相似三角形及其判定

1、第二章 相似第6講 相似三角形及其判定一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道相似形的定義及相似比的概念，會(huì)準(zhǔn)確找出兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；2.知道比例線段的概念及有關(guān)變形，掌握平行線分線段成比例定理及推論，并應(yīng)用分析、解決問題； 3.掌握相似三角形的判定方法，并能靈活運(yùn)用相似三角形的判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算、證明；二、基礎(chǔ)知識(shí)輕松學(xué)1比例線段（1）線段比：在同一單位下，兩條線段長(zhǎng)度的比.叫做這兩條線段的比.（2）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相等，如或abcd，我們就說這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.（3）比例尺：在地圖或者工程圖紙上，圖上長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度的比通常叫做比

2、例尺，比如你照的全身照片與你本人相比，縮小了很多，若用1:20表示，則把比例尺稱為1:20.【精講】（1）判斷四條線段是否成比例，應(yīng)先將四條線段的長(zhǎng)度單位統(tǒng)一，然后將四條線段按從小到大的順序排列，再判斷前兩條線段的長(zhǎng)度比是否等于后兩條線段的長(zhǎng)度比。（2）比例的基本性質(zhì)：如果，那么；2相似三角形的有關(guān)概念及性質(zhì)（1）相似多邊形一般地說，形狀相同的兩個(gè)圖形稱為相似圖形。從所學(xué)習(xí)的多邊形而言：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.相似形定義應(yīng)把握兩點(diǎn)：一是形狀相同；二是大小不一定相同.（2）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形.相似

3、三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例?！揪v】關(guān)鍵把握以下幾點(diǎn)：（1）在用“”表示兩個(gè)相似三角形時(shí)，和表示兩個(gè)全等三角形一樣，一定要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母寫在對(duì)應(yīng)順序位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 如圖，ABC與ABC相似，記作：ABCABC.（2）兩個(gè)相似三角形的相似比具有順序性，即ABCABC的相似比為k，那么ABCABC的相似之比為.（3）全等三角形實(shí)際上是相似比為1的相似三角形，即相似三角形包含全等三角形，但相似三角形不一定是全等三角形（4）根據(jù)相似三角形的定義可知：若ABCABC，ABCABC，則ABCABC，即相似三角形具有傳遞性。3.相似三角形的判定（1）平行線分線段成比例定理平

4、行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等。判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（2）相似三角形的判定定理相似三角形的判定1：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似相似三角形的判定2：如果兩個(gè)三角形兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似相似三角形的判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似【精講】相似三角形常見的基本圖形（1）平行線型平行線型就是條件

5、中有平行線，基本圖形常見的有兩種：“A”型如圖1，即公共角的對(duì)邊平行和“X”型如圖2，即對(duì)頂角的對(duì)邊平行。 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5 圖6（2）斜交型斜交型就是公共角的對(duì)邊不平行，即相交或延長(zhǎng)線相交或?qū)斀撬鶎?duì)的邊延長(zhǎng)相交，其中再有一對(duì)角相等，或其公共（或?qū)敚┙堑膬蛇厡?duì)應(yīng)成比例，就可以判定兩個(gè)三角形相似，基本圖形常見的有下列幾種：如圖3，若DB或ACBAED，則ADEABC；如圖4，若ACDB或ADCACB，則ACDABC；如圖5，若ADEB或AEDC，則ADEABC；如圖6，若AD或BC，則AOBDOC；（3）旋轉(zhuǎn)型旋轉(zhuǎn)型的特點(diǎn)是將其中的一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到平行線型或斜交

6、型，如圖7，若添加一個(gè)條件則有AEDABC； 圖7 圖8 圖9 （4）雙垂型：如圖8，在RtABC中，ABC90，如果BDAC，那么ABCADBBDC（5）K字型如圖9，在矩形、等邊三角形、等腰三角形中，如果存在AEFB=C，則ABEECF；判定相似三角形的基本思路：一是條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等；二是條件中若有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，可找夾角相等或計(jì)算第三組對(duì)應(yīng)邊的比，考慮三組對(duì)應(yīng)邊的比相等。三、重難疑點(diǎn)輕松破1.識(shí)別比例線段例1已知線段a0.5m，c25cm，b0.2m，d10cm，試識(shí)別這四條線段是否成比例線段？解析：先求出其中兩條線段的比，再求出

7、另外兩條線段的比，比較它們的值是否相等.因?yàn)閍0.5m50cm，c0.2m20cm，所以2，所以a、c、b、d四條線段成比例.點(diǎn)評(píng)本題易受思維定勢(shì)的影響，習(xí)慣性的判定是否成立，而導(dǎo)致錯(cuò)解判斷四條線段是否成比例，一是單位要統(tǒng)一；二要注意四條線段的順序；三是計(jì)算兩條線段之比是否等于另兩條線段之比.變式1 在比例尺是1:8000000的“中國(guó)政區(qū)”地圖上，量得福州與上海之間的距離是7.5cm，那么福州與上海的實(shí)際距離是_km.2. 準(zhǔn)確理解相似比及相似三角形性質(zhì)找兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法有兩種：如果給出相似表達(dá)式，就先找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，再找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角如果已知對(duì)應(yīng)角，那么對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊就是對(duì)

