦即即即

16、是凹的，從而是凹的，從而故曲線(xiàn)故曲線(xiàn)，則，則令令nnrr 2)2()()(12BPBP 即系統(tǒng)即系統(tǒng)的可靠性比系統(tǒng)的可靠性比系統(tǒng)的大的大.二、獨(dú)立試驗(yàn)序列概型二、獨(dú)立試驗(yàn)序列概型1. 定義定義1.12 (獨(dú)立試驗(yàn)序列獨(dú)立試驗(yàn)序列) 設(shè)設(shè)Ei (i=1,2,)是一列隨機(jī)試驗(yàn)是一列隨機(jī)試驗(yàn),Ei的樣本空的樣本空間為間為 i ,設(shè)設(shè)Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出現(xiàn)現(xiàn)的概率都不依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)的概率都不依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)Ei (i k)的結(jié)果的結(jié)果, 則稱(chēng)則稱(chēng)Ei 是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)序列試驗(yàn)序列,簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立試獨(dú)立試驗(yàn)驗(yàn)序列序列.mA 例例5 5 自

17、自1,2, ,101,2, ,10個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)個(gè)數(shù)字中任取一個(gè), ,取后取后還原還原, ,連取連取k k次次, ,獨(dú)立進(jìn)行試驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行試驗(yàn), ,試求此試求此k k個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字中最大者是中最大者是m(m 10)m(m 10)這一事件的概率。這一事件的概率。 解：令解：令 表示此表示此k k個(gè)數(shù)字中最大者不大于個(gè)數(shù)字中最大者不大于 m m 這這一事件，則一事件，則: :顯然顯然則則 kmm)()(10 ,11 mmmmm令令kkmmmmm)101()10()()()(1 mA則稱(chēng)這則稱(chēng)這n次重復(fù)試驗(yàn)為次重復(fù)試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為貝努里概型貝努里概型.若若n 次重復(fù)試驗(yàn)

18、具有下列次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：特點(diǎn)：2. n 重貝重貝努利努利(Bernoulli)試驗(yàn)試驗(yàn)1) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，( 在各次試驗(yàn)中在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）是常數(shù)，保持不變）實(shí)例實(shí)例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將若將 硬幣拋硬幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).實(shí)例實(shí)例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點(diǎn)點(diǎn)”, 就就是是 n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).一般地，一般地，對(duì)于對(duì)

19、于貝努里概型貝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理如果在貝努里試驗(yàn)中，事件如果在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率為概率為p (0p1), 則在則在n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn) k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3. 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式,發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件表表示示若若AnX所所有有可可能能取取的的值值為為則則 X., 2, 1, 0n推導(dǎo)如下：推導(dǎo)如下：,)0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nkkX .次次次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生了了在在即

20、即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生在在得得knA,種種knC且兩兩互不相容且兩兩互不相容.稱(chēng)上式為稱(chēng)上式為二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布. 記為記為).,(pnBX次次的的概概率率為為次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1記記knkknqpC .)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道題題的的概概率率問(wèn)問(wèn)能能碰碰對(duì)對(duì)試試于于是是隨隨意意填填寫(xiě)寫(xiě)道道題題不不會(huì)會(huì)做做有有道道題題生生僅僅會(huì)會(huì)做做今今有有一一考考其其中中一一個(gè)個(gè)為為正正確確答答案案可可供供選選擇

21、擇的的答答案案?jìng)€(gè)個(gè)每每道道選選擇擇題題有有道道選選擇擇題題設(shè)設(shè)某某考考卷卷上上有有 mm則則道道題題這這一一事事實(shí)實(shí)道道題題中中碰碰對(duì)對(duì)表表示示設(shè)設(shè),4mBm例例6解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmm004. 0)(048. 0)(211. 0)(422. 0)(316. 0)(43210 經(jīng)計(jì)算得經(jīng)計(jì)算得,次次的的概概率率首首次次發(fā)發(fā)生生在在第第需需要要計(jì)計(jì)算算事事件件在在貝貝努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中，通通常常kA.,1,發(fā)發(fā)生生次次第第發(fā)發(fā)生生次次均均是是前前次次即即試試驗(yàn)驗(yàn)總總共共進(jìn)進(jìn)行行了了AkAkk ppAPAPAPBPAAAABiAkiA

22、Bkkkkkkkik111121)1()()()()(,), 2 , 1(, 則則次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生第第在在記事件記事件以以記這一事件記這一事件若以若以幾何分布幾何分布幾何分布幾何分布例例7.,1,次次打打開(kāi)開(kāi)門(mén)門(mén)的的概概率率求求該該人人在在第第的的概概率率被被選選中中即即每每次次以以開(kāi)開(kāi)門(mén)門(mén)他他隨隨機(jī)機(jī)地地選選取取一一把把鑰鑰匙匙打打開(kāi)開(kāi)這這個(gè)個(gè)門(mén)門(mén)其其中中僅僅有有一一把把能能把把鑰鑰匙匙他他共共有有一一個(gè)個(gè)人人開(kāi)開(kāi)門(mén)門(mén)knn則則次次打打開(kāi)開(kāi)門(mén)門(mén)表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解三、小結(jié)三、小結(jié))()()(,. 1BPAPABPBA 兩兩事事件件獨(dú)獨(dú)立立

