第3章 典型機械系統(tǒng)的建模

1、電力電子與電力傳動實驗室第三章第三章 典型機械系統(tǒng)的建模典型機械系統(tǒng)的建模 機械系統(tǒng)如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機構、飛機舵面?zhèn)鲃友b機械系統(tǒng)如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機構、飛機舵面?zhèn)鲃友b置、導彈發(fā)射架、飛行模擬器的運動平臺等。置、導彈發(fā)射架、飛行模擬器的運動平臺等。 在建模中，主要將利用牛頓力學定律、拉格朗日函數，在建模中，主要將利用牛頓力學定律、拉格朗日函數，并結合能量守恒原理及有關近似理論等。并結合能量守恒原理及有關近似理論等。3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模 由理論力學可知，空間任意力系平衡的必要和充分條由理論力學可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：件是： 0)( , 0)(

2、 , 0)(0 , 0 , 0FmFmFmFFFozoyoxzyx空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程電力電子與電力傳動實驗室 牛頓第二定律得牛頓第二定律得： )2()( .2.2.2222 rrmFrrmFdtzdmFdtydmFdtxdmFdtdvmdtsdmmaFrzyx在極坐標系中有在極坐標系中有在直角坐標系下有在直角坐標系下有牛頓第二定律數學表達式牛頓第二定律數學表達式3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室h2mgF 2mg mg 2mg2mgF a2例例3.1如右圖一個轉動物體，它的質量為如右圖一個轉動物體，它的質量為m ,由兩

3、根垂直的由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩索相距為，繩索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點的中點的垂線上，假設。重心位于通過連接繩索兩點的中點的垂線上，假設物體繞通過重心的垂直軸轉一個物體繞通過重心的垂直軸轉一個小的角度，然后釋放。求擺動周小的角度，然后釋放。求擺動周期期T，物體通過重心的垂直軸轉的，物體通過重心的垂直軸轉的轉動慣量轉動慣量J。 假設物體繞通過重心的假設物體繞通過重心的垂直軸轉一個小的角度垂直軸轉一個小的角度時，時，夾角夾角 和夾角和夾角間存在下列關間存在下列關系系: ha 因此因此ha 測量轉動慣測量轉動慣量實驗裝置量

4、實驗裝置 3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室hamgamgJ 2. 或寫成或寫成:02. JhmgaJ由此求得擺動周期為由此求得擺動周期為JhmgaT22 得到轉動慣量得到轉動慣量JhmgaTJ22 注意，每根繩索的受力注意，每根繩索的受力F 的垂直分量等于的垂直分量等于mg/2。F 的水平分量的水平分量為為 mg/2。兩根繩索的兩根繩索的F 的水平分量產生扭的水平分量產生扭矩矩 mga 使物體轉動。因此，擺動的運動方程為：使物體轉動。因此，擺動的運動方程為：3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模有負號是因為角有負號是因為

5、角加速度方向與轉加速度方向與轉矩方向相反矩方向相反電力電子與電力傳動實驗室0 mmgiT例例3.2 如圖所示的單擺系統(tǒng)，如圖所示的單擺系統(tǒng)，Ti(t) 為輸入力矩、為輸入力矩、0(t)為輸為輸出擺角、出擺角、m為小球質量、為小球質量、L為擺長。為擺長。 根據力系平衡建立系統(tǒng)方程：根據力系平衡建立系統(tǒng)方程： (t)mLL(t)mgSin (t)Ti020 當當0很小時很小時:00Sin 非線性系統(tǒng)方程可簡化成非線性系統(tǒng)方程可簡化成線性系統(tǒng)方程線性系統(tǒng)方程:(t)T(t)mgL (t)mLi 00.23.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室 例例3.3

