函數(shù)與導數(shù)經典例題(含答案)

1、函數(shù)與導數(shù)1. 函數(shù)，其中當時，求曲線在點處的切線方程；當時，求的單調區(qū)間；證明：對任意的在區(qū)間內均存在零點【解析】19本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等根底知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，總分值14分。 解：當時，所以曲線在點處的切線方程為 解：，令，解得因為，以下分兩種情況討論： 1假設變化時，的變化情況如下表：+-+所以，的單調遞增區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是。 2假設，當變化時，的變化情況如下表：+-+所以，的單調遞增區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是 證明：由可知，當時，在內的單調遞減，在內單調遞增，以下分兩種情況討論： 1當時，在0

2、，1內單調遞減，所以對任意在區(qū)間0，1內均存在零點。 2當時，在內單調遞減，在內單調遞增，假設所以內存在零點。假設所以內存在零點。所以，對任意在區(qū)間0，1內均存在零點。綜上，對任意在區(qū)間0，1內均存在零點。2. 函數(shù)，設函數(shù)F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的單調區(qū)間與極值；設，解關于x的方程；設，證明：本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的應用、不等式的證明、解方程等根底知識，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：，令，得舍去當時；當時，故當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)為的極大值點，且方法一：原方程可化為，即為，且當時，那么，即，此時，此時方

3、程僅有一解當時，由，得，假設，那么，方程有兩解；假設時，那么，方程有一解；假設或，原方程無解方法二：原方程可化為，即，當時，原方程有一解；當時，原方程有二解；當時，原方程有一解；當或時，原方程無解由得，設數(shù)列的前n項和為，且從而有，當時，又即對任意時，有，又因為，所以那么，故原不等式成立3. 設函數(shù)，求的單調區(qū)間；求所有實數(shù)，使對恒成立注：為自然對數(shù)的底數(shù)【解析】21此題主要考查函數(shù)的單調性、導數(shù)運算法那么、導數(shù)應用等根底知識，同時考查抽象概括、推理論證能力?？偡种?5分。 解：因為所以由于，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 證明：由題意得，由知內單調遞增，要使恒成立，只要解得4. 設，其中為正實數(shù).

4、當時，求的極值點；假設為上的單調函數(shù)，求的取值范圍.【解析】18本小題總分值13分此題考查導數(shù)的運算，極值點的判斷，導數(shù)符號與函數(shù)單調變化之間的關系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對求導得 I當，假設綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點,是極大值點.II假設為R上的單調函數(shù)，那么在R上不變號，結合與條件a>0，知在R上恒成立，因此由此并結合，知5. a，b為常數(shù)，且a0，函數(shù)fx=-ax+b+axlnx，fe=2e=271828是自然對數(shù)的底數(shù)。I求實數(shù)b的值；II求函數(shù)fx的單調區(qū)間；III當a=1時，是否同時存在實數(shù)m和Mm<M，

5、使得對每一個tm，M，直線y=t與曲線y=fxx，e都有公共點？假設存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；假設不存在，說明理由?！窘馕觥?2本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等根底知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想，總分值14分。解：I由II由I可得從而，故：1當2當綜上，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為0，1；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為0，1，單調遞減區(qū)間為。III當a=1時，由II可得，當x在區(qū)間內變化時，的變化情況如下表：-0+單調遞減極小值1單調遞增2又的值域為1，2。據(jù)經可得，假設，那么對每一個，直線y=t與曲線都有公共點。并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點。綜上，當a=1時，存在最小的實數(shù)m=1，最大的實數(shù)M=2，使得對每一個，直線y=t與曲線都有公共點。6. 設函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，曲線與在點2,0處有相同的切線l。I 求a、b的值，并寫出切線l的方程；II假設方程有三個互不相同的實根0、，其中，且對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥?0此題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等根底知識，同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，總分值13分解：由于曲線在點2，0處有相同的切線，故有由此得所以，切線的方程為 由得，所以依題意，方程有三