第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、第12章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§1級(jí)數(shù)的收斂性1.證明下列級(jí)數(shù)的收斂性，并求其和數(shù)： （1）解：（1）因?yàn)樗裕啥x知該級(jí)數(shù)收斂，且和為。（2）是公比為的級(jí)數(shù)，故收斂于，同理收斂于，由級(jí)數(shù)的性質(zhì)知，收斂于。（3）因，從而。故該級(jí)數(shù)收斂，其和為。（4）因?yàn)槠渫?xiàng)為所以。所以。故該級(jí)數(shù)收斂且其和為。（5）由于所以，。故原級(jí)數(shù)收斂，且其和為3。2. 證明：若級(jí)數(shù)發(fā)散，,則也發(fā)散。證：（反證法）若收斂，則由知，由定理12.2知也收斂,與題設(shè)矛盾,從而當(dāng)發(fā)散時(shí),也發(fā)散.3. 設(shè)級(jí)數(shù)和都發(fā)散，試問一定發(fā)散嗎？又若與（n=1,2,.）都是非負(fù)數(shù)，則能得出什么結(jié)論？解：當(dāng)都發(fā)散時(shí),不一定發(fā)散.例:=都發(fā)散,而

2、=0+0+0+收斂.但當(dāng)與（n=1,2,.）都是非負(fù)數(shù)時(shí),則一定發(fā)散,證明如下:由發(fā)散知,對(duì)任何自然數(shù),總存在自然數(shù)和,有從而由柯西準(zhǔn)則知發(fā)散.4. 證明：若數(shù)列收斂于a,則級(jí)數(shù)。證明: 由已知,而所以,5. 證明：若數(shù)列有，則(1)級(jí)數(shù)發(fā)散；(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)=.證明:(1)因所以. 故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)當(dāng)時(shí),從而因此=.6. 應(yīng)用第4，5題的結(jié)果求下列級(jí)數(shù)的和：解: (1)因?yàn)槎鴶?shù)列收斂于零,由習(xí)題4知(2)因?yàn)槎鴶?shù)列收斂于零,所以由習(xí)題4知(3)而數(shù)列收斂于0,由了習(xí)題4知7. 應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：解:(1)任給自然數(shù)及,有而于是任給當(dāng)時(shí),任給自然數(shù),都有由柯西準(zhǔn)則知該級(jí)數(shù)收斂

3、. (2) 取,對(duì)任一,取則且由柯西準(zhǔn)則知該級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)任給,取當(dāng)時(shí),任給正整數(shù)都有由柯西準(zhǔn)則知該級(jí)數(shù)收斂.(4)取對(duì)任一,取則由柯西準(zhǔn)則知該級(jí)數(shù)發(fā)散.8. 證明級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在某自然數(shù)N,對(duì)一切n>N,總有證明:(必要性) 若收斂,則由柯西準(zhǔn)則知:任給,存在自然數(shù),使當(dāng)時(shí),取則對(duì)任何有(充分性) 若任給,存在某自然數(shù),對(duì)一切.總有則對(duì)一切都有由柯西準(zhǔn)則知收斂.9. 舉例說明：若級(jí)數(shù)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)p滿足條件此級(jí)數(shù)仍可能不收斂。解:例如級(jí)數(shù),對(duì)每一個(gè)自然數(shù),有但級(jí)數(shù)發(fā)散.10. 設(shè)級(jí)數(shù)滿足:加括號(hào)后級(jí)數(shù)收斂,且在同一括號(hào)中的符號(hào)相同,證明亦收斂.證明:因?yàn)槭諗?所以

4、由柯西準(zhǔn)則知:當(dāng)時(shí),對(duì)一切有設(shè)為任一自然數(shù),則存在使得從而         故由柯西準(zhǔn)則知收斂.§2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 應(yīng)用比較原則判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解：（1）由于而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故收斂。（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，而收斂（），故收斂。（3）因?yàn)闀r(shí)，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）因?yàn)?，而正?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。（5）因?yàn)?，而正?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。（6）因?yàn)?，而發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。（7）因?yàn)椤Ｓ职l(fā)散，故發(fā)散。（8）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則，所以，而收斂，

