微分方程穩(wěn)定性理論簡介_第1頁
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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上微分方程穩(wěn)定性理論簡介1、一階自治方程 （）使代數(shù)方程的實(shí)根稱為（1）的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。也是方程（1）的解。設(shè)x(t)是方程的解，若從的 某鄰域的任一初值出發(fā)都有，則稱是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)（漸近穩(wěn)定）；否則，稱是方程(1) 的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。例 判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法（1） 間接法：利用定義，需要求出方程的解（2） 直接法：不求方程的解方程（）的近似方程為：（）對(duì)于一階方程（）與（）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性有如下結(jié)論：若，則是（）與（）的穩(wěn)定平衡點(diǎn)若，則是（）與（）的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)2、二階方程可用兩個(gè)一階方程表示為 （） 二維（平面）自治系統(tǒng)使 的實(shí)根稱為（）的平衡點(diǎn)。同樣，若

2、存在的某個(gè)鄰域的任一初值出發(fā)，當(dāng)時(shí)，則稱是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。應(yīng)用直接法討論（）的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程 （） 二維（平面）線性自治系統(tǒng)系數(shù)矩陣記做 ，設(shè)，此時(shí)（）有唯一平衡點(diǎn)。它的穩(wěn)定性由（）的特征方程 的根所決定。結(jié)論： 進(jìn)一步，令,，則特征方程為，特征根為1)i) ii) 2) 3) 根據(jù)特征方程的系數(shù)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則：若則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；若則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。對(duì)于一般的非線性方程（），可以用線性近似方法判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。在點(diǎn)將和做Taylor展開，只取一次項(xiàng)，得（）的近似線性方程 （）令，則上式可化為 （）系數(shù)矩陣記作 特征方程的系數(shù)為 ，點(diǎn)對(duì)于方程（）的穩(wěn)定性可由上面的準(zhǔn)則決定。若方程（）的特征根不為零或?qū)嵅坎坎粸榱?，則點(diǎn)對(duì)于

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