隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：kkpxXP，, 2 , 1k ，若級(jí)數(shù)1ikkpx絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)1ikkpx的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。記為EX，即EX=1kkkpx。(1) 離散型第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望也稱為均值。返回主目錄設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為)(xf，若積分dxxxf)(絕對(duì)收斂，則稱積分dxxxf)(的值為 X 的數(shù)學(xué)期望。記為 EX=dxxxf)(，數(shù)學(xué)期望也稱為均值。(2)、連續(xù)型第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望說(shuō)說(shuō) 明明變化的平均值的數(shù)學(xué)期望刻劃了 XX

2、) 1 (的求和順序無(wú)關(guān)的和與其級(jí)數(shù)時(shí)，才能保證級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂只有當(dāng)級(jí)數(shù)變化的平均值，因此，機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表示的是隨由于隨機(jī)變量111)2(nnnnnnnnnpxpxpxXX返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望：的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們：甲擊中的環(huán)數(shù)；X：乙擊中的環(huán)數(shù)；YX8910P0.10.30.6Y8910P0.20.50.3平較高？試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水例2返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望解：例2（續(xù)）為甲、乙的平均環(huán)數(shù)可寫5 . 96 . 0103 . 091 . 08EX1 . 93 . 0105 . 092 . 08EY的好，甲的射擊水平要

3、比乙因此，從平均環(huán)數(shù)上看返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望，其密度函數(shù)為分布服從設(shè)隨機(jī)變量CauchyX由于 dxxfx xxxf2111dxxx2110212dxxx021ln1x 不絕對(duì)收斂，這表明積分dxxxf不存在因而 EX例3返回主目錄設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7例 4則 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6若離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1則 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望此例說(shuō)明了數(shù)學(xué)期望更完整

4、地刻化了x的均值狀態(tài)。返回主目錄按規(guī)定，火車站每天 8:009:00, 9:0010:00 都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立，其規(guī)律為： 到站時(shí)間 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6例 5解：設(shè)旅客的候車時(shí)間為 X（以分記）(1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1) 旅客 8:00 到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。(2) 旅客 8:20 到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。返回主

5、目錄 X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望 到站時(shí)間 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6（2）旅客8：20分到達(dá)X的分布率為返回主目錄2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理 1： (2).若X的概率密度為)(xf，且 dxxfxg)()(絕對(duì)收斂，則 EY=dxxfxg)()(。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特

6、征1 數(shù)學(xué)期望返回主目錄設(shè) Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù)，（1）若 X 的分布率為且 絕對(duì)收斂, 則 EY=kkxXPP1)(kkkxgP, 2 , 1k1)(kkkxgP若),(YX是二維隨機(jī)變量，),(yxg是二元連續(xù)函數(shù)， ),(yxgZ 定理 2：(1). 若),(YX的分布律為ijjiPyYxXP,，且1,),(jiijjiPyxg絕對(duì)收斂；則 EZ=1,),(jiijjiPyxg。(2). 若),(YX的概率密度為),(yxf，且 dxdyyxfyxg),(),(絕對(duì)收斂，則：EZ=dxdyyxfyxg),(),(。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望返回主目錄設(shè)風(fēng)速 V

7、 在(0,a)上服從均勻分布，又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力 W 是 V 的函數(shù)：2kVW ，(k0)；求 EW。例 6解 ：其它；,0;0,/1)(aafVEW=aVkadakdfk022231)/1 ()(第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望返回主目錄例 7EX=0101312),(xdyxdxdxdyyxxfE(-3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdxEXY=01011212),(xydyxdxdxdyyxxyf第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望其它；, 0),( , 2),(Ayxyxf解：0 xy01 yx 設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸，y軸和直線x+

8、y+1=0所圍成的區(qū)域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。設(shè)在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量 X（噸） ，它在2000,4000上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國(guó)家掙得外匯 3 萬(wàn)元，但假如銷售不出而囤積在倉(cāng)庫(kù)，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi) 1萬(wàn)元。問(wèn)需要組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大。例 8解：設(shè) y 為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量可只 介于 2000 與 4000 之間， 用 Z 表示國(guó)家的收益（萬(wàn)元）),(3,3XyXyZ yXyX第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望返回主目錄即，組織 3500 噸此種商品是最佳的決策。（例8續(xù)）),(3,3)(xyxyx