6、設一個彈簧、質量、阻尼設一個彈簧、質量、阻尼系統(tǒng)安裝在一個不計質量的小車上，系統(tǒng)安裝在一個不計質量的小車上，如下圖所示。推導系統(tǒng)數學模型。如下圖所示。推導系統(tǒng)數學模型。 假設假設t m , ,旋轉角旋轉角足夠小，于是可以對運動方程做足夠小，于是可以對運動方程做線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：0 )t (umlyM. 其中，其中，u( t )等于施加在小車上的外力，等于施加在小車上的外力，l 是質量到鉸是質量到鉸接點的距離。鉸接點處的轉矩之和為：接點的距離。鉸接點處的轉矩之和為：02 lgmmlyml. 選定兩個選定兩個2 階系統(tǒng)的狀態(tài)

7、變量為：階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：), y, y()x,x,x,x(. 4321 將將a、b兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：042 )t (uxmlxM.0342 gxxlx.(a)(b)(c)(d)3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室 為得到為得到1階微分方程組，解出式階微分方程組，解出式（d）中的中的 , ,代入代入式（式（c c），并注意到），并注意到M m，則有：，則有：.xl4)t (umgxxM. 32(e) 再解出式（再解出式（c）中的）中的 ，并代入式（，并代入式（d），可得：），可得：2.x034 )t (

8、uMgxxMl. 于是，于是，4 4個個1 1階微分方程為：階微分方程為：)t (uMlxlgx,xx)t (uMxMmgx,xx.1 1 34.4332.21 3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室 系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：uBAXX00010000000010l /gM/mgAMl/M/1010B4321xxxxX4321xxxxX3.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室3.2 能量法推導運動方程能量法推導運動方程 設力設力 F 作用于作用于 a 至至 b 連接路徑中運動的質點連接路徑中運

9、動的質點 m 上，上，那么那么 F 所作的功可一般描述為所作的功可一般描述為)(dzFdyFdxFFdsWzybaxba 能量能量 一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機械系統(tǒng)中能有械系統(tǒng)中能有勢能勢能和和動能動能兩種形式。兩種形式。 功率功率是做功的速率，即：是做功的速率，即： dW 表示在表示在dt 時間間隔內所作的功。時間間隔內所作的功。tWPdd 功率功率功、能、功率功、能、功率能量法推導運動方程能量法推導運動方程電力電子與電力傳動實驗室 例例3.7 如右圖表示一個半徑為如右圖表示一個半徑為R、質量為、質量為m的均質圓的均質圓柱體，它可以繞其轉

10、軸自由轉動并通過一個彈簧與墻壁柱體，它可以繞其轉軸自由轉動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢連接。假設圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導出系統(tǒng)運動方程。能并導出系統(tǒng)運動方程。 圓柱體的動能等于質心移動動能和繞質心轉動的動圓柱體的動能等于質心移動動能和繞質心轉動的動能之和。能之和。 .2 .22121 JxmT 動動能能 系統(tǒng)由于彈簧變形所產生的勢能為系統(tǒng)由于彈簧變形所產生的勢能為221kxU 勢能勢能 系統(tǒng)總能量為系統(tǒng)總能量為2 .2 .2212121kxJxmUT kRx 3.2 能量法推導運動方程能量法推導運動方程電力電子與電力傳動實驗室 因無滑

11、動的滾動，因此，因無滑動的滾動，因此，x=R。并且注意到轉動慣。并且注意到轉動慣量量 J 等于等于1/2mR2 ，我們得到，我們得到2 .22143kxxmUT 能量守恒定律，總能量為常數，故：能量守恒定律，總能量為常數，故： 0 23 23dd. xkxxmxkxxxmtUT032 0 23. xmkxkxxm或或也可寫成轉動運動方程得：也可寫成轉動運動方程得：032 . mk3.2 能量法推導運動方程能量法推導運動方程電力電子與電力傳動實驗室3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)） 將將x1,x2, xn作為作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標，系個自由度系統(tǒng)的一套廣義

