利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡

1、第4章 利用MATLAB制系統(tǒng)根軌跡利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡相關(guān)知識假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)中的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為:Gk(s)w sm 5sm嘰 bm snaiSnJ -anJs- annum _ den(S Zi)(S Z2) (S Zm)(S Pl)(S P2) (S Pn)二 KGo(s)則閉環(huán)特征方程為:num 門1 K-0den特征方程的根隨參數(shù)K的變化而變化，即為閉環(huán)根軌跡。控制系統(tǒng)工具箱中提供了rlocus()函數(shù)，可以用來繪制給定系統(tǒng)的根軌跡，它的調(diào)用格式有以下幾種:rlocus(num ， den)rlocus(num， den， K)或者rlocus(G)rlocus(G，

2、K)以上給定命令可以在屏幕上畫出根軌跡圖，其中G為開環(huán)系統(tǒng) G(s)的對象模型,K為用戶自己選擇的增益向量。 如果用戶不給出K向量，則該命令函數(shù)會自動選擇 K向量。如果在 函數(shù)調(diào)用中需要返回參數(shù)，則調(diào)用格式將引入左端變量。如R，K=rlocus(G)此時屏幕上不顯示圖形，而生成變量R和KoR為根軌跡各分支線上的點構(gòu)成的復(fù)數(shù)矩陣，K向量的每一個元素對應(yīng)于R矩陣中的一行。若需要畫出根軌跡，則需要采用以下命令：plot(R , 11)plot()函數(shù)里引號內(nèi)的部分用于選擇所繪制曲線的類型，詳細內(nèi)容見表1?？刂葡到y(tǒng)工具箱中還有一個rlocfi nd() 函數(shù)，該函數(shù)允許用戶求取根軌跡上指定點處的開環(huán)增

3、益值，并將該增益下所有的閉環(huán)極點顯示出來。這個函數(shù)的調(diào)用格式為：K, P=rlocfind(G)這個函數(shù)運行后，圖形窗口中會出現(xiàn)要求用戶使用鼠標定位的提示，用戶可以用鼠標左鍵點擊所關(guān)心的根軌跡上的點。這樣將返回一個 K變量，該變量為所選擇點對應(yīng)的開環(huán)增益，同時返回的P變量則為該增益下所有的閉環(huán)極點位置。此外，該函數(shù)還將自動地將該增益下所有的閉環(huán)極點直接在根軌跡曲線上顯示出來。例4.1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)模型為：Gk (s)=Ks(s 1)(s 2)二 KG 0 (s)利用下面的MATLA晞令可容易地驗證出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-1所示。>> G=tf(1,co nv(1,1,1,2)

4、,0);rlocus(G);gridtitle( 1 Root_Locus Plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)1)xlabel( 1 Real Axis 1)%給圖形中的橫坐標命名。ylabel( 11mag Axis 1)%給圖形中的縱坐標命名。K,P=rlocfi nd(G)用鼠標點擊根軌跡上與虛軸相交的點，在命令窗口中可發(fā)現(xiàn)如下結(jié)果select_po in t=0.0000+1.3921iK=5.8142P=-2.29830所以，要想使此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，其增益范圍應(yīng)為0<K<5.81。參數(shù)根軌跡反映了閉環(huán)根與開環(huán)增益K的關(guān)系。我們可以編寫下面的程序，通過K的變

5、化，觀察對應(yīng)根處階躍響應(yīng)的變化?？紤]K=0.1,0.2,1,2,5,這些增益下閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線?？捎梢韵翸ATLAB命令得到。>> hold off;%擦掉圖形窗口中原有的曲線。斤啊I Si.圖4-1 系統(tǒng)的根軌跡t=0:0.2:15;Y=;for K=0.1:0.1:1,2:5GK=feedback(K*G,1);y=step(GK,t);Y=Y,y；endplot(t,Y)對于for循環(huán)語句，循環(huán)次數(shù)由K給出。系統(tǒng)畫出的圖形如圖 4-2所示。可以看出，當 K的值增加時，一對主導極點起作用，且響應(yīng)速度變快。一旦K接近臨界K值，振蕩加劇，性能變壞。m15圖4-2 不同K值下的