9、gz yxyx下面求 EZ，并求使 EZ 達(dá)到最大的 y 值，dxydxxyxdxxfxgEZyy40002000200032000)(3)()(8250)3500(1000110*43500)3500(1000110*4700010001242262yyyy第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望40002000 y3、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)II) EcX=cEX， c 是常數(shù)，I) Ec=c，c 是常數(shù)，若bXa， 則bEXa，III) E(aX+bY)=aEX+bEY第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望IV)若x , y獨(dú)立，則 EXY=EXEYniniiiiiEXaXaE11)(返回主目錄例

10、9 假設(shè)所有人的血液呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率都是P，且各次化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的。試說(shuō)明適當(dāng)選取k可使第二個(gè)方案減少化驗(yàn)次數(shù)。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望對(duì)N個(gè)人進(jìn)行驗(yàn)血，有兩種方案：（1）對(duì)每人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，共需N次化驗(yàn)；（2）將采集的每個(gè)人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個(gè)人一組混合后進(jìn)行化驗(yàn)（設(shè)N是k的倍數(shù)），若呈陰性反應(yīng)，則認(rèn)為k個(gè)人的血都是陰性反應(yīng)，這時(shí)k個(gè)人的血只要化驗(yàn)一次；如果混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)，則需對(duì)k個(gè)人的另一份血液逐一進(jìn)行化驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的血要化驗(yàn)k+1次；返回主目錄（例 9續(xù)）iX只可能取兩個(gè)值 1或 k+1，下面求iEX：kiqXP 1 ， pq 1；kiqkXP

11、11 ；第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望解：設(shè)X表示第二個(gè)方案下的總化驗(yàn)次數(shù)， 表示第i個(gè)組的化驗(yàn)次數(shù)，則iXkNiikNiiEXEXXX11, 且個(gè)組的平均化驗(yàn)次數(shù)。第表示平均化驗(yàn)次數(shù)，表示第二種方案下總的iEXEXi返回主目錄只要選 k 使 1/ 11kqk，即kqk / 1，就可使第二個(gè)方案減少化驗(yàn)次數(shù)；當(dāng) q 已知時(shí)，若選 k 使kqkkf/ 11)( 取最小值，就可使化驗(yàn)次數(shù)最少。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望（例 9續(xù)）kkkikqkqkqEX1)1)(1( ，kNi/, 2 , 1；)11 ()1(kkqkNkqkkNEX所以例如：當(dāng)p=0.1，q=0.9時(shí)，可證明

12、k=4可使最??；這時(shí)，NNEX5939. 0)9 . 04/11 (4工作量將減少40%.返回主目錄一民航送客載有 20 位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有 10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求 EX（設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立） 。解：設(shè) 站有人下車第站沒(méi)人下車第iiXi, 1, 0， 10, 2 , 1i，例 10易見 101XXX，101iiEXEX，20)10/9 (0iXP，20)10/9 (1 1iXP，10, 1i，20)10/9(1iEX，10, 1 i，)(784. 8)10/9 (1 1020次EX。第四章

13、 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望返回主目錄不是相互獨(dú)立的此時(shí)，10, 2 , 1iXi第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望例 11用某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機(jī)器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品=. 0, 2 , 1,kek假設(shè)每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺(tái)機(jī)器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。解：設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設(shè)1011001.X ,100, 2 , 1,10, 2 , 1.0, 1kikikiXikikX則否則，件產(chǎn)品是正品；次生產(chǎn)的第第返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望所以分布，的服從而,100, 2 , 1.)(

14、) 10(ieXEepXkkikki例 11（續(xù)）eeeeXEXEkkkikkki1)1 (100e 100100)()(10-1011011001101返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望例 12 對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。 假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是p，試求平均需抽查的件數(shù)。解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,n，且.,; 1, 2 , 1,11nkqnkpqkXPnk，于是其中pq11111)(nnkknqpkqXE返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望

