函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)大全

1、函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性規(guī)律一、 同一函數(shù)的周期性、對(duì)稱性問(wèn)題(即函數(shù)自身)1、 周期性：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。2、 對(duì)稱性定義略，請(qǐng)用圖形來(lái)理解。3、 對(duì)稱性：我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y即x=0軸對(duì)稱，偶函數(shù)有關(guān)系式 奇函數(shù)關(guān)于0，0對(duì)稱，奇函數(shù)有關(guān)系式 上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展？答案是肯定的 探討：1函數(shù)關(guān)于對(duì)稱 也可以寫成 或 簡(jiǎn)證：設(shè)點(diǎn)在上，通過(guò)可知，即點(diǎn)上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x=a對(duì)稱。得證。 假設(shè)寫

2、成：，函數(shù)關(guān)于直線 對(duì)稱 2函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 或 簡(jiǎn)證：設(shè)點(diǎn)在上，即，通過(guò)可知，所以，所以點(diǎn)也在上，而點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱。得證。 假設(shè)寫成：，函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱 3函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:假設(shè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即關(guān)于任一個(gè)值，都有兩個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對(duì)稱。但在曲線c(x,y)=0，那么有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于對(duì)稱，比方圓它會(huì)關(guān)于y=0對(duì)稱。4、 周期性： 1函數(shù)滿足如下關(guān)系系，那么 A、 B、 C、或等式右邊加負(fù)號(hào)亦成立 D、其他情形 2函數(shù)滿足且，那么可推出即可以得到的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對(duì)稱，那么函數(shù)一定是周期函數(shù) 3如果奇函

3、數(shù)滿足那么可以推出其周期是2T，且可以推出對(duì)稱軸為，根據(jù)可以找出其對(duì)稱中心為以上 如果偶函數(shù)滿足那么亦可以推出周期是2T，且可以推出對(duì)稱中心為，根據(jù)可以推出對(duì)稱軸為 以上 4如果奇函數(shù)滿足，那么函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足，那么函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理3：假設(shè)函數(shù)在R上滿足，且其中，那么函數(shù)以為周期. 定理4：假設(shè)函數(shù)在R上滿足，且其中，那么函數(shù)以為周期. 定理5：假設(shè)函數(shù)在R上滿足，且其中，那么函數(shù)以為周期.二、 兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性1、 與關(guān)于X軸對(duì)稱。換種說(shuō)法：與假設(shè)滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。2、 與關(guān)于Y軸對(duì)稱。換種說(shuō)法：與假設(shè)滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。3、 與關(guān)

4、于直線對(duì)稱。換種說(shuō)法：與假設(shè)滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。4、 與關(guān)于直線對(duì)稱。換種說(shuō)法：與假設(shè)滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。5、 關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。換種說(shuō)法：與假設(shè)滿足，即它們關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。6、 與關(guān)于直線對(duì)稱。7、 函數(shù)的軸對(duì)稱：定理1：如果函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.推論1：如果函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.推論2：如果函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線y軸對(duì)稱.特別地，推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡(jiǎn)化.8、 函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱：定理2：如果函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.推論3：如果函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.推論4：如果函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象關(guān)于

5、原點(diǎn)對(duì)稱.特別地，推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡(jiǎn)化.三、總規(guī)律：定義在上的函數(shù)，在對(duì)稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，那么第三條一定存在。四、試題1定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果，且，那么的值A(chǔ) .A恒小于0 B恒大于0 C可能為0 D可正可負(fù).分析：形似周期函數(shù)，但事實(shí)上不是，不過(guò)我們可以取特殊值代入，通過(guò)適當(dāng)描點(diǎn)作出它的圖象來(lái)了解其性質(zhì).或者，先用代替，使變形為.它的特征就是推論3.因此圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個(gè)單位.，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又由，有，.選A.當(dāng)然

6、，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案為A.2：在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.假設(shè)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么( B )A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)分析：由可知圖象關(guān)于對(duì)稱，即推論1的應(yīng)用.又因?yàn)闉榕己瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合在區(qū)間上是減函數(shù)，可得如右草圖.應(yīng)選B3.定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.假設(shè)將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，那么可能為 D A.0 B.1C.3D.5 分析：， ，那么可能為5，選D