8、應(yīng)邊；如果已知對(duì)應(yīng)邊，那么對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角就是對(duì)應(yīng)角找兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊還有一個(gè)原則：大邊對(duì)大邊，小邊對(duì)小邊例2ABC的三邊長(zhǎng)為2、3、4，若AEDABC，且AED的最短邊長(zhǎng)為8，則AED與ABC相似比是 ，AED的另兩邊長(zhǎng)分別為 答案：（1）1：2（2）12、16解析：（1）由題意知，要求周長(zhǎng)，應(yīng)知道三邊長(zhǎng)，兩個(gè)三角形相似，則對(duì)應(yīng)邊成比例，這里的對(duì)應(yīng)指大邊對(duì)大邊，小邊對(duì)小邊，題目中給出的第二個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)是8，因此應(yīng)找出第一個(gè)三角形的最短邊與之對(duì)應(yīng)，這條對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)應(yīng)為2，所以相似比為，設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為x、y，解得x12，y16，第二個(gè)三角形的另兩邊長(zhǎng)分別為12、16點(diǎn)評(píng)：求相似比時(shí)要注意

9、順序，哪個(gè)三角形在前，它的對(duì)應(yīng)邊就作為比的前項(xiàng)相似比實(shí)際上反映的是一個(gè)圖形的放大或縮小，相似比大于1，說明圖形被放大；相似比小于1，說明圖形被縮??；相似比等于1，說明兩個(gè)圖形全等若ABC與ABC的相似比為k，則ABC與ABC的相似比為變式2如果兩個(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為35cm和14cm，那么最短邊分別為5cm和 cm3.探尋兩三角形相似在判別兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用背景圖形中已有的公共角，公共邊等隱含條件（特殊圖形的性質(zhì)或平行等），以充分發(fā)揮基本圖形（平行線型（“A”型和“X”型）、斜交型、旋轉(zhuǎn)型、雙垂型、K字型）的作用；尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形（或構(gòu)造成比

10、例的線段）；或利用特征圖形（如公共邊、角的兩個(gè)三角形）找相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形；或利用分別等于中間比的兩個(gè)比相等實(shí)現(xiàn)對(duì)等比進(jìn)行轉(zhuǎn)移；判別三角形相似的方法有時(shí)單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可（1）借助基本圖形探尋相似對(duì)數(shù)例3 如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形共有（ ）A2對(duì) B3對(duì) C4對(duì) D5對(duì)解析：本題圖中有兩組平行線,故存在平行線型的基本圖形,把它們一一分離出來,如圖、圖所示，由于ADFECFEBA，共有3對(duì)相似三角形；由于矩形是中心

11、對(duì)稱圖形，對(duì)角線分得的兩個(gè)三角形是全等形，也是相似三角形，故選擇C答案.點(diǎn)評(píng)：在尋求復(fù)雜圖形中的相似三角形時(shí)，如果圖形中含有平行線，可抓住平行線的位置特征，根據(jù)上述所總結(jié)的“A”型的圖形和多少個(gè)“X”型的圖形的基本形狀分離出所尋求的形似三角形 .識(shí)別相似三角形，關(guān)鍵是從復(fù)雜圖形中提煉出基本圖形（平行線型、斜交型、旋轉(zhuǎn)型、雙垂型、K字型），判定兩個(gè)三角形是否相似首先看是否存在平行線或能否作出相關(guān)的平行線，再看是否存在兩組對(duì)應(yīng)角相等，最后再看對(duì)應(yīng)邊是否成比例，尤其注意全等也是相似的特殊情形。變式3 如圖所示，圖中共有相似三角形（）A、2對(duì)B、3對(duì) C、4對(duì)D、5對(duì)（2）借助網(wǎng)格探尋三角形相似例4

12、如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（ ）A.答案：A解析：借助網(wǎng)格，由已知的可知，最大角ACB=135，故排除選項(xiàng)B、C、D三項(xiàng)， 故選A 。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)網(wǎng)格作為背景時(shí)，相關(guān)格點(diǎn)之間便容易形成特殊的圖形如正方形，直角三角形等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握在網(wǎng)格中的特有的本質(zhì); 最大角ACB=135。當(dāng)然也可利用網(wǎng)格背景分別計(jì)算三角形的各邊，利用三邊是否對(duì)應(yīng)成比例判定兩三角形相似。有關(guān)網(wǎng)格相似題常用的策略一是找特殊角，即利用網(wǎng)格的直觀性，從中發(fā)現(xiàn)一些特殊的角，如45、90、135，從而使結(jié)論一目了然；二是找相等的角，再驗(yàn)證夾等角的兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；三是利用勾股定理計(jì)算三

