物理理推導(dǎo)與證明題

1、第4講推導(dǎo)與證明題計(jì)算與推導(dǎo)題是安徽中考的一類(lèi)特殊題型，從2007年考查的電學(xué)的推導(dǎo)開(kāi)始至今一直在考查，2008年至2012年主要考查力學(xué)的一些公式推導(dǎo)或證明，但2013和2014年考查了光學(xué)的證明，在2015年又考查了電學(xué)推導(dǎo)因此，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)對(duì)力學(xué)、光學(xué)和電學(xué)公式推導(dǎo)或證明及公式間的關(guān)系重點(diǎn)復(fù)習(xí)，掌握其內(nèi)部變化規(guī)律題型之一光學(xué)推導(dǎo)光學(xué)方面的推導(dǎo)主要是光的反射、折射和平面鏡成像、凸透鏡成像規(guī)律方面的作圖與推導(dǎo)，一般要數(shù)形結(jié)合，從數(shù)學(xué)圖形上來(lái)解決問(wèn)題(2014·安徽)凸透鏡的成像規(guī)律可以通過(guò)畫(huà)光路圖去理解在光路圖中凸透鏡用圖a表示，O點(diǎn)為光心，F(xiàn)為焦點(diǎn)圖b中AB是物體AB經(jīng)透鏡所成的像(

2、1)請(qǐng)畫(huà)出圖b中兩條入射光線(xiàn)的出射光線(xiàn)，完成成像光路圖；(2)在圖b中，物距用u表示，即uBO；像距用v表示，即vOB；焦距用f表示，即fOF.請(qǐng)運(yùn)用幾何知識(shí)證明：.本題主要考查了凸透鏡成像的光路圖畫(huà)法以及物距、像距和焦距之間的定量關(guān)系的推導(dǎo)，充分利用幾何知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵1(2013·安徽)如圖，A、B兩地相距4 km，MN是與AB連線(xiàn)平行的一條小河的河岸，AB到河岸的垂直距離為3 km，小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處，他先沿垂直于河岸的方向到D點(diǎn)取水然后再沿DB到B處若小軍的速度大小恒為5 km/h，不考慮取水停留的時(shí)間(1)求小軍完成這次取水和送水任務(wù)所需要的總時(shí)間(2

3、)為了找到一條最短路線(xiàn)(即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短)，可以將MN看成一個(gè)平面鏡，從A點(diǎn)作出一條光線(xiàn)經(jīng)MN反射后恰能通過(guò)B點(diǎn)，請(qǐng)你證明入射點(diǎn)O即為最短路線(xiàn)的取水點(diǎn)2做凸透鏡成像規(guī)律實(shí)驗(yàn)時(shí)，凸透鏡置于物屏之間，物體和屏的相對(duì)距離L(L大于四倍焦距)不變，移動(dòng)凸透鏡能在屏上得到兩個(gè)清晰實(shí)像凸透鏡的成像規(guī)律可以通過(guò)畫(huà)光路圖去理解，圖甲是所畫(huà)物體AB在位置1時(shí)經(jīng)凸透鏡成的像AB的光路圖(1)請(qǐng)參照?qǐng)D甲，在圖乙中畫(huà)出物體AB在位置2時(shí)經(jīng)過(guò)凸透鏡所成的像AB的光路圖(2)若物體AB在光屏上兩次成像時(shí)透鏡位置1和位置2之間的距離為d，如圖乙，且凸透鏡兩次成像規(guī)律滿(mǎn)足(u表示物距，v表示像距，f表示焦

4、距)，利用所學(xué)知識(shí)證明：f(L2d2)/4L.3如圖所示，兩個(gè)相互垂直的平面鏡，一條光線(xiàn)射入，試完成光路圖，證明射出光線(xiàn)與射入光線(xiàn)平行，方向相反4通過(guò)作圖試證明，凸透鏡成清晰的像時(shí)，只對(duì)換蠟燭和光屏的位置，請(qǐng)推導(dǎo)光屏上仍能成清晰的像題型之二力學(xué)推導(dǎo)有關(guān)力學(xué)方面的推導(dǎo)題，主要集中在平均速度、液體壓強(qiáng)、功率、機(jī)械效率的推導(dǎo)等，經(jīng)常跟相關(guān)計(jì)算放在一起考查，常作為公式推導(dǎo)中的一小問(wèn)(2015·杭州改編)如圖所示，一根質(zhì)量分布均勻的木棒，質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，豎直懸掛在轉(zhuǎn)軸O處在木棒最下端用一方向始終水平向右的拉力F緩慢將木棒拉動(dòng)到豎直方向夾角為的位置(轉(zhuǎn)軸處摩擦不計(jì))問(wèn)：(1)在答題紙上畫(huà)出6