7、.4函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.求的值.分析：由推論1可知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，同樣，滿足，現(xiàn)由上述的定理3知是以4為周期的函數(shù).，同時(shí)還知是偶函數(shù)，所以.5，那么，中最多有 B 個(gè)不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故這些值可以在中找到.又的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故這些值可以在中找到.共有177個(gè).選B. 6：，那么 A .A. B. C. D.3 分析：由，知，.為迭代周期函數(shù)，故，.選A.7：函數(shù)在R上有定義，且滿足是偶函數(shù)，且，是奇函數(shù)，那么的值為 .解：，令，那么，即有，令，那么，其中，

8、. 或有，得.8設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么 c A0B1CD5分析：答案為B。先令f1= f-1+2=f-1+f2=1/2，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得f-1=-1/2，所以，f2=1，f5=f3+f2=f1+f2+f2=5/2，所以，答案為c。9 設(shè)fx是定義在R上以6為周期的函數(shù)，fx在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=fx的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，那么下面正確的結(jié)論是 B (A)； (B)；(C)； (D)分析：答案為B。做這種帶周期性、單調(diào)性的試題，通常的做法是將fx設(shè)成正弦或余弦函數(shù)，具體到此題，可將fx設(shè)成正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，令其周期為6，通過(guò)平移使其滿足在0,3內(nèi)單調(diào)遞減，根據(jù)圖像，即可求出，答案

9、為B。10設(shè)函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，那么等于CA. B. C. D.分析：答案為C. 此題是考察函數(shù)奇偶性的判定，并不難，根據(jù)奇偶性的定義，即可得出答案為C 高考資源網(wǎng) 11：函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減. 證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x). f(x)為奇函

10、數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令0<x1<x2<1,那么f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0，x2x1<1x2x1,0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1). f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 f(x)在(1，1)上為減函數(shù).12. 函數(shù)yf (x)是定義在上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)是奇函數(shù)又知yf (x)在0

11、,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值. 證明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，是奇函數(shù)，又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時(shí)，f (x)=-3x，從而當(dāng)時(shí)，故時(shí)，f (x)= -3x，.當(dāng)時(shí)，有，0. 當(dāng)時(shí)，13設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)任意，都有·，且f(1)=()求；()證明是周期函數(shù)；記，求()解：因?yàn)閷?duì)，都有·x,所以0， ()證明：依題設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，故，即，R又由是偶函數(shù)知，R，R，將上式中以代換，得，這說(shuō)明是R上的周期函數(shù)

12、，且2是它的一個(gè)周期. 解：由()知， 的一個(gè)周期是2=,因此an=函數(shù)對(duì)稱性與周期性幾個(gè)重要結(jié)論賞析對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，下面總結(jié)這兩個(gè)性質(zhì)的幾個(gè)重要結(jié)論及運(yùn)用它們解決抽象型函數(shù)的有關(guān)習(xí)題。一、幾個(gè)重要的結(jié)論一函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性自身對(duì)稱1、函數(shù)  滿足  T為常數(shù)的充要條件是  的圖象關(guān)于直線  對(duì)稱。2、函數(shù)  滿足  T為常數(shù)的充要條件是  的圖象關(guān)于直線  對(duì)稱。3、函數(shù)  滿足 &

13、#160;的充要條件是  圖象關(guān)于直線 對(duì)稱。4、如果函數(shù)  滿足  且  ，  和  是不相等的常數(shù)，那么  是以為  為周期的周期函數(shù)。5、如果奇函數(shù)  滿足    ，那么函數(shù)  是以4T為周期的周期性函數(shù)。6、如果偶函數(shù)  滿足    ，那么函數(shù)  是以2T為周期

14、的周期性函數(shù)。二兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性相互對(duì)稱利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解1、曲線  與  關(guān)于X軸對(duì)稱。2、曲線  與  關(guān)于Y軸對(duì)稱。3、曲線  與  關(guān)于直線  對(duì)稱。4、曲線  關(guān)于直線  對(duì)稱曲線為  。5、曲線  關(guān)于直線  對(duì)稱曲線為  。6、曲線  關(guān)于直線  對(duì)稱曲線為

