相似與動點問題專題

1、所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學生解決問題的能力圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不

2、同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì)。動態(tài)幾何中的相似三角形例1、如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設(shè)運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為直角三角形變式練習1：如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x。（1）當x為何值時，PQ

3、BC？（2）當，求的值；（3）APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。OPAQByx變式練習2：如圖，已知直線的函數(shù)表達式為，且與軸，軸分別交于兩點，動點從點開始在線段上以每秒2個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始在線段上以每秒1個單位長度的速度向點移動，設(shè)點移動的時間為秒（1）求出點的坐標；（2）當為何值時，與相似？（3）求出（2）中當與相似時，線段所在直線的函數(shù)表達式變式練習1：已知在RtABC中，ABC90º，A30º，點P在AC上，且MPN90當點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上時（如圖1），過點P作PEAB于點E，P

4、FBC于點F，可證tPMEtPNF，得出PNPM（不需證明）當PCPA，點M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選取一給予證明變式練習2（備用）：如圖1，在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，BAC=AGF=90°，它們的斜邊長為2，若ABC固定不動，AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n

5、的取值范圍.（3）以ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖12).在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BDCE=DE.Gyx圖2OFEDCBAG圖1FEDCBA（4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BDCE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由. 例3、如圖，中，cm，矩形的長和寬分別為8cm和2cm，點和點重合，和在一條直線上令不動，矩形沿所在直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖），直到點與點重合為止設(shè)移動秒后，矩形與重疊部分的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式ABDPNC(M)圖圖變式練習1：如圖，在等

6、腰梯形中，等腰直角三角形的斜邊，點與點重合，和在一條直線上，設(shè)等腰梯形不動，等腰直角三角形沿所在直線以的速度向右移動，直到點與點重合為止（1）等腰直角三角形在整個移動過程中與等腰梯形重疊部分的形狀 由 形變化為 形；（2）設(shè)當?shù)妊苯侨切我苿訒r，等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當時，求等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積A（N）MPDCBANMPDCB變式練習1：如圖，在梯形ABCD中，點由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交于Q，連接PE若設(shè)運動時間為（s）（）解答下列問題：AE

7、DQPBFC（1）當為何值時，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使？變式練習2：在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t0）（1）當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ；ACBPQED題9（2）在點P從C向A運動