15、111111nnkknkknqkqkq112222) 1()2(2() 1(321 (nnnnnqqnqnqqqnqq121nqqqppqqnn)1 (111例 12（續(xù)）1111)1 ()(nnkknqqkqXE返回主目錄2 方差1、定義 在實(shí)際問(wèn)題中常關(guān)心隨機(jī)變量與均值的偏離程度，可用 E|X-EX|，但不方便；所以通常用2)(EXXE來(lái)度量隨機(jī)變量 X 與其均值 EX 的偏離程度。設(shè) X是隨機(jī)變量，若2)(EXXE存在，稱其為隨機(jī)變量 X 的方差，記作 DX，Var(X)，即：DX=Var(X)= 2)(EXXE。DX稱為標(biāo)準(zhǔn)差。2 方差122)()(iiipEXxEXXEDX， 離散型

16、。dxxfEXxDX)()(2， 連續(xù)型。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征22EXEXDX證明：2EXXEDX222EXXEXXE222EXEXEXEX2222EXEXEX22EXEX 方差也可由下面公式求得：注：方差描述了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度。返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征：的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們：甲擊中的環(huán)數(shù)；X：乙擊中的環(huán)數(shù)；Y平較高？試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水例13X8910P0.30.20.5Y8910P0.20.40.4返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征解：比較兩個(gè)人的平均環(huán)數(shù)甲的平均環(huán)數(shù)為5 .

17、 0102 . 093 . 08EX環(huán)2 . 9乙的平均環(huán)數(shù)為4 . 0104 . 092 . 08EY環(huán)2 . 9的方差分別為的，但兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)是一樣，甲乙兩人的射擊水平因此，從平均環(huán)數(shù)上看例13（續(xù)）返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征5 . 02 . 9102 . 02 . 993 . 02 . 98222DX76. 04 . 02 . 9104 . 02 . 992 . 02 . 98222DY624. 0，由于DXDY 甲穩(wěn)定這表明乙的射擊水平比例13（續(xù)）返回主目錄2、方差的性質(zhì)1 ) D X 0 ， 若C 是 常 數(shù) ， 則D C = 02) DXCCXD2)(2 方差

18、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征3) )(2)(22EYYEXXabEDYbDXabYaXD， a，b 是常數(shù)。若 X，Y 獨(dú)立， 則DYbDXabYaXD22)()(2)()(2222EYYEXXabEEYYbEEXXaE22)()()()(EYYbEXXaEbYaXEbYaXEbYaXD證：)()(222EYYEXXabEDYbDXa2)(EXXEDX4 ) D X = 0 P X = c = 1 ， c= E X2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征DYbDXa22若X,Y獨(dú)立，則E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0故： )(2)(22EYYEXXabEDYbDXabY

19、aXD，注： 令， 則 EY=0,DY=1。稱Y是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機(jī)變量。DXEXXY/ )(返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征例 14|,| 1 , 0,YXDYXEUYX，且相互獨(dú)立。求：設(shè)解：xy011. 10, 101),(, 101)(, 101)(yxyxfyyfxxfYX返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征例 14續(xù) 100)(2xdyyxdx1022)2(2dxxx3122)(YXEYXEYXD先求：2YXE 1010|),(|dxdyyxdxdyyxfyxYXE 101000)()(yxdxxydydyyxdxxy0 xy 11 dxdyyxfyx)

20、,(|210102|dxdyyx返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征例 14（續(xù)）61)2(101022dxdyyxyx22)(YXEYXEYXD則：181)31(612思考題：若且它們獨(dú)立，),(),(22NYNX|,|YXDYXE求：10102)(dxdyyx返回主目錄3、定理證明： （只證 X是連續(xù)型）22222)()(1DXdxxfx 。2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征)Chebyshev(不等式定理：（切比曉夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望 , 對(duì)任意 0, 不等式 成立，或2,DXEX方差22/|XP22/1|XP返回主目錄|22)(|xdxxfx|)(|xdxxfXP這

21、個(gè)不等式給出了隨機(jī)變量 X 的分布未知情況下，事件|X的概率的一種估計(jì)方法。例如：在上面不等式中，取4,3，有：8889. 03|XP9375. 04|XP2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征例15).61,600(,600BXX則粒種子中的良種數(shù)表示設(shè)解：02. 0600100-X P02. 061600X P .6561600DX ,61600 EX 由切比曉夫不等式有4213. 01446561600112112100-XP2DX假設(shè)一批種子的良種率為 ，從中任意選出600粒，試用切比曉夫（Chebyshev）不等式估計(jì)：這600粒種子中良種所占