13、邊的長(zhǎng)，再驗(yàn)證三組對(duì)應(yīng)邊是否成比變式4 如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)ACB和DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F（1）求證：ACBDCE；（2）求證：EFAB例5 如圖，已知PMN是等邊三角形，APB=，求證：。證明：PMN是等邊三角形P21NMBAPMN=PNM=，又PMA+PMN=PNB+PNM=，PMA=PNB=，A+1=，1+2=-=，A+1=1+2，A=2， APMPBN， .點(diǎn)評(píng)：由兩個(gè)角判定三角形形似的方法是所有方法中最常見的方法，應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角，一般地公共角、對(duì)頂角、同（等）角的余角（或補(bǔ)角）都是相等的，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘

14、題中的條件（外角、內(nèi)角和、全等、特殊圖形的性質(zhì)等）.變式5 如圖，在RtAOD中,AOD=900,AO=OB=BC=CD.3與4有何關(guān)系?證明你的結(jié)論。四、課時(shí)作業(yè)輕松練A.基礎(chǔ)題組1下列各組中的四條線段成比列的是（）A1cm，2cm，20cm，40cmB1cm，2cm，3cm，4cmC4cm，2cm，1cm，3cm D5cm，10cm，15cm，20cm2.已知如圖：（1）、（2）中各有兩個(gè)三角形，其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖（2）中AB、CD交于0點(diǎn)，對(duì)于各圖中的兩個(gè)三角形而言，下列說法正確的是（）A、都相似B、都不相似 C、只有（1）相似D、只有（2）相似3. (2012海南)如圖，

15、點(diǎn)D在ABC的邊AC上，要判斷ADB與ABC相似，添加一個(gè)條件，不正確的是 ( ) AABD=C BADB=ABC C D4.下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是( )ACB A B C D5.在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線于G，DEAG于E根據(jù)上述條件，請(qǐng)?jiān)趫D中找出四組相似三角形，并說明其中一組的理由B.中檔題組6.如圖，在ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點(diǎn)，連接BE、AF，他們相交于G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中的相似三角形共有（）A、2對(duì)B、3對(duì) C、4對(duì)D、5對(duì)7.如

16、圖，在ABC中，BAC=90，D為BC的中點(diǎn)，AEAD，AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（1）求證：EABECA；（2）ABE和ADC是否一定相似？如果相似，加以說明；如果不相似，那么增加一個(gè)怎樣的條件，ABE和ADC一定相似C.挑戰(zhàn)題組8.如圖，ADBC，D=90，DC=7，AD=2，BC=4若在邊DC上有點(diǎn)P使PAD和PBC相似，則這樣的點(diǎn)P存在的個(gè)數(shù)有（）A、1B、2 C、3D、4五、我的錯(cuò)題本參考答案變式練習(xí)變式1 600解析根據(jù)關(guān)系式：比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，計(jì)算出實(shí)際距離，同時(shí)注意單位換算.設(shè)實(shí)際距離為x(cm)，則，所以x=60000000cm=600km.變式2 2解析：兩個(gè)相似多

17、邊形的最長(zhǎng)邊分別為35cm和14cm，則兩個(gè)多邊形的相似比是35：14，設(shè)第二個(gè)多邊形最短邊長(zhǎng)是xcm，則35：14=5：x，解得x=2cm，最短邊分別為5cm和2cm變式3C解析：共四對(duì)，分別是PACPBD、AOCDOB、AOBCOD、PADPCB故選C變式4解：（1） 又 ACB=DCE=90， ACBDCE（2） ACBDCE， ABCDEC又 ABCA =90， DECA=90 EFA=90 EFAB 變式5解：由圖形發(fā)現(xiàn)存在斜交型的基本圖形，從對(duì)應(yīng)邊之比探尋兩三角形相似， 設(shè)AO=OB=BC=CD=x,則DB=2x,AB=x.=, ABC=DBA(公共角),ABCDBA, 3=4.

18、課堂作業(yè)A.基礎(chǔ)題組1.A解析：根據(jù)兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段所給選項(xiàng)中，只有A中，140=220，所以選A2.A解析：如圖（1）A=35，B=75，C=180AB=70，E=75，F(xiàn)=70，B=E，C=F，ABCDEF；OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，AOC=DOB，AOCDOB故選A3.C解：要使ADBABC，現(xiàn)有A=A，則還需要ABD=C、ADB=ABC或。4.B解析：由勾股定理得BC，AB2，AC選項(xiàng)A中三角形的三邊是2，3；選項(xiàng)B中三角形的三邊是2，4，2；選項(xiàng)C中三角形的三邊是2，3，；選項(xiàng)D中三角形的三邊是，4其中對(duì)應(yīng)邊的比相等的只有與ABC相似的三角形是選項(xiàng)B中的三角形另一解法：易知ABC是兩直角邊之比為12的直角三角形，從而可快速找出正確選項(xiàng)B5.解：GCFABF，GDEAED，GDEADC，GCFAGDG=G，GCF=GDA，GCFGDAB.中檔題組6.C解析：在ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點(diǎn)，連接BE、AF，他們相交于G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，AGBHG