6、階躍響應(yīng)曲線4.MATLAB圖的基本知識通過以上實例的應(yīng)用，我們已初步嘗試了MATLA啲繪圖功能。MATLA唄有豐富的獲取圖形輸出的程序集。我們已用命令plot()產(chǎn)生線性x-y圖形(用命令loglog、semilogx、semilogy或polar取代命令plot,可以產(chǎn)生對數(shù)坐標圖和極坐標圖)。所有這些命令的應(yīng)用 方式都是相似的，它們只是在如何給坐標軸進行分度和如何顯示數(shù)據(jù)上有所差別。(1) 二維圖形繪制如果用戶將X和Y軸的兩組數(shù)據(jù)分別在向量x和y中存儲，且它們的長度相同，貝愉令plot(x,y)將畫出y值相對于x值的關(guān)系圖。例4.2 如果想繪制出一個周期內(nèi)的正弦曲線，則首先應(yīng)該用 t=0

7、:0.01:2*pi( pi是系統(tǒng)自定義的常數(shù)，可用help命令顯示其定義)命令來產(chǎn)生自變量t ;然后由命令y=sin(t)對t向量求出正弦向量 y,這樣就可以調(diào)用plot(t,y)來繪制出所需的正弦曲線，如圖4-3所示。s'圖4-3 個周期內(nèi)的正弦曲線(2) 幅圖上畫多條曲線。利用具有多個輸入變量的plot()命令，可以在一個繪圖窗口上同時繪制多條曲線，命令格式為：plot(x1 ，Y1, x2，Y2,，xn, Yn)x1、Y1、x2、Y2等一系列變量是一些向量對，每一個x-y對都可以用圖解表示出來，因而可以在一幅圖上畫出多條曲線。多重變量的優(yōu)點是它允許不同長度的向量在同一幅圖上 顯

8、示出來。每一對向量采用不同的線型以示區(qū)別。另外，在一幅圖上疊畫一條以上的曲線時，也可以利用hold命令。hold命令可以保持當前的圖形，并且防止刪除和修改比例尺。因此，后來畫出的那條曲線將會重疊在原曲線圖上。當再次輸入命令 hold ,會使當前的圖形復(fù)原。也可以用帶參數(shù)的 hold命令hold on和hold off 來啟動或關(guān)閉圖形保持。(3) 圖形的線型和顏色為了區(qū)分多幅圖形的重疊表示，MATLAB提供了一些繪圖選項，可以用不同的線型或顏色來區(qū)分多條曲線，常用選項見下表4-1表4- 1 MATLAB圖命令的多種選項選項意義選項意義/ /實線/ /短劃線/ ” /虛線/ /點劃線/ /r紅色

9、'* '用星號繪制各個數(shù)據(jù)點'b'藍色/ /o用圓圈繪制各個數(shù)據(jù)點/ /g綠色/ /用圓點繪制各個數(shù)據(jù)點/ /y黃色'X '用叉號繪制各個數(shù)據(jù)點表4- 1中繪出的各個選項有一些可以并列使用，能夠?qū)σ粭l曲線的線型和顏色同時作出 規(guī)定。例如-g '表示綠色的短劃線。帶有選項的曲線繪制命令的調(diào)用格式為：plot(X1 , Y1,S1,X2,Y2,S2,) 加進網(wǎng)絡(luò)線、圖形標題、x軸和y軸標記一旦在屏幕上顯示出圖形，就可以依次輸入以下相應(yīng)的命令將網(wǎng)絡(luò)格線、圖形標題、X、y軸標記疊加在圖形上。命令格式如下：grid(網(wǎng)絡(luò)線)title('圖