22、比例與 之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.02的概率。61612 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征不等式證明：利用Chebyshev，則若10EXXPDX證明：0EXXPEXXP0EXXP01EXXP110nnEXXPEXXP而11nnEXXP概率的次可列可加性不等式，得由概率的非負(fù)性及Chebyshev例16返回主目錄2 方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2110nDXnEXXP001nEXXP所以， 21n00001nEXXP所以，00 EXXP所以，因此，1 EXXP例16（續(xù)）我們有：由此例及方差的性質(zhì)，為常數(shù)CCXP1的充分必要條件為0DX返回主目錄3.幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差EX=p，pqp

23、pEXEXDX222)(。nkqpCkXPknkkn, 1 ,0,。方法1：nkknknkknkknqpknknkqpCkEX00)!( ! nkknkqpknknnp1)1(11)!1(1()!1()!1(第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征pppXk1102. 二項(xiàng)分布1.兩點(diǎn)分布返回主目錄nkknknkknkknqpknknkqpCkEX02022)!( !npqpnppnnppnpnEXEXDX)1 ()(222222210111)1(1111niiniinnkknkknqpCnpqpCnpEXnpqpnpn1)(nkknkqpknknkp11)!()!1(!nkknknkknkqpknknpq

24、pknknkp1111)!()!1(!)!()!1(!)1(npqpknknpnnnkknk2)2(222)!2(2()!2()!2() 1(npnppnnpqppnnn22222)()1(3 幾種期望與方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征且nXX,1獨(dú)立，令nXXX1，則 X 的可能取值為 0,1,n，iX服從（0-1）分布，nipXPqXPii, 2 , 1,1,0方法2：nkqpCkXPknkkn, 0,npEXEXnii1， ,1npqDXDXnii3泊松分布設(shè) X 服從參數(shù)為泊松分布， 其分布律為ekkXPk!，k=0,1,.eekeekkEXkkkk110)!1(!3 幾種期望與方差第四

25、章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄 其它, 0),/(1)(bxaabxf。21)(badxabxdxxxfEXba111022)!1()!1() 1()!1(!kkkkkkkkekekkekkekkEX 2222)!2(eekekk2222)(EXEXDX3 幾種期望與方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.均勻分布返回主目錄5正態(tài)分布 ),(2NX)( ,)(212122)(222txdtetdxexEXtx12)()2(1)(22222abbadxabxEXEXDXba dtedttett222222)( ,21)()(222)(22txdxexXEDXx 22222222222222ttttd

26、edtetdtet 22222222|2dtetett3 幾種期望與方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄22XP33XP因此，對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，它的值落在區(qū)間3,3內(nèi)幾乎是肯定的。|XPXP)()(6826. 01) 1 (2) 1() 1 (9544. 01)2(29974. 01)3(23 幾種期望與方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2|XP3|XP8889.03|XP在上一節(jié)用切比曉夫不等式估計(jì)概率有：返回主目錄4.協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4 協(xié)方差第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、定義 XY是一個(gè)無(wú)量綱的量；若XY=0，稱 X,Y 不相關(guān),此時(shí) COV(X,Y)=0。定理：若X，Y獨(dú)立，則X,

27、Y不相關(guān)。證明：由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 稱COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY為隨機(jī)變量X,Y的協(xié)方差. 而 COV(X,X)=DX. 為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)。DYDXYXCOVXY.),(返回主目錄2、協(xié)方差的性質(zhì)1) COV(X,Y)=COV(Y,X);2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y);3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);4) 若 X,Y不相關(guān)，則：EX

28、Y=EXEY, D(aX+bY)=DYbDXa22第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差由方差的性質(zhì)）知：注意：注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 則X，Y一定相關(guān)，且X，Y一定不獨(dú)立。D(aX+bY)=),(222YXabCOVDYbDXa返回主目錄3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1) .1XY2) 1XY存在常數(shù) a,b 使 PY=a+bX=1.證明：abEXbEXYaEYaEXbEYbXaYEe222)(22222令：求 a,b 使 e達(dá)到最小第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差 令022202222aEXEXYbEXbeEYbEXaae代入第二個(gè)方程得將,bEXEYa2

