第10章無窮級數(shù)習題課

1、第10章無窮級數(shù)習題課內容提要1.基本概念 設有序列:,稱表達式為無窮級數(shù),簡稱級數(shù).當為數(shù)列時,稱其為常數(shù)項級數(shù)或數(shù)項級數(shù).當()是某個區(qū)間上的函數(shù)時,稱其為上的函數(shù)項級數(shù),例如和等.(1) 數(shù)項級數(shù)斂散性概念稱 () 為的前項部分和,若部分和數(shù)列收斂(設),則稱收斂,并稱為其和,可記為;否則稱發(fā)散,發(fā)散的級數(shù)沒有和.(2) 級數(shù)收斂的必要條件若收斂,則必有;反之不真.(3) 級數(shù)的基本性質 當時,與斂散性相同; 對于,與斂散性相同.(4) 收斂級數(shù)的性質 設,有;（線性性質）收斂,且.(加括號性質)(5) 收斂（只要極限存在即可）, 當且僅當數(shù)列收斂.（區(qū)別數(shù)列與級數(shù)的概念?。?6) 幾何

2、級數(shù)與級數(shù)的斂散性收斂的充要條件是,且收斂時;收斂的充要條件是,特別地,調和級數(shù)是發(fā)散的.2.正項級數(shù)的審斂法(1) 基本定理:()收斂有上界.(2) 比較法: 設有正項級數(shù),若,使得當時有成立,則 1由收斂可得收斂; 2由發(fā)散可得發(fā)散.比較法的極限形式: 設有正項級數(shù),若(有限數(shù)或),則 1當時, 與的斂散性相同;2當時,由收斂可得收斂;3當時,由發(fā)散可得發(fā)散.注: 運用比較法的關鍵在于: 1事先估計待審級數(shù)的斂散性（當時,若,則一般是收斂的,否則可能發(fā)散）; 2找到斂散性已知的級數(shù)作為比的較基準級數(shù)(通常是幾何級數(shù)或級數(shù)).(3) 比值法與根值法若或(有限數(shù)或),則1當時收斂; 2當時發(fā)散

3、; 3當時,可能收斂,也可能發(fā)散.(4) 積分審斂法設在上連續(xù)、非負且單調遞減,記(),則收斂的充要條件是廣義積分收斂.3.任意項級數(shù)的審斂法(1)絕對收斂定理: 若任意項級數(shù)絕對收斂(即收斂),則必收斂,反之不真;但若由比值法與根值法判定發(fā)散,則也發(fā)散.(2)交錯級數(shù)的Leibniz準則:若交錯級數(shù)()滿足條件及單調遞減,則收斂,且.4.冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的求法(1)關鍵在于求()的收斂半徑 當其“不缺無限多項”時,使用公式:若或,則; 當其“缺少無限多項”時,要依照的定義使用比值法或根值法求得,有時可做變量代換化為“不缺項”的級數(shù)而使用公式.(2)收斂域收斂的端點 (收斂的端點).(3

4、)求和函數(shù)的方法 根據(jù)下列冪級數(shù)的和函數(shù) <1>, ; <2>,; <3>,;通過逐項積分、逐項求導、加減、變量代換及恒等變形等求出.5.將函數(shù)展為冪級數(shù)Taylor級數(shù)(1)若在的某鄰域內無限次可微函數(shù)在點處能展成冪級數(shù),則所展級數(shù)是惟一的,即必為Taylor級數(shù)(時,稱為Maclaurin級數(shù)).(2)在內無限次可微函數(shù)在點處能展成冪級數(shù)的充要條件是有, 其中是在點的階Taylor公式中的余項.(3)利用直接展開法可得到下列常用的展開式 <1>,;<2>,;<3>,;<4>, 收斂半徑.(4)一般采用間接展

5、開法求在點的Taylor展開式.6.將函數(shù)展為Fourier級數(shù)(1)Dirichlet收斂定理:若在(或)上滿足條件:連續(xù)或只有有限多個第一類間斷點,至多只有有限多個極值點,則的以為周期的Fourier級數(shù)在上處處收斂,且在(或)上,其中Fourier系數(shù) (), ();特別地,當為的連續(xù)點時,.(2)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當為上的奇函數(shù)時,其Fourier級數(shù)為,稱為正弦級數(shù),其中 (); 當為上的偶函數(shù)時,其Fourier級數(shù)為,稱為余弦級數(shù),其中 ().(3)對于定義在半?yún)^(qū)間上且滿足Dirichlet條件的函數(shù)，或作奇式延拓,展為以為周期的正弦級數(shù);或作偶式延拓,展為以為周期的余弦級數(shù).