5、0°時(shí)拉力F的力臂l，并計(jì)算力臂的大小(2)木棒的重力作用點(diǎn)在其長(zhǎng)度二分之一處，隨拉開(kāi)角度的增加，拉力F將如何變化？并推導(dǎo)拉力FGtan.【點(diǎn)撥】(1)力臂：支點(diǎn)到力的作用線(xiàn)的距離，由此作出F的力臂，并求出其大小(2)隨拉開(kāi)角度的增加，分析動(dòng)力臂和阻力臂的變化情況，根據(jù)杠桿的平衡條件判斷拉力的變化；根據(jù)三角函數(shù)，表示出力臂，根據(jù)杠桿平衡條件表示出F與的關(guān)系式1(2015·廣州)除圖中的儀器外，還可提供足夠的水(密度為水)，測(cè)量漂浮在水面的玩具鴨所受重力簡(jiǎn)要寫(xiě)出合理方案(可用畫(huà)圖或文字表述)，并用題目所給及所測(cè)的物理量推導(dǎo)出玩具鴨所受重力的表達(dá)式(玩具鴨不放入量筒)2物理學(xué)中

6、常把實(shí)際的研究對(duì)象抽象為“物理模型”，許多橋面可以看作是斜面機(jī)械模型如圖所示，若斜面的高度H一定，斜面的長(zhǎng)度L可以改變，試推導(dǎo)：在不考慮摩擦?xí)r，用平行于斜面的拉力F將重為G的物體勻速拉上斜面頂端，L越長(zhǎng)，F(xiàn)越小3如圖所示的均勻鋁質(zhì)圓柱體放在水平桌面上試通過(guò)推導(dǎo)證明：圓柱體對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)大小只與圓柱體的密度和高度h有關(guān)，與其底面積S無(wú)關(guān)4有一實(shí)心不規(guī)則金屬物體的模型，若能測(cè)出模型所受重力G、模型浸沒(méi)在水中所受的浮力F浮，且已知水的密度，就可以根據(jù)，求出金屬模型密度模型證明式子成立5.(2015·天津改編)底面積為S0的圓柱形薄壁容器內(nèi)裝有密度為0的液體，橫截面積為S1的圓柱形木塊由一

7、段非彈性細(xì)線(xiàn)與容器底部相連，且部分浸入液體中，此時(shí)細(xì)線(xiàn)剛好伸直，如圖所示，已知細(xì)線(xiàn)所能承受的最大拉力為T(mén)，現(xiàn)往容器中再緩慢注入密度為0的液體，直到細(xì)線(xiàn)剛好被拉斷為止試推導(dǎo)出細(xì)線(xiàn)未拉斷前，細(xì)線(xiàn)對(duì)木塊拉力F與注入液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式為Fm.6用一架不等臂天平稱(chēng)量某一物體質(zhì)量，將物體放在天平左盤(pán)，右盤(pán)內(nèi)放質(zhì)量為m1砝碼時(shí)，天平平衡；將物體放在天平右盤(pán)，左盤(pán)內(nèi)放質(zhì)量為m2砝碼時(shí)，天平平衡，試證明物體的質(zhì)量m.7液體內(nèi)部存在壓強(qiáng)如圖所示，燒杯內(nèi)盛有密度為的液體，我們可以設(shè)想液面下h深處有一面積為S的水平圓面，它所受到的壓力是其上方圓柱形的小液柱所產(chǎn)生的(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出小液柱所受重力的示意圖(2)請(qǐng)推

8、證：液體內(nèi)部深度為h處的壓強(qiáng)pgh.8如圖甲，質(zhì)量為m的小球從高度為h的光滑斜面頂端由靜止自由滑下，到達(dá)斜面底端的速度為v.此過(guò)程機(jī)械能守恒，關(guān)系式mghmv2成立如圖乙，將物體以一定的初速度v0沿水平方向拋出(不計(jì)阻力)，物體做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向運(yùn)動(dòng)的距離rv0t，在豎直方向下落得高度ygt2.如圖丙所示，小球沿長(zhǎng)度為l的光滑斜面AB由靜止自由滑下，經(jīng)過(guò)高度為h的光滑桌面BC后做平拋運(yùn)動(dòng)，撞到前方擋板的D點(diǎn)，桌邊到擋板的距離為s，D點(diǎn)到地面的高度為d，請(qǐng)推理證明dh.題型之三電學(xué)推導(dǎo)電學(xué)推導(dǎo)題主要出現(xiàn)在串并聯(lián)電路的電阻、電功率、電熱方面，通常要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行相應(yīng)的公式變形演繹式探究研究

