生物統(tǒng)計學教案(8)

1、生物統(tǒng)計學教案第八章 單因素方差分析教學時間：5學時教學方法：課堂板書講授教學目的：重點掌握方差分析的方法步驟,掌握單因素和兩因素的方差分析 ,了解多重比較的一些常用方法講授難點：掌握單因素和兩因素的方差分析8.1 方差分析的基本原理 方差分析的一般概念第五章講過兩個平均數(shù)差異性的比較可用t檢驗，在多組數(shù)據(jù)之間作比較便需要通過方差分析來完成。在多組數(shù)據(jù)之間作比較可以在兩兩平均數(shù)之間比較，但會提高犯I型錯誤的概率。最簡單的方差分析是單因素方差分析。下面舉例說明。 例1 調(diào)查5個不同小麥品系株高，結(jié)果見下表： 品 系 I II III IV V1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2

2、2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.23 64.8 64.6 67.1 70.0 69.84 66.0 63.7 66.8 69.1 68.35 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 和 326.5 322.0 336.5 354.0 343.0 平均數(shù) 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6 例2 從每窩均有4只幼仔的初生動物中，隨機選擇4窩，稱量每只動物的出生重，結(jié)果如下： 窩 別 I II III IV 1 34.7 33.2 27.1 32.9 2 33.3 26.0 23.3 31.4 3 26.2 28.6 27.8 25.7 4 31.6 32

3、.3 26.7 28.0 和 125.8 120.1 104.9 118.0 平均數(shù) 31.450 30.025 26.225 29.500這兩個例子都只有一個因素，例1是“品系”，例2是“窩別”。在每個因素下，又有a個水平（或稱為處理），例1有5個品系，例2有4個窩別。a個水平可以認為是a個總體，表中的數(shù)據(jù)是從a個總體中抽出的a個樣本。方差分析的目的就是由這a個樣本推斷a個總體。因為上述實驗都只有一個因素，對這樣的數(shù)據(jù)所進行的方差分析稱為“單因素方差分析”。單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)見下表。 X1 X2 X3 Xi Xa 1 x11 x21 x31 xi1 xa1 2 x12 x22 x32

4、xi2 xa2 3 x13 x23 x33 xi3 xa3 j x1j x2j x3j xij xaj n x1n x2n x3n xin xan平均數(shù) x1. x2. x3. xi. xa.表中的xij表示第i次處理下的第j次觀測值，下標中的“.”表示求和，具體說明如下： 不同處理效應與不同模型線性統(tǒng)計模型：模型中的xij是在i水平下的第j次觀測值。是對所有觀測值的一個參數(shù)，稱為總平均數(shù)。i是僅對第i次處理的一個參數(shù)，稱為第i次處理效應。ij是隨機誤差成分，要求誤差是服從N(0，2)的獨立隨機變量。固定因素：因素的水平確定后，因素的效應即被確定。因素的a個水平是人為特意選擇的。方差分析所得結(jié)

5、論只適用于所選定的a個水平。固定效應模型：處理固定因素所使用的模型。隨機因素：因素的水平確定之后，其效應并不固定。因素的a個水平是從水平總體中隨機抽取的。從隨機因素的a個水平所得到的結(jié)論，可推廣到該因素的所有水平上。隨機效應模型：處理隨機因素所使用的模型。8.2 固定效應模型 線性統(tǒng)計模型其中i是處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離差，因這些離差的正負值相當，因此如果不存在處理效應，各i都應當?shù)扔?，否則至少有一個i0。因此，零假設為： H0：12 a0備擇假設為： HA：i 0（至少有一個i） 平方和與自由度的分解對于每個固定的xi .，因此，以SST表示總平方和，SSA表示處理平方和，SSe表示誤差平

6、方和，三者關(guān)系為： SSTSSASSe自由度可做同樣的分割： dfTdfA + dfe dfTan1 dfAa1 dfeana為了得出檢驗統(tǒng)計量，以處理平方和與誤差平方和除以相應的自由度，得出相應的均方。 MSeSSe/dfe MSASSA/dfA。8.2.3 均方期望與統(tǒng)計量FMSe是2的無偏估計量，證明如下：用同樣的方法可以得出MSA的均方期望。因為E(ij)=0, 故所有包含ij乘積項的數(shù)學期望都等于0于是：由以上結(jié)果可以看出，誤差均方MSe是2的無偏估計量。對處理項來說，只有當i0時，MSA才是2的無偏估計量。用MSA和MSe比較，便可以反映出i的大小。為此，使用統(tǒng)計量F作為檢驗統(tǒng)計量