6、7.利用函數(shù)項級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和 一般利用冪級數(shù),有時也利用函數(shù)的Fourier展開式求數(shù)項級數(shù)的和.(1)利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和,通常按以下步驟進行: (a) 找一個(容易求出和函數(shù)的)冪級數(shù),使得;(b) 求的收斂域(應使,否則要另找冪級數(shù));(c) 求出的函數(shù);(d)(2) 利用函數(shù)的Fourier展開式求數(shù)項級數(shù)的和的問題,一般總是附在求的Fourier級數(shù)之后,由收斂定理而得.例如，在例5.3的展開式中，令即得（附：易知）利用這個結果，可得定積分課堂練習(1-5題選自復習題10) 1.填空題(1) 設冪級數(shù)的收斂半徑,則的收斂區(qū)間為.解:因為的收斂半徑,所以的收斂半徑, 從而的收斂

7、半徑,故其收斂區(qū)間為.(2)函數(shù)的Maclaurin級數(shù)為.解: ,.直接求解也不繁！(3) 的和函數(shù)為.解: 收斂域為.,.(4)的和為.解: 考慮冪級數(shù),其收斂域為.,.故.(5)(補充)已知,則.解:只需求出.事實上,所以.(6)(補充)設在點處條件收斂,則其收斂半徑.解:因為在點處收斂,故由Abel定理知,當時, 絕對收斂;又因為在點處發(fā)散,故當時, 發(fā)散(否則在處收斂);所以.(7)(補充)設是的以為周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù),則.解:.2.選擇題(1)設正項級數(shù)收斂,常數(shù),則(A) 發(fā)散. (B)條件收斂. (C)絕對收斂. (D)斂散性與有關.答( C )解:因為當充分大時,于是，

8、又因為正項級數(shù)收斂,從而正項級數(shù)必收斂,故原級數(shù)絕對收斂.(2) 若收斂,則下列級數(shù)中必定收斂的級數(shù)是(A). (B). (C). (D).答( D )解: 收斂,必收斂,所以必收斂.反例: (A)收斂,但發(fā)散;(B)收斂,但發(fā)散;(C)收斂,但發(fā)散.注：若正項級數(shù)收斂，則（A）、（B）、（C）、（D）都是收斂！(3) 冪級數(shù)的和函數(shù)為 (A). (B). (C). (D).答( D )解: ,.因為,于是有及，解得，所以.(4)若的和函數(shù)為,則等于 (A). (B). (C). (D).答( B )解: 因為,所以.(5)(補充題)級數(shù)的斂散情況是(A) 當時絕對收斂,當時條件收斂.(B)

9、當時絕對收斂,當時條件收斂.(C) 當時發(fā)散,當時收斂.(D) 均絕對收斂.答( A )6.(補充題) 若收斂，則級數(shù)(A)收斂. (B)收斂. (C)收斂. (D)收斂.答( D )解：若收斂，則收斂，故收斂.反例：收斂，但(A)發(fā)散；(B) ;(C)發(fā)散.3.將展為的冪級數(shù)(3);解: , 而;直接使用的展開式也行！; , .4.求冪級數(shù)的和函數(shù):(2);解: 此級數(shù)的收斂域為,令,.因為, ;, ;故,;當時,;當時,; 所以.5.將下列各周期函數(shù)展為傅里葉級數(shù)，若函數(shù)在一個周期的表達式為：(2), .解: 在內滿足狄氏條件,且,于是, ();,();, .6.設,試證收斂.證: ,記,

10、則單調減且有界,故收斂,從而收斂.7.設,.(1) 求的值;(2) 證明:, 收斂.解: (1) (),所以.(2)因為 () ,于是 ().而收斂,所以,收斂.8.討論級數(shù)的斂散性(包括絕對收斂性).解:這是交錯級數(shù).因為,且單調遞減(令,則當時,),故收斂.但,而發(fā)散,于是發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂.9.求級數(shù)的和.解:顯然收斂.考慮冪級數(shù),.因為,故.也可以令10.設,求,.解: ,.因為,所以().11.(正項級數(shù)的對數(shù)審斂法)設,且(有限數(shù)或),則(1)當時收斂;(2)當時發(fā)散.證: (1)當時,必,s.t.因為,故,s.t.,有,于是,即(),而時收斂,所以收斂.(2)當時,必,s.t.因為,故,s.t.,有,于是,即(),而時發(fā)散,所以發(fā)散.12.設,且 ().試證:若收斂,則也收斂.證: 由 ()可得,于是 ().又因為收斂,故由比