5、故原級(jí)數(shù)收斂。（9）因?yàn)椋瑒t為正項(xiàng)級(jí)數(shù)而收斂，故收斂。2.用比較判別法或根式判別法鑒定下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1） ；（2）；（3）； （4）（5）； （6）； （7）（其中且）。解（1）因?yàn)橐罁?jù)比式判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）因?yàn)橐罁?jù)比式判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散。（3）因?yàn)?。依?jù)根式判別法，級(jí)數(shù)收斂。（4）因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂。（5）因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂。（6）因?yàn)?。?jí)數(shù)發(fā)散。（7）因?yàn)椤?（1）當(dāng)a>b時(shí)，依據(jù)根式判別法，級(jí)數(shù)收斂。 （2）當(dāng)a<b時(shí)，依據(jù)根式判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散。 （3）當(dāng)a=b時(shí)斂散性不定3.設(shè)和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在正數(shù)對(duì)一切n>有。證明：若級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散。解 由題意

6、知：當(dāng)時(shí)，從而對(duì)，有故由于是常數(shù)，故由比式判別法知，當(dāng)收斂時(shí)，收斂，當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。4.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂；試問反之是否成立？解：由收斂知于是存在N，當(dāng)時(shí)，從而時(shí)，有由比較原則推得收斂，則收斂，既得收斂反之不成立。例如收斂，但發(fā)散。5.設(shè)且數(shù)列有界，證明級(jí)數(shù)收斂。解：因有界，所以，對(duì)一切n有，則收斂從而，而收斂（M為常數(shù)），由比較原則知，收斂。6設(shè)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂。解：對(duì)任意正整數(shù)n，由于而都收斂，得收斂，由比較原則，收斂。7 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。證明級(jí)數(shù)也收斂。解：級(jí)數(shù) 收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)收斂。且，而由已知收斂，從而收斂，由比較原則知收斂8.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件

7、,證明下列等式：（1）;（2）.解：(1) 設(shè),則正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的,這是因?yàn)?故由柯西準(zhǔn)則可知.(2) 設(shè),則正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的,這是因?yàn)?故由柯西準(zhǔn)則可知.9.用積分判別法討論下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；解：（1）設(shè)則在上為非負(fù)遞減函數(shù)，而故由積分判別法知收斂.(2) 設(shè),故在上為非負(fù)遞減函數(shù)，而,故發(fā)散,于是由積分判別法知發(fā)散.§3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)1.下列級(jí)數(shù)哪些是絕對(duì)收斂，條件收斂或發(fā)散：（1）;（2）（3） （4） （5） （6）（7） （8）解：（1）因?yàn)?而收斂，所以為絕對(duì)收斂。（2）因?yàn)?所以發(fā)散(3)當(dāng)時(shí),故這時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)而收斂,故這時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 當(dāng)時(shí),令則 而

8、 從而當(dāng)充分大時(shí),有,即為單調(diào)遞減，又有.故由定理12.11(萊布尼茨判別法)可知，級(jí)數(shù)在時(shí)條件收斂.(4) 因?yàn)?而發(fā)散,即原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù),但是單調(diào)遞減且所以由萊布尼茨判別法可知條件收斂. (5) 由于發(fā)散,收斂,故發(fā)散. (6) 因?yàn)?而發(fā)散,即不是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù),但是單調(diào)減且,所以絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. (7)因?yàn)?所以絕對(duì)收斂. (8)因?yàn)? 所以當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;原級(jí)數(shù)發(fā)散.2.應(yīng)用阿貝耳判別法或狄利克雷判別法判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1);(2);(3).解：(1)數(shù)列，當(dāng)時(shí)有，同時(shí)，當(dāng)0<x<1時(shí)有 ，即嚴(yán)格遞減且有界；當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)即為，滿足萊布尼茲條件，即收斂；當(dāng)x>1時(shí)有 ，即嚴(yán)格遞增且有界.又由于是收斂的,故由阿貝爾判別法知原級(jí)數(shù)收斂.(2)由于