第五章平面向量

1、第五講 復(fù)習(xí)平面向量一、知識(shí)點(diǎn)：向量的概念；向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；向量運(yùn)算的運(yùn)用：定比分點(diǎn)、平移、正弦定理和余弦定理。二、知識(shí)與技能：1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4

2、）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性！（因有)；三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6

3、）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是

4、A. B. C. D.（答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_（答：0）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱(chēng)為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再

5、是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)（答：）（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)（答：）（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且

6、）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大?。ù穑海蛔钚≈禐?，）6、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡(jiǎn)：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_(kāi)（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中

7、點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_(kāi)（答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)（答：）；（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，則（答：或）；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是（答：（9,1）實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或

8、）；向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_（答：）；兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，2），求P到O的距離PO；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（答：（1）2；（2）；7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，。如下列命題中：； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)

9、取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）9、向量垂直的充要條件：.特別地。如(1)已知，若，則（答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）10.線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異

10、于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；（2）的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為。如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_(kāi)（答：）（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)1時(shí)，就得到線段PP的中點(diǎn)公式。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)

11、確定對(duì)應(yīng)的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（答：或）11.平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_（答：（，）；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_（答：）12、正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA， b2=c2+a2-2cacosB， c2=a2+b2-2abcosc定理變形：cosA=，cosB=

12、，cosC=正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過(guò)閱讀課本，理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。13.向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地為的中點(diǎn)；（4）向量中三終點(diǎn)

13、共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（答：直線AB）14、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問(wèn)題的“程序性”特點(diǎn)。三、題型訓(xùn)練A組1.已知，那么的坐標(biāo)是A（1，7） B（3，1） C（1，1） D（1，18）2.已知=(4,-2),=(4,2)，則等于 A(0,2) B(0,-2) C(4,0) D(0,4)3.若=(1,2),=(-3,2),且(k+)(-3),則實(shí)數(shù)k的值是AB19 CD24.，為非零向量，且|=|，若k+與k-相互垂直，則

14、實(shí)數(shù)k的可能值為A1 B2 C0 D任意實(shí)數(shù)5.已知a、b為兩個(gè)單位向量，則一定有Aab B若ab，則ab Ca·b1 Da·ab·b6.已知（2,4）,（1,2）, 則·等于（ ）A0 B10 C6 D107.已知a=(cos80°,cos10°),b=(sin55°,sin35°),則a·b（）AB C D8.已知向量a（1，2），b（4，x），且ab，則x的值是A8 B2 C2 D89.、是夾角為600的單位向量,則=2+，=2-3的夾角為A300 B600 C1200 D150010.在ABC中,

15、|=5,|=8,·=20,則|是 A6 B7 C8 D9 11.已知、是兩個(gè)非零向量,則是（+）2 =（-）2的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件12.與向量垂直的單位向量坐標(biāo)為（）A.或B.或C.或D.或13.點(diǎn)A分有向線段所成的比為，則點(diǎn)B分有向線段所成的比為A B2 C1 D114.點(diǎn)B分有向線段的比為2：1，則點(diǎn)C分的比為( )A B C D315.已知點(diǎn)M1（6，0）、M2（0，2），點(diǎn)M在M1M2的延長(zhǎng)線上，分M1M2的比為2，由點(diǎn)M的坐標(biāo)是A B（6，4） C（6，4） D（6，4）16.已知點(diǎn)P(-1，0)，Q(2，5)，則線段PQ

16、的中點(diǎn)坐標(biāo)是( )A(1,5) B(,) C(- D(-,)17.設(shè)點(diǎn)P(2,3)分所成的比為，點(diǎn)P1坐標(biāo)為(1,2),則點(diǎn)P2的坐標(biāo)是 A(2,3) B(3,4) C(4,5) D(5,6)18.按向量將點(diǎn)平移到點(diǎn)，則按向量將點(diǎn)平移到（ ）。AB C D19.把直線y2x沿向量平行，所得直線方程是Ay2x5 By2x5 Cy2x4 Dy2x420.將拋物線按向量a平移，平移后方程為，向量a的坐標(biāo)為A（1，1） B（1，1） C（1，1） D（1，1） 21.在ABC中，若sin(BC)2sinBsinC,那么這個(gè)三角形一定是A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D等腰三角形22.在ABC

17、中，如果sinAcosA，那么ABC的形狀是A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D不能確定23.滿足a4,b3和A45°的ABC的個(gè)數(shù)為A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D無(wú)窮多個(gè)24.在ABC中，若a6，b3，C120°，則c25.在ABC中，已知a4，A45°,B60°,則b等于A B C D26.已知向量=（x+3，x2-3x-4）與相等，若A(1,2),B(3,2),則x=27.若=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），則=+28.已知·=2，|=2，|=，則與的夾角14.若=（k，3），=（3，5）,且與的夾角是銳角，則k的取值范圍是

18、29.已知|a|4，|b|3，且ab，則（ab）·（a2b）30.已知，與的夾角為，那么。31.已知M1（1,5），M2（2,3），若點(diǎn)M在線段M1M2上，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是_。32.已知是的邊上的中線，若、，則等于。A.B.C.D.33.某緝私船發(fā)現(xiàn)在它的正東方向有一艘走私船，正以v海里/小時(shí)的速度向北偏東45°的方向逃離若緝私船馬上以v海里/小時(shí)的速度追趕，要在最短的時(shí)間內(nèi)追上走私船，則緝私船應(yīng)以沿北偏東的方向航行34.（5分）已知a(3,4),b(2,1)。求使得（axb）與（ab）垂直的實(shí)數(shù)x。35.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2),b(1,2),c(1,3)（1）求

19、ab；（2）若akb與c平行，求實(shí)數(shù)k.36.已知=(2,1),=(1,2),且,求.37.已知|=4，|=3，（2-3）·（2+）=61.求與的夾角； 求|+|和|-|.38.（7分）已知ABC的高AD、BE交于O點(diǎn)，連結(jié)CO（1）用AC、BC、BO所示向量表示AO所示向量（2）用向量證明：COAB39.設(shè)=(3,4),=(2,x),=(2,y), 若且,求與的夾角.40非零向量，滿足|=|=|+|，求與（-）的夾角B組1、 平面內(nèi)三點(diǎn)A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若，則x的值為：A、 -5 B、-1 C、1 D、52、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C點(diǎn)滿足，連DC并延長(zhǎng)至E，使|=|，則點(diǎn)E坐標(biāo)為：A、（-8，）B、（）C、（0，1）D、（0，1）或（2，）3.點(diǎn)（2，-1）沿向量平移到（-2，1），則點(diǎn)（-2，1）沿平移到：A、（2，-1） B、（-2，