10、形標題)xlabel (' x 軸標記)ylabel (' y 軸標記)函數(shù)引號內(nèi)的字符串將被寫到圖形的坐標軸上或標題位置。(5)在圖形屏幕上書寫文本。如果想在圖形窗口中書寫文字，可以單擊按鈕八，選擇屏幕上一點，點擊鼠標，在光標處輸入文字。另一種輸入文字的方法是用text()命令。它可以在屏幕上以(x,y )為坐標的某處書寫文字，命令格式如下：text (x, y,' text ')例如，利用語句text(3 , 0.45， sint ')將從點(3,0.45 )開始，水平的寫出“ sint ”。(6)自動繪圖算法及手工坐標軸定標在MATLAB圖形窗口中

11、，圖形的橫、縱坐標是自動標定的，在另一幅圖形畫出之前，這 幅圖形作為現(xiàn)行圖將保持不變，但是在另一幅圖形畫出后，原圖形將被刪除，坐標軸自動地重新標定。關(guān)于瞬態(tài)響應(yīng)曲線、根軌跡、伯德圖、奈魁斯特圖等的自動繪圖算法已經(jīng)設(shè)計出來，它們對于各類系統(tǒng)具有廣泛的適用性，但是并非總是理想的。因此，在某些情況下，可 能需要放棄繪圖命令中的坐標軸自動標定特性，由用戶自己設(shè)定坐標范圍，可以在程序中加入下列語句：v=x-min x-max y-min y-maxaxis(v)式中v是一個四元向量。axis(v)把坐標軸定標建立在規(guī)定的范圍內(nèi)。對于對數(shù)坐標圖，v的元素應(yīng)為最小值和最大值的常用對數(shù)。執(zhí)行axis(v)會把

12、當前的坐標軸標定范圍保持到后面的圖中，再次鍵入axis可恢復(fù)系統(tǒng)的自動標定特性。Axis( ' sguare ')能夠把圖形的范圍設(shè)定在方形范圍內(nèi)。對于方形長寬比，其斜率為1的直線恰位于45°上，它不會因屏幕的不規(guī)則形狀而變形。Axis( ' normal ')將使長寬比恢復(fù)到正常狀態(tài)。二、附錄 利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡的一些其它實例(s + 3)例4.3已知知一單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函為G(s) = ks(s+5)(s +6)(s +2s + 2)試在根軌跡上選擇一點，求出該點的增益k及其閉環(huán)極點的位置，并判斷在該點系統(tǒng)的穩(wěn)定性。程序：num=1,

13、3;den=conv(conv(conv(1 0,1 5),1 6),1 2 2);rlocus(num,den);k,poles=rlocfind(sys);range=33:1:37'cpole=rlocus(num,den,range);range,cpole結(jié)果：selected_po int =-5.3780 - 0.0476ians =Columns 1 through 533.0000-5.5745 + 0.6697i-5.5745 -0.6697i-1.7990-0.0260 + 1.3210i34.0000-5.5768 + 0.6850i-5.5768 -0.685

14、0i-1.8154-0.0155 + 1.3340i35.0000-5.5791 + 0.7001i-5.5791 -0.7001i-1.8313-0.0052 + 1.3467i36.0000-5.5815 + 0.7147i-5.5815 -0.7147i-1.84660.0048 + 1.3591i37.0000-5.5838 + 0.7291i-5.5838 - 0.7291i-1.86150.0146 + 1.3712iColu mn 6-0.0260 - 1.3210i-0.0155 - 1.3340i-0.0052 - 1.3467i0.0048 - 1.3591i0.0146 - 1.3712i>>例4.4已知帶有延遲因子的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:G(s)=s e s(s 1)( 0.5s 1)1) 試繪制根軌跡圖；2) 求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時根軌跡增益；3) 求系統(tǒng)k=0.5時單位階躍響應(yīng)曲線。 程序：n1=1;d仁 conv(conv(1 0,1 1),0.