7、，做上尾單側(cè)檢驗。F=MSA / MSe，具dfA,dfe自由度，當F<F時，接受零假設，處理平均數(shù)間不顯著；當F>F時拒絕零假設，處理平均數(shù)間差異顯著。在中，令則處理均方可表示為這時的零假設可以記為H0：2 = 0。備擇假設記為HA：2 > 0。將上述結(jié)果列在方差分析表中 變差來源 平方和 自由度 均方 F 均方期望 處理間 SSA a1 MSA MSA/MSe 2+n2 誤 差 SSe naa MSe 2 總 和 SST na1 平方和的簡易計算令C稱為校正項。誤差平方和 SSe SSTSSA將例1中的每個數(shù)據(jù)都減去65，編碼后列成下表。 品 系 I II III IV

8、V 1 0.4 0.5 2.8 6.8 4.2 2 0.3 0.3 1.3 7.1 3.2 3 0.2 0.4 2.1 5.0 4.8 4 1.0 1.3 1.8 4.1 3.3 5 0.8 1.1 3.5 6.0 2.5 總和 xi . 1.5 3.0 11.5 29.0 18.0 57.0 xi .2 2.25 9.00 132.25 841.00 324.00 1308.50 xij2 1.93 3.40 29.43 174.46 68.06 277.28將以上結(jié)果列成方差分析表：變差來源 平方和 自由度 均方 F 品系間 131.74 4 32.94 42.23* 誤 差 15.58

9、20 0.78 總 和 147.32 24 * 0.01F4，20，0.052.87，F(xiàn)4，20，0.014.43。F > F0.01。P<0.01因此，上述5個不同小麥品系株高差異極顯著。習慣上以“ * ”表示在0.05水平上差異顯著，以“ * ”表示在0.01水平上差異顯著。8.3 隨機效應模型 線性統(tǒng)計模型其中為總平均數(shù)，i為服從N(0，2)的獨立隨機變量，ij為服從N(0，2)的獨立隨機變量。在隨機模型中，不是檢驗單個處理效應的有無，而是檢驗i是否存在變異性。因此接受H0表示處理間沒有差異，拒絕H0意味著處理間存在差異。 均方期望及統(tǒng)計量F在隨機模型中，因為i是獨立隨機變量

10、，因此MSA的數(shù)學期望與固定模型不同。MSA的數(shù)學期望：同理可證用檢驗統(tǒng)計量F做上尾單側(cè)檢驗：FMSA/MSe。當F>Fa-1,an-a,時拒絕H0。MSA的期望組成除包含誤差方差外，還包含處理項方差，表明不同處理間存在差異。方差分析的程序與固定模型相同，但由于獲得樣本的方式不同，使之所得結(jié)果也不同。隨機模型適用于水平總體，而固定模型僅適用于所選定的a個水平。以下是例2的計算結(jié)果，將每一數(shù)據(jù)均減去30。 4.7 3.2 2.9 2.9 3.3 4.0 6.7 1.4 3.8 1.4 2.2 4.3 1.6 2.3 3.3 2.0 總和 xi . 5.8 0.1 15.1 2.0 11.2

11、 xi .2 33.64 0.01 228.01 4.00 265.66 xij2 49.98 33.49 69.03 32.86 185.36將上述結(jié)果列成方差分析表 變差來源 平方和 自由度 均方 F 窩間 58.575 3 19.525 1.97 誤差 118.945 12 9.912 總和 177.620 15F3，12，0.053.49，F(xiàn)<F0.05，P>0.05，接受H0。結(jié)論是不同窩別動物出生重沒有顯著差異。8.4 多重比較 最小顯著差數(shù)法（LSD）平均數(shù)差數(shù)的顯著性檢驗公式為：當n1n2時，當差異顯著時后邊式子，大于號的右側(cè)稱為最小顯著差數(shù)，記為LSD。 Dunc

12、an檢驗檢驗程序： 將需要比較的a個平均數(shù)依次排列好，使之：并將每一對平均數(shù)的差列成下表：算出不同對平均數(shù)的差的臨界值Rk。 其中 上式中的k是要比較的兩個平均數(shù)之間所包含的平均數(shù)的個數(shù)。當兩個平均數(shù)相鄰時k2，中間隔一個時k=3等。平均數(shù)共有a個，所以需從附表9中查出a1個r，得到a1個臨界值Rk。每兩個平均數(shù)的差與相應的臨界值比較，顯著的打上一個星花“*”，極顯著的打上兩個星花“*”。下面對5個小麥品系株高平均數(shù)做duncan多重比較.首先將平均數(shù)按從高到低順序排列好。 品系號 IV V III I II 平均數(shù) 70.8 68.6 67.3 65.3 64.4 順序號 1 2 3 4 5根據(jù)MSe0.78，n5，dfa(n1)20，k2,3,4,5。將臨界值列成表。k 2 3 4 5 k 2 3 4 5r0.05 2.95 3.10 3.18 3.25 r0.01 4