相似與動點(diǎn)問題專題

1、所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不

2、同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。動態(tài)幾何中的相似三角形例1、如圖，在梯形中，梯形的高為動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為直角三角形變式練習(xí)1：如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x。（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ

3、BC？（2）當(dāng)，求的值；（3）APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。OPAQByx變式練習(xí)2：如圖，已知直線的函數(shù)表達(dá)式為，且與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)開始在線段上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)移動，同時(shí)動點(diǎn)從點(diǎn)開始在線段上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)移動，設(shè)點(diǎn)移動的時(shí)間為秒（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（3）求出（2）中當(dāng)與相似時(shí)，線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式變式練習(xí)1：已知在RtABC中，ABC90º，A30º，點(diǎn)P在AC上，且MPN90當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上時(shí)（如圖1），過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，P

4、FBC于點(diǎn)F，可證tPMEtPNF，得出PNPM（不需證明）當(dāng)PCPA，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時(shí)，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選取一給予證明變式練習(xí)2（備用）：如圖1，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，BAC=AGF=90°，它們的斜邊長為2，若ABC固定不動，AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n

5、的取值范圍.（3）以ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BDCE=DE.Gyx圖2OFEDCBAG圖1FEDCBA（4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BDCE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由. 例3、如圖，中，cm，矩形的長和寬分別為8cm和2cm，點(diǎn)和點(diǎn)重合，和在一條直線上令不動，矩形沿所在直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖），直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止設(shè)移動秒后，矩形與重疊部分的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式ABDPNC(M)圖圖變式練習(xí)1：如圖，在等

6、腰梯形中，等腰直角三角形的斜邊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，和在一條直線上，設(shè)等腰梯形不動，等腰直角三角形沿所在直線以的速度向右移動，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止（1）等腰直角三角形在整個(gè)移動過程中與等腰梯形重疊部分的形狀 由 形變化為 形；（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切我苿訒r(shí)，等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時(shí)，求等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積A（N）MPDCBANMPDCB變式練習(xí)1：如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，交于Q，連接PE若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（s）（）解答下列問題：AE

7、DQPBFC（1）當(dāng)為何值時(shí)，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？變式練習(xí)2：在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動伴隨著P、Q的運(yùn)動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t0）（1）當(dāng)t = 2時(shí)，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ；ACBPQED題9（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動