離散鞅論及應用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上離散鞅論及應用一、 基礎定義設為概率空間，整數(shù)集合，表示的一個“區(qū)間”，指的不間斷子集，比如：，等。定義1：設為單調(diào)上升（或下降），指，（或）。設為隨機變量序列，若關于可測，稱為適可測隨機變量。定義2：設為適可測隨機變量，若下兩條滿足：1. ，2. 。則稱為一個鞅。若2改寫成，稱為下鞅（上鞅），合稱為半鞅。定義3設為適可測隨機變量，下降，若，且，則稱為一個反鞅。命題1.對于區(qū)間,為適可測隨機變量列，則為一個鞅，當且僅當為一個反鞅。定義4 設為適可測隨機變量列，若，稱為一個鞅差。命題2 設為上升域（列），下兩條成立：（1） 若為一個鞅，則為一個鞅差，其中（2） 若為一個

2、鞅差，則為一個鞅，其中。簡言之，“鞅=鞅差的部分和”。設為一個鞅，為內(nèi)實值可測函數(shù)，問是否是鞅？首先，關于可測，理由：關于可測，假定，其次，和的關系？若為凸函數(shù)，由條件Jensen不等式，表明為一個下鞅。命題3設為適可測隨機變量列，為上凸函數(shù)，且，則下兩條成立：1若為鞅，則為下鞅。2 若為下鞅，為單調(diào)不減，則為下鞅。有意思的推論：若為下鞅，則為下鞅；若為鞅，則為下鞅（，假定）。二、 鞅的停時定理關于停時，設為上升域列，為取值正整數(shù)的隨機變量，若對每，均有，稱為關于的停時。命題4 如果和是兩個停時，則，也是停時。要證明上述命題，需要下面的引理：引理1 設為任意的取值于的隨機變量，下屬三者等價：（

3、1）；（2）；（3）。命題5 設是一列關于的鞅，是一個關于的停時，并且有界，則，特別地。這個命題是鞅停時定理的一個特殊情況，可以看出，它的條件太強了，實際上我們感興趣的問題中許多都不滿足有界這一嚴格的條件。假設是一停時并且，也就是說以概率1，可以保證會停止（相對于），但與有界不同的是，并沒有確定的使。在這種情況下，何時可以得到的結論呢？考慮停時注意到，從而。可以看出，是一個有界停時（），由上面命題可知。我們希望當時，后面兩項趨于0，對于第二項來說，這是不困難的，因為，當，相當于對限制在一個趨于空集的集合上取期望。容易看出，若要求，就可以保證。第三項就更麻煩一些，當時，第三項并不趨于0。然而如果

4、和滿足條件。我們就可以得出結論。定理1 鞅停時定理設是一關于的鞅，是停時滿足：（1）；（2）；（3）。則有。定理2 設是關于的上鞅，是關于的停時，設存在一非負隨機變量，滿足，且使得，則有。特別地，若，則有。推論1設是關于的上鞅，是關于的停時，且，則有。我們已經(jīng)知道對于上鞅，有，此處上鞅停止定理說明檔把換為停時時，在附加某些條件前提下，結論也成立。三、 一個應用關于期權值的界設某種股票的每股上市價，以表示第天的開盤價，令，則有。考慮一種期權，它保證期權持有人可以在一限定的期限內(nèi)，以預定的價格購入股票。不妨設這一預定的行使期權的價位為1，并假設我們考慮的期權行使期限為無限。若，則期權持有人有可能在

5、第天行使期權，以價位1購入股票，立即以價位拋出，從而獲利；若則無法獲利。由此，期權持有人在第天的潛在利潤為，設貼現(xiàn)率為，將貼現(xiàn)到第1天為，可任取一停時作為行使期權的時刻，我們要尋找的期望的值的上界，即這一期權最高多次潛在利潤為多少。為此要對作出一個假設，假定存在使得 （1）稱為初始每股價格為的期權值。（1）式中的上確界是對一切關于的停時取的。因為滿足（1）式，所以該期權值與（1）式中的參數(shù)有關。定理3設為以上定義并滿足（1）式，則期權值滿足下述不等式。其中 （2）證明：證明分為四部分，略。注1： 對任意固定，定義，則有 （3）則有，若初始每股價格超過，則期權的平均潛在利潤至多為。這一值可通過即刻行使期權獲得（?。?。這表示，一旦單股股票的價格超過，期權持有人就應馬上行使他的期權，以期獲得最大限度的潛在利潤。 注2