23、 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三三個(gè)個(gè)事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立.,. 2相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與與與與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立重重要要結(jié)結(jié)論論BABABABA則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)事事件件,.321nAAA)(nAAAP21）nAAAP211( )()()(nAPAPAP2115. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布nkqpCknkkn, 2 , 1 , 0, 6. 幾何分布幾何分布nkppk, 3 , 2 , 1,)1(1 4.獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)序列、貝努利試驗(yàn)獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)序列、貝努利試驗(yàn)備用題備用題伯恩斯坦反例伯恩斯坦反

24、例 一個(gè)均勻的正四面體一個(gè)均勻的正四面體, 其第一面染成紅色其第一面染成紅色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以現(xiàn)以 A , B, C 分別分別記投一次四面體出現(xiàn)紅記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白白, 黑顏色朝下的事件黑顏色朝下的事件, 問(wèn)問(wèn) A,B,C是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?解解由于在四面體中紅由于在四面體中紅, 白白, 黑分別出現(xiàn)兩面黑分別出現(xiàn)兩面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由題意知又由題意知例例2-1,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不

25、相互獨(dú)立不相互獨(dú)立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP則三事件則三事件 A, B, C 兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問(wèn)擊問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少落飛機(jī)的概率是多少?射擊問(wèn)題射擊問(wèn)題例例3-1解解,名名射射手手擊擊落落飛飛機(jī)機(jī)第第為為設(shè)設(shè)事事件件iAi事件事件 B 為為“擊落飛機(jī)擊落飛機(jī)”, ,1021AAAB 則則.10, 2 , 1 i

26、)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)求飛機(jī)被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個(gè)個(gè)人人擊擊中中敵敵機(jī)機(jī)表表示示有有設(shè)設(shè)iAiA, B, C 分別表示甲

27、、乙、丙擊中敵機(jī)分別表示甲、乙、丙擊中敵機(jī) , ,1CBACBACBAA 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則例例3-2)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因因?yàn)闉?()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP

28、7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 要驗(yàn)收一批要驗(yàn)收一批(100件件)樂(lè)器樂(lè)器.驗(yàn)收方案如下驗(yàn)收方案如下:自自該批樂(lè)器中隨機(jī)地取該批樂(lè)器中隨機(jī)地取3件測(cè)試件測(cè)試(設(shè)設(shè)3件樂(lè)器的測(cè)試是件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的),如果如果3件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)為音色不純?yōu)橐羯患?則這批樂(lè)器就被拒絕接收則這批樂(lè)器就被拒絕接收.設(shè)一件音色設(shè)一件音色不純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率為不純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的

29、概率為0.95;而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的概率為概率為0.01.如果已知這如果已知這100件樂(lè)器中恰有件樂(lè)器中恰有4件是音件是音色不純的色不純的.試問(wèn)這批樂(lè)器被接收的概率是多少試問(wèn)這批樂(lè)器被接收的概率是多少?解解 , 3 )3 , 2 , 1 , 0( 件件樂(lè)樂(lè)器器隨隨機(jī)機(jī)地地取取出出件件表表示示事事設(shè)設(shè)以以 iHi, 件件音音色色不不純純其其中中恰恰有有i例例3-3.這批樂(lè)器被接收這批樂(lè)器被接收表示事件表示事件以以A純的樂(lè)器純的樂(lè)器 , 經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不純的

30、樂(lè)器而一件音色不純的樂(lè)器,經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為概率為0.05, 并且三件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的并且三件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的,于是有于是有,)99. 0()(30 HAP,05. 0)99. 0(2 ,)05. 0(99. 02 ,)05. 0(3 ,3210的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分是是 SHHHH)(1HAP)(2HAP)(3HAP,310019624)(2 HP.310034)(3 HP 30( )() ()iiiP AP H P A H故故000055. 08574. 0 .8629. 0 ,3100396)(0 HP而而,310029614)(1 HP經(jīng)計(jì)算得經(jīng)計(jì)

31、算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道題題的的概概率率問(wèn)問(wèn)能能碰碰對(duì)對(duì)試試于于是是隨隨意意填填寫(xiě)寫(xiě)道道題題不不會(huì)會(huì)做做有有道道題題生生僅僅會(huì)會(huì)做做今今有有一一考考其其中中一一個(gè)個(gè)為為正正確確答答案案可可供供選選擇擇的的答答案案?jìng)€(gè)個(gè)每每道道選選擇擇題題有有道道選選擇擇題題設(shè)設(shè)某某考考卷卷上上有有 mm則則道道題題這這一一事事實(shí)實(shí)道道題題中中碰碰對(duì)對(duì)表表示示設(shè)設(shè),4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP例例5-1解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmmEn: 可看成將可看成將 E 重復(fù)了重復(fù)了n次次, 這是一個(gè)這是一個(gè)n重重 貝努里試驗(yàn)貝努里試驗(yàn).,21,互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)各各局局勝勝負(fù)負(fù)相相利利還還是是采采用用五五局局三三勝勝制制有有有有利利采采用用三三局局二二勝勝制制問(wèn)問(wèn)對(duì)對(duì)甲甲而而言言概概率率為為每每局局甲甲勝勝的的乙乙