熱傳導(dǎo)方程傅里葉解

1、熱傳導(dǎo)在三維的等方向均勻介質(zhì)里的傳播可用以下方程表達(dá)：其中：· u =u(t, x, y, z) 表溫度，它是時(shí)間變量 t 與 空間變量 (x,y,z) 的函數(shù)。 · /是空間中一點(diǎn)的溫度對時(shí)間的變化率。 · , 與 溫度對三個(gè)空間座標(biāo)軸的二次導(dǎo)數(shù)。 · k 決定于材料的熱傳導(dǎo)率、密度與熱容。 熱方程是傅里葉冷卻律的一個(gè)推論（詳見條目熱傳導(dǎo)）。如果考慮的介質(zhì)不是整個(gè)空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定 u 的邊界條件。如果介質(zhì)是整個(gè)空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個(gè)指數(shù)型的上界，此假定吻合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質(zhì)，這代

2、表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態(tài)會(huì)趨向同一個(gè)穩(wěn)態(tài)（熱平衡）。因此我們很難從現(xiàn)存的熱分布反解初始狀態(tài)，即使對極短的時(shí)間間隔也一樣。熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式其中的 是對空間變量的拉普拉斯算子。熱方程支配熱傳導(dǎo)及其它擴(kuò)散過程，諸如粒子擴(kuò)散或神經(jīng)細(xì)胞的動(dòng)作電位。熱方程也可以作為某些金融現(xiàn)象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與 Ornstein-Uhlenbeck 過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應(yīng)用于影像分析。量子力學(xué)中的薛定諤方程雖然有類似熱方程的數(shù)學(xué)式（但時(shí)間參數(shù)為純虛數(shù)），本質(zhì)卻不是擴(kuò)散問題，解的定性行為也完全不同。

3、就技術(shù)上來說，熱方程違背狹義相對論，因?yàn)樗慕獗磉_(dá)了一個(gè)擾動(dòng)可以在瞬間傳播至空間各處。擾動(dòng)在前方光錐外的影響通常可忽略不計(jì)，但是若要為熱傳導(dǎo)推出一個(gè)合理的速度，則須轉(zhuǎn)而考慮一個(gè)雙曲線型偏微分方程。以傅里葉級數(shù)解熱方程編輯以下解法首先由約瑟夫·傅里葉在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學(xué)）給出。先考慮只有一個(gè)空間變量的熱方程，這可以當(dāng)作棍子的熱傳導(dǎo)之模型。方程如下：其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的雙變量函數(shù)。· x 是空間變量，所以 x 0,L，其中 L 表示棍子長度。 ·

4、 t 是時(shí)間變量，所以 t 0。 假設(shè)下述初始條件其中函數(shù) f 是給定的。再配合下述邊界條件. 讓我們試著找一個(gè)非恒等于零的解，使之滿足邊界條件 (3) 并具備以下形式：這套技術(shù)稱作分離變量法。現(xiàn)在將 u 代回方程 (1)，由于等式右邊只依賴 x，而左邊只依賴 t，兩邊都等于某個(gè)常數(shù) ，于是：以下將證明 (6) 沒有 0 的解：假設(shè) < 0，則存在實(shí)數(shù) B、C 使得從 (3) 得到于是有 B = 0 = C，這蘊(yùn)含 u 恒等于零。假設(shè) = 0，則存在實(shí)數(shù) B、C 使得仿上述辦法可從等式 (3) 推出 u 恒等于零。因此必然有 > 0，此時(shí)存在實(shí)數(shù) A、B、C 使得從等式 (3) 可

5、知 C = 0，因此存在正整數(shù) n 使得由此得到熱方程形如 (4) 的解。一般而言，滿足 (1) 與 (3) 的解相加后仍是滿足 (1) 與 (3) 的解。事實(shí)上可以證明滿足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式給出：其中推廣求解技巧編輯上面采用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間上，算子 可以用它的特征矢量表示。這就自然地導(dǎo)向線性自伴算子的譜理論?？紤]線性算子 u = ux x，以下函數(shù)序列（n 1）是 的特征矢量。誠然：此外，任何滿足邊界條件 f(0)=f(L)=0 的 的特征矢量都是某個(gè) en。令 L2(0, L) 表 0, L 上全體平方可積函數(shù)的矢量空間。這些函數(shù)