29、22)(, 0)(EXEXEXEYEXYbEXbEXEYEXYbEX故解得DXYXCOVEXEYEXbEYaDXYXCOVb),(;),(0002,)(minbXaYEba200)(XbaYE2),(),(DXYXCOVXDXYXCOVEXEYYE2),()()(DXYXCOVEXXEYYE第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差DXYXCOVDXYXCOVDY),(2),(22DXYXCOVYXCOVDXYXCOVDXDY),(),(2)(),(22返回主目錄即：2,)(minbXaYEbaDYXY)1 (2DXDYDXDYXY2DYXY)1 (2由上式得: 1) 1, 02XYXY。 2) 若

30、, 1XY則0)(200XbaYE。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征從而)(00XbaYD200)(XbaYE0)(200XbaYE所以, 0)(00XbaYD0)(00XbaYE故PY（0)00Xba=1.即PYXba00=1。DXYXCOVDY),(2返回主目錄反之，若存在ba ,使PYXba=1，則PY（Xba）=1，故0)(2XbaYE而2)(0XbaYE2,)(minbXaYEbaDYXY)1 (2則1, 012XYXY。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征說(shuō)說(shuō) 明明存在著線性關(guān)系；之間以概率與時(shí)，當(dāng)，11YXYX的量之間線性關(guān)系緊密程度與量相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變YX之間的線性關(guān)系越弱；與時(shí)，越接近于

31、當(dāng)，YXYX0不相關(guān)之間不存在線性關(guān)系與時(shí)，當(dāng)，YXYX0X與Y之間沒(méi)有線性關(guān)系并不表示它們之間沒(méi)有關(guān)系。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差解：，記，是二個(gè)隨機(jī)變量，已知，設(shè)1cov41YXDYDXYXYXYX22，試求：，YXDD2YXDYDX，cov441444113YXDD2YXDYDX，cov441441445、例子返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差YXYX22covcov，YYYXXYXX，cov2covcov4cov2DYYXDX2cov52，4215125所以，DD，cov413526135返回主目錄設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，求：XY由上述知：21212)(12

32、1)(xXexf，22222)(221)(yYeyfdxdyyxfyxYXCov),()(),(21,222211DYEYDXEX dydxeeyxxyx221122222121)1 (212)(21221)(121第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差22222121221212121exp212121yyxxyxf，返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差令 1111222xyt，11xu， 22112211)11(11221210 111111yuxuytxtJ22211)1(,utyux則返回主目錄 dtteduuedtedueututu22221222212222212 2121

33、0222第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 dydxeeyxxyx221122222121)1 (212)(21221)(121),(YXCOV22211)1(,utyux2211J dtdueututu221222212211)1(12122返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征X，Y獨(dú)立 =0X，Y不相關(guān)。XY故 XY。返回主目錄5 矩1、定義若kEX存 在 ， 稱 之 為 X 的 k 階 原 點(diǎn) 矩 。所以 EX 是一階原點(diǎn)矩，DX 是二階中心矩，協(xié)方差 Cov(X,Y)是二階混合中心矩。若kEXXE)(存在，稱之為 X 的 k 階中心矩。若lkEYYEXXE)()(存在，稱之為 X和 Y 的 k

34、+l階混合中心矩。5 矩第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征5 矩例例1，試求，設(shè)隨機(jī)變量nXENX20解：DXEXXY令：X，則10 NY所以，nnnYEXE dyyfyYnndyeyynn222數(shù)是奇函數(shù)，所以為奇數(shù)時(shí)，由于被積函當(dāng)0nXEn返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)是偶函數(shù)，所以為偶數(shù)時(shí)，由于被積函當(dāng)n)2(02222dyeyEXynnndttdttdytyty2121212222,2,2則令：)21(2222220121202112ndtetdtetEXnntnnntnnnn返回主目錄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征5 矩 ，得函數(shù)的性質(zhì)：利用rrr12122nnn212122nnXEnnn23232122nnnnn2121232122n