9、帶電小球間的作用力：經(jīng)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)帶電小球所帶電荷量分別為q1、q2，當(dāng)它們之間的距離為r(遠(yuǎn)大于小球的直徑)時(shí)，它們之間的作用力Fk，其中常量k9×109 N·m2/C2.(1)如圖1，將甲乙兩球放在光滑的絕緣水平面上，若甲球帶正電荷，乙球帶負(fù)電荷，松開(kāi)兩球后將如何運(yùn)動(dòng)？圖1(2)如圖2，為了使這兩個(gè)小球在原來(lái)的位置靜止，沿著甲、乙兩球的球心連線(xiàn)方向，在乙球的右邊某位置放上一個(gè)電荷量為q3的小球丙，此時(shí)恰好使得三球均保持靜止請(qǐng)你證明，此時(shí)有關(guān)系成立圖2【點(diǎn)撥】(1)掌握電荷間的相互作用規(guī)律：同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引，根據(jù)相互作用判斷小球的運(yùn)動(dòng)情況(2)可以

10、對(duì)其中甲乙小球進(jìn)行受力分析，例如乙受到甲的作用力和丙的作用力，這兩個(gè)力的大小應(yīng)該相等，而方向相反根據(jù)題目中給出作用力的公式列出關(guān)系式便可求出1當(dāng)多個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)，其等效電阻稱(chēng)為并聯(lián)電路的總電阻請(qǐng)推證：(1)將兩個(gè)電阻R1、R2并聯(lián)起來(lái)，其總電阻R總與R1、R2的關(guān)系為：_；(2)以?xún)蓚€(gè)電阻并聯(lián)為例，證明并聯(lián)電路的總電阻要小于其中的任何一個(gè)電阻2.請(qǐng)你用你學(xué)過(guò)的知識(shí)推導(dǎo)無(wú)論是并聯(lián)還是串聯(lián)電路的總功率都等于各個(gè)用電器消耗的電功率之和3如圖，將電壓為U的電源加在A，B兩端，R1消耗的功率為P1；將電壓U加在B、C兩端，R2消耗的功率為P2；若將電壓U加在A、C兩端，R1、R2消耗的功率之和為P.請(qǐng)證明

11、：.(假設(shè)電源電壓恒定)4如圖所示，電阻R1和電阻R2并聯(lián)，通過(guò)干路中的電流為I，請(qǐng)推證通過(guò)電阻R1的電流I1I.5在電工學(xué)中常用物理量“電導(dǎo)”(符號(hào)為G)來(lái)表示導(dǎo)體的導(dǎo)電能力導(dǎo)電能力強(qiáng)，電導(dǎo)G的值就大，導(dǎo)電能力弱則電導(dǎo)G的值就小，對(duì)于同一導(dǎo)體，其電導(dǎo)G和電阻的關(guān)系為G1/R，現(xiàn)有甲、乙兩導(dǎo)體，已知導(dǎo)體甲的電導(dǎo)為G甲，導(dǎo)體乙的電導(dǎo)為G乙(1)請(qǐng)你猜想導(dǎo)體甲和乙串聯(lián)時(shí)的總電導(dǎo)G串與G甲、G乙的關(guān)系(2)證明你所猜想的關(guān)系式第4講推導(dǎo)與證明題題型之一光學(xué)推導(dǎo)例(1)經(jīng)過(guò)光心光線(xiàn)不改變方向；平行于主光軸光線(xiàn)折射經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)兩條光線(xiàn)交點(diǎn)就是成像點(diǎn)，光路圖如圖所示：(2)設(shè)經(jīng)過(guò)光心光線(xiàn)，左段AO為a，右段

12、OA為b，根據(jù)幾何知識(shí)可知：OAFAAC，ABOABO，則，即：，兩式聯(lián)立消去a、b即得.針對(duì)訓(xùn)練1(1)總路程sADDB(35)km8 km，總時(shí)間ts/v8 km/5 km/h1.6 h.(2)如圖，根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)，作出A點(diǎn)關(guān)于MN所成的虛像A，連接AD和AO，AOAO，且A、O、B在一條直線(xiàn)上故取水點(diǎn)為O時(shí)的路線(xiàn)長(zhǎng)度sAOOBAOOBAB，在O點(diǎn)以外的河岸上任取一點(diǎn)P，路線(xiàn)的長(zhǎng)度sAPPBAPPB，由三角形知識(shí)得ABAPPB，即s<s，故入射點(diǎn)O為最短路線(xiàn)的取水點(diǎn)2.(1)(2)因?yàn)槲矬w和屏的相對(duì)距離L不變，根據(jù)可得，.化簡(jiǎn)得u2uLfL0.解得u1(L)/2，u2(L)/2