6、 en 構(gòu)成 L2(0, L) 的一組正交歸一基。更明白地說：最后，序列 enn N 張出 L2(0, L) 的一個(gè)稠密的線性子空間。這就表明我們實(shí)際上已將算子 對角化。非均勻不等向介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)一般而言，熱傳導(dǎo)的研究奠基于以下幾個(gè)原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談?wù)搯挝粫r(shí)間內(nèi)流進(jìn)空間中一塊區(qū)域的熱量。· 單位時(shí)間內(nèi)流入?yún)^(qū)域 V 的熱量由一個(gè)依賴于時(shí)間的量 qt(V) 給出。假設(shè) q 有個(gè)密度 Q(t,x)，于是 · 熱流是個(gè)依賴于時(shí)間的矢量函數(shù) H(x)，其刻劃如下：單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)一個(gè)面積為 dS 而單位法矢量為 n 的無窮小曲面元素的熱量是 因此單位時(shí)間

7、內(nèi)進(jìn)入 V 的熱流量也由以下的面積分給出其中 n(x) 是在 x 點(diǎn)的向外單位法矢量。· 熱傳導(dǎo)定律說明溫度對時(shí)間的梯度滿足以下線性關(guān)系 其中 A(x) 是個(gè) 3 × 3 實(shí)對稱正定矩陣。 利用格林定理可將之前的面積分轉(zhuǎn)成一個(gè)體積分· 溫度在 x 點(diǎn)對時(shí)間的改變率與流進(jìn) x 點(diǎn)所在的無窮小區(qū)域的熱量成正比，此比例常數(shù)與時(shí)間無關(guān)，而可能與空間有關(guān)，寫作 (x)。 將以上所有等式合并，便獲得支配熱流的一般公式。注記：· 系數(shù) (x) 是該材料在 x 點(diǎn)的密度和比熱的積的倒數(shù)。 · 在等方向性介質(zhì)的情況，矩陣 A 只是個(gè)標(biāo)量，等于

8、材料的導(dǎo)熱率。 · 在非等向的情況， A不一定是標(biāo)量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應(yīng)的抽象柯西問題，證明它是適定的，并（或）導(dǎo)出若干定性結(jié)果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態(tài)或一些平滑化性質(zhì)）。這些論證通常有賴于單參數(shù)半群理論：舉例來說，如果 A 是個(gè)對稱矩陣，那么由 定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導(dǎo)出它生成一個(gè)單參數(shù)半群。 粒子擴(kuò)散編輯粒子擴(kuò)散方程編輯在粒子擴(kuò)散的模性中，我們考慮的方程涉及· 在大量粒子集體擴(kuò)散的情況：粒子的體積濃度，記作 c。 或者· 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的概率密度函數(shù)，記作 P。 不同

9、情況下的方程：或者c 與 P 都是位置與時(shí)間的函數(shù)。D 是擴(kuò)散系數(shù)，它控制擴(kuò)散速度，通常以米/秒為單位。如果擴(kuò)散系數(shù) D 依賴于濃度 c（或第二種情況下的概率密度 P），則我們得到非線性擴(kuò)散方程。單一粒子在粒子擴(kuò)散方程下的隨機(jī)軌跡是個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。如果一個(gè)粒子在時(shí)間 時(shí)置于 ，則相應(yīng)的概率密度函數(shù)具有以下形式：它與概率密度函數(shù)的各分量 、和 的關(guān)系是：隨機(jī)變量 服從平均數(shù)為 0、變異數(shù)為 的正態(tài)分布。在三維的情形，隨機(jī)矢量 服從平均數(shù)為 、變異數(shù)為 的正態(tài)分布。在 t=0 時(shí)，上述 的表示式帶有奇點(diǎn)。對應(yīng)于粒子處在原點(diǎn)之初始條件，其概率密度函數(shù)是在原點(diǎn)的狄拉克函數(shù)，記為 （三維的推廣是 ）；擴(kuò)散方

10、程對此初始值的解也稱作格林函數(shù)。擴(kuò)散方程的歷史源流編輯粒子擴(kuò)散方程首先由 Adolf Fick 于1855年導(dǎo)得。以格林函數(shù)解擴(kuò)散方程編輯格林函數(shù)是擴(kuò)散方程在粒子位置已知時(shí)的解（數(shù)學(xué)家稱之為擴(kuò)散方程的基本解）。當(dāng)粒子初始位置在原點(diǎn) 時(shí)，相應(yīng)的格林函數(shù)記作 （t>0）；根據(jù)擴(kuò)散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置，相應(yīng)的格林函數(shù)是 。對于一般的初始條件，擴(kuò)散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數(shù)的疊加。舉例來說，設(shè) t=0 時(shí)有一大群粒子，根據(jù)濃度分布的初始值 分布于空間中。擴(kuò)散方程的解將告訴我們濃度分布如何隨時(shí)間演化。跟任何（廣義）函數(shù)一樣，濃度分布的初始值可以透過積分表為狄拉克函數(shù)的疊加：擴(kuò)散方程是線性的，因此在