15、60; 。7、曲線  關(guān)于點(diǎn)  對(duì)稱曲線為  。二、試試看，練練筆1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)  恒滿足  ，且  時(shí), ,那么  _。2、函數(shù)  滿足  ，那么  圖象關(guān)于_對(duì)稱。3、函數(shù)  與函數(shù)  的圖象關(guān)于關(guān)于_對(duì)稱。4、設(shè)函數(shù)  的定義域?yàn)镽，且滿足  ，那么  的圖象關(guān)

16、于_對(duì)稱。5、設(shè)函數(shù)  的定義域?yàn)镽，且滿足  ，那么  的圖象關(guān)于_對(duì)稱。  圖象關(guān)于_對(duì)稱。6、設(shè)  的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意  ，有  ，那么  圖象關(guān)于_對(duì)稱，  關(guān)于_對(duì)稱。7、函數(shù)  對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足  ，且方程  有5個(gè)實(shí)根，那么這5個(gè)實(shí)根之和為    A、5    

17、    B、10        C、15        D、188、設(shè)函數(shù)  的定義域?yàn)镽，那么以下命題中，假設(shè)  是偶函數(shù)，那么 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；假設(shè)  是偶函數(shù)，那么  圖象關(guān)于直線  對(duì)稱；假設(shè) ，那么函數(shù)  圖象關(guān)于直線  對(duì)稱；

18、  與 圖象關(guān)于直線  對(duì)稱，其中正確命題序號(hào)為_(kāi)。9、函數(shù)  定義域?yàn)镽，且恒滿足  和  ，當(dāng) 時(shí)，  ，求  解析式。10、偶函數(shù)  定義域?yàn)镽，且恒滿足  ，假設(shè)方程  在 上只有三個(gè)實(shí)根，且一個(gè)根是4，求方程在區(qū)間  中的根附參考答案： ：     ：  &#

19、160;：      ：y軸即     ：y軸  ：         ：C     ：    ：  ：方程的根為  共9個(gè)根抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性一、抽象函數(shù)的對(duì)稱性。性質(zhì)1、假設(shè)函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa軸對(duì)稱，那么以下三式成立且等價(jià)：1f(ax

20、)f(ax)。2f(2ax)f(x)。3f(2ax)f(x)。性質(zhì)2、假設(shè)函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，那么以下三式成立且等價(jià)：1f(ax)f(ax)。2f(2ax)f(x)。3f(2ax)f(x)。注：yf(x)為偶函數(shù)是性質(zhì)1當(dāng)a0時(shí)的特例，f(x)f(x)。yf(x)為奇函數(shù)是性質(zhì)2當(dāng)a0時(shí)的特例，f(x)-f(x)。二、復(fù)合函數(shù)的奇偶性。性質(zhì)1、復(fù)數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)，那么fg(x)fg(x)。復(fù)合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)，那么fg(x)fg(x)。性質(zhì)2、復(fù)合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，那么f(xa)f(xa)；復(fù)合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，那么f(xa)f(ax)。性

21、質(zhì)3、復(fù)合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，那么yf(x)關(guān)于直線xa軸對(duì)稱。復(fù)合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，那么yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱。三、函數(shù)的周期性。性質(zhì)、假設(shè)a是非零常數(shù)，假設(shè)對(duì)于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)，有下列條件之一成立，那么函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。f(xa)f(xa)，f(xa)f(x)，f(xa)1/f(x)，f(xa)1/f(x)。四、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性。性質(zhì)1、假設(shè)函數(shù)yf(x)同時(shí)關(guān)于直線xa與xb軸對(duì)稱，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|。性質(zhì)2、假設(shè)函數(shù)yf(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)a，0與點(diǎn)b，0中心對(duì)稱，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|。性質(zhì)3、假設(shè)函數(shù)yf(x)既關(guān)于點(diǎn)a，0中心對(duì)稱，又關(guān)于直線xb軸對(duì)稱，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T4|ab|。五、復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性。性質(zhì)1、函數(shù)yf(x)，那么復(fù)合函數(shù)yf(ax)與yf(b-x)關(guān)于直線x(b-a)/2軸對(duì)稱。性質(zhì)2、函數(shù)yf(x)，那么復(fù)