13、.透鏡在兩次成像時(shí)位置之間的距離為d，即u2u1d，所以L(fǎng)24fLd2，解得：f(L2d2)/4L.3.根據(jù)反射定律圖解如圖所示，有12，34(反射定律)，因NO1NO2(兩鏡垂直，法線(xiàn)也垂直)，所以2390°，1490°，所以2314180°，所以AO1O2B，AO1為入射光線(xiàn)，O2B為反射光線(xiàn)，所以AO1，O2B反向4由于光路是可逆的，如下圖所示，對(duì)換蠟燭和光屏的位置，光屏上仍能成清晰的像題型之二力學(xué)推導(dǎo)例(1)由題O為支點(diǎn)，沿力F的方向作出力的作用線(xiàn)，從O點(diǎn)作其垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段長(zhǎng)即F的力臂，如圖所示：由題60°，所以lL.(2)由題做出木棒這一杠桿的示

14、意圖如圖：由圖可知隨拉開(kāi)角度的增加，l變小，LG變大，根據(jù)杠桿的平衡條件：F1l1F2l2，阻力不變，所以動(dòng)力F變大；由圖lcosL，LGsinL，根據(jù)杠桿的平衡條件有：F×cosLG×sinL，即：FGtan.針對(duì)訓(xùn)練1(1)在水槽中倒?jié)M水，將玩具鴨慢慢放入其中，使其漂浮并觀察到有部分水逸出水槽；然后將玩具鴨慢慢取出；(2)在量筒中倒入適量的水，記下體積V1；將量筒中的水慢慢倒入水槽，直到水滿(mǎn)記下量筒中剩余水的體積V2.玩具鴨排開(kāi)水的體積為V排V1V2，因?yàn)轼喸谒衅∷酝婢啉喪芰ζ胶饧碏浮G液gV排水(V1V2)g.2.W總FL，W有用GH，在不計(jì)摩擦的情況下，W總W

15、有用，即：FLGH，F(xiàn)，由此可知：當(dāng)G、H一定時(shí)，L越大，F(xiàn)就越小3.(1)圓柱體放在水平桌面上，它對(duì)水平桌面的壓力：FGmgVgShg，則它對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)：pF/SShg/Sgh，因此圓柱體對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)大小只與圓柱體的密度和高度h有關(guān)，與其底面積S無(wú)關(guān)4.對(duì)于物體而已，其重力可以表示為G模型模型gV模型同時(shí)，當(dāng)模型完全浸沒(méi)在水里時(shí)，其受到的浮力可以表示為：F浮水gV排又由于完全浸沒(méi)于水中，所以V模型V排由式可得(式除以式，約掉g和V)：.5.設(shè)注入液體的質(zhì)量為m時(shí)，細(xì)線(xiàn)對(duì)木塊的拉力為F，液面上升的高度為h，細(xì)線(xiàn)對(duì)木塊的拉力F等于木塊增大的浮力，則有：FF浮0gV排0gS1h，由得，容器

16、內(nèi)注入的液體質(zhì)量：m0V液0(S0S1)h，將式和式聯(lián)立，解得：Fm.6.天平在水平位置平衡，如圖設(shè)天平的左半段是l2，右半段是l1，把物體m放在不等臂天平的左盤(pán)，右盤(pán)放m1砝碼，天平平衡，所以mgl2m1gl1，把物體m放在不等臂天平的右盤(pán)，左盤(pán)放m2砝碼，天平平衡，所以m2gl2mgl1，/得，m/m2m1/m，所以，m.7(1)如圖重力的方向是豎直向下的，重心在圓柱形液柱的中心上，如圖所示：(2)小液柱的體積為：VSh，小液柱的質(zhì)量為：mVSh.小液柱的重力為：GmgShg.因此小液柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)為：pgh，即：液體內(nèi)部深度為h處的壓強(qiáng)pgh.8.如圖丙所示，小球沿長(zhǎng)度為l的光滑斜面AB由

17、靜止自由滑下，則過(guò)程中機(jī)械能守恒，mghmv2，mglsinmvmv.v2glsin.又小球從C點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，svCt，hdgt2.dhgt2hghgh.題型之三電學(xué)推導(dǎo)例(1)甲球帶正電荷，乙球帶負(fù)電荷，所以它們相互吸引而相互靠近(2)由題意知，甲受到乙向右的力，甲要靜止，應(yīng)受到丙向左的力，所以丙應(yīng)帶正電；對(duì)甲進(jìn)行分析：F乙甲F丙甲kk.1對(duì)乙進(jìn)行分析：F甲乙F丙乙，kk.將代入得：1.針對(duì)訓(xùn)練1(1)根據(jù)歐姆定律可知：I1，I2，I.并聯(lián)電路中干路電流等于各支路電流之和，II1I2，即.又并聯(lián)電路各支路兩端的電壓相等，UU1U2.(2)R1、R2并聯(lián)時(shí)的總電阻：R，則RR1R1<0，R<R1.同理可得，R<R2，即并聯(lián)電路的總