12、坐標，系統(tǒng)的運動由統(tǒng)的運動由n個微分方程表示，其中廣義坐標是因變量，個微分方程表示，其中廣義坐標是因變量，時間為自變量。時間為自變量。 系統(tǒng)在任意瞬時的勢能：系統(tǒng)在任意瞬時的勢能： 系統(tǒng)在同瞬時的動能：系統(tǒng)在同瞬時的動能： 拉格朗日函數定義為拉格朗日函數定義為niQxLxLtiii, 2 , 1 , )(dd . ),(21nxxxV ),(.2.1.nxxxT ),(.2.1.21nnxxxxxxL VTL 令令 是廣義坐標的變分，非保守力（外是廣義坐標的變分，非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標上的虛功可以寫成力和摩擦力等）在廣義坐標上的虛功可以寫成nxxx ,21 iniixQW 1拉格

13、朗日方程為：拉格朗日方程為：電力電子與電力傳動實驗室)(dd)(dd)(21212121 )(212121211.2.222.1.2.21.111.212221.222.211212221.222.21111yycfyLyLtyycycyLyLtyykykyMyMVTLyykykVyMyMT ；拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日函數拉格朗日函數 例例 3.8 例例3.4系統(tǒng)如圖所示，運用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)如圖所示，運用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的數學模型。系統(tǒng)的數學模型。1c1M2c2M1y2yf1k2k解解: 選擇選擇y1，y2為廣義坐標系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為為廣義坐標系，其系統(tǒng)動能和勢能

14、分別為3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室21222212222121.22122.21.2.222221212.21.21.2111.2.2122.2221.2.21.112211.2110000)()()()()()(:yyYfFkkkkkKcccccCMMMFKYYCYMfykykycycyMykykkycyccyMyycfyykyMyycycyykykyM 其其中中：矩矩陣陣形形式式：轉轉換換得得由由拉拉格格朗朗日日方方程程得得3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 例例 3.9 某行

15、星滾動機構中有一質量為某行星滾動機構中有一質量為m，半徑為，半徑為 r 的的實心圓柱在半徑為實心圓柱在半徑為R，質量為，質量為M的圓筒內無滑動地滾動。的圓筒內無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心已知圓柱和圓筒對軸心O的轉動慣量分別為的轉動慣量分別為m(R-r)2 和和 MR2圓柱對軸心圓柱對軸心O的轉動慣量為的轉動慣量為mr2/2,建立圓筒繞其軸心建立圓筒繞其軸心轉動時，該系統(tǒng)運動數學模型。轉動時，該系統(tǒng)運動數學模型。 Mg ROA rO3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標分別為圓筒轉角該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取

16、廣義坐標分別為圓筒轉角和圓柱軸心偏離角和圓柱軸心偏離角。由于圓柱與圓筒間的運動是無滑動。由于圓柱與圓筒間的運動是無滑動純滾動，故在接觸點純滾動，故在接觸點A處它們具有相同的線速度處它們具有相同的線速度 系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉動為圓柱滾動和圓筒轉動所具有的動能所具有的動能:rrRRvA )(. 2.22.2222.22.22)(4)(21241)(212 RrRmrRmMRmrrRmMRT Mg ROA rO3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。 則系統(tǒng)的勢能

17、為則系統(tǒng)的勢能為 cos)(rRmgV 拉格朗日函數得：拉格朗日函數得：cos)()(4)(2122.22.22rRmgRrRmrRmMRVTL 代入拉格朗日方程有代入拉格朗日方程有 0sin2)(30)()2(. gRrRrRmRmM 即為該行星滾動機構的運動數學模型。即為該行星滾動機構的運動數學模型。3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 例例 3.10 用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運動的微分用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運動的微分方程，用方程，用1、2和和x作為廣義坐標，以矩陣的形式寫出作為廣義坐標，以矩陣的形式寫出微分方程。微分方程。 解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為2.22.221.1212121xmIIT 系統(tǒng)在同一時刻的勢能為系統(tǒng)在同一時刻的勢能為mgxrrkrxkV 22121)22(321)(21 拉格朗日函數為拉格朗日函數為VTL mgxkrkrkrkrkrxkxxmIIL 212222212212122.22.221.11266 2121212121 3.3 拉格朗日方