九年級數(shù)學(xué)競賽試題(附答案)

1、九年級數(shù)學(xué)測驗(yàn)二滿分：120分時(shí)間：150分鐘一、填空題（共9小題，每小題3分，滿分27分）1.實(shí)數(shù)x、y滿足等式，則的取值范圍為 。2.關(guān)于x的方程無解，則實(shí)數(shù)a的可能取值有 。3. 已知的直角邊長分別為、，斜邊長為，的直角邊長分別為、，斜邊長為；請以與的直角邊長構(gòu)造出的直角邊： ，使得其斜邊長為。4.在中，P為其內(nèi)部一點(diǎn)，請你構(gòu)造出一對全等三角形，使得以下結(jié)論分別成立：當(dāng) 時(shí)，為以BC為底邊的等腰三角形；當(dāng) 時(shí)，為以AC為底邊的等腰三角形，且P為它外接圓的圓心；當(dāng) 時(shí)，為等邊三角形。5.在四邊形ABCD中，P、Q、R、S分別為AB、BC、CD、DA四邊中點(diǎn)，記四邊形ABCD的對角線長度之和

2、為，四邊形PQRS的對角線長度之和為，令，則k的取值范圍為 。6.已知函數(shù)與直線只有一個交點(diǎn)，那么這個交點(diǎn)的坐標(biāo)為 。7.給出三個關(guān)于x的方程：，若，且這三個方程有相同的根，則這個根為 ；若，則前兩個方程均有實(shí)根的概率為 ；若，在這三個方程中恰有某個方程存在唯一實(shí)根，則它們共有 個不相等的實(shí)根。8. 已知某梯形的邊長與對角線可構(gòu)成三組長度相等的線段，那么最短邊與最長邊之比為 。9.如圖，給出反比例函數(shù)，這里；在x軸正半軸上依次排列2010個點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；過點(diǎn)作x軸的垂線交反比例函數(shù)于點(diǎn)，記的面積為，那么 。 二、選擇題（共9小題，每小題3分，滿分27分）10.若，那么a、b（ ）A.一個為

3、無理數(shù)、一個為有理數(shù) B.均為分?jǐn)?shù) C均為無限不循環(huán)小數(shù) D.不是實(shí)數(shù)11.下列整式中哪個不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解？（ ）A. B. C. D. 12.如圖，在無限單位正方形網(wǎng)格中，任意找三個正方形頂點(diǎn)構(gòu)成一個角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）個：A.4 B.3 C.2 D.113.將一個多邊形中所有的點(diǎn)連結(jié)成線段后，邊長及對角線長共有n種取值，那么在這些線段構(gòu)成的角中，最小的角是（ ）度。A. 或 B. 或 C. 或 D. 或14.如圖，一開口向下的拋物線與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q（0，-3），其頂點(diǎn)為P，若，則拋物線的方程為（ ）A. B. C. D. 15.如圖，在半徑

4、為r的中，有內(nèi)接矩形ABCD，AB中點(diǎn)E與圓上逆時(shí)針排列的三點(diǎn)F、G、H構(gòu)成邊長為a的菱形，若，則DG的長為（ ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或16. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與y軸、反比例函數(shù)和x軸依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，若，且，則（ ）A. B. C. D. 17. 如圖，在中，作內(nèi)切圓，記其半徑為r；在周圍再作三個圓，使得它們既與相切，又與相切，記它們的半徑分別為、，則與的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D.無法確定，與的銳角有關(guān)18.如圖所示環(huán)形跑道，大圓半徑為55米，小圓半徑為50米，A、B、C、D為大圓圓周上的四等分點(diǎn)，小圓上的點(diǎn)、在直線AC上，、在直線BD上；甲、乙

5、兩人從A點(diǎn)開始順時(shí)針慢跑，甲一直在大圓上運(yùn)動，其速度為每秒2.5米；乙作每秒4米的勻速運(yùn)動，只是先沿著直線段抵達(dá)小圓，跑完四分之一個圓周后沿直線段回到大圓上；圖中箭頭即規(guī)定了乙穿梭于大圓和小圓之間時(shí)的方向，同時(shí)要求他不能連續(xù)兩次通過某一直線段進(jìn)入小圓或回到大圓，即乙從B點(diǎn)跑至D點(diǎn)并進(jìn)入小圓后不能再一次在點(diǎn)回到大圓，而必須經(jīng)過直線段；此外，乙除了在經(jīng)過這些直線段時(shí)作向南或向東的運(yùn)動，其他時(shí)候都是作順時(shí)針運(yùn)動。請問：當(dāng)甲第一次出現(xiàn)在乙之前（即甲在乙前方5米以內(nèi)）時(shí)，乙已通過點(diǎn)（ ）次A.2 B.3 C.4 D.5三、解答題（共七大題，滿分66分）19.小明在做數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)遇到了困惑，請你幫忙解答：（

6、1）（4分）整數(shù)m使得關(guān)于x、y的二元一次方程組的解，試求m； 小明先是這么解的：由解得，于是，得到； 后來小明發(fā)現(xiàn)了一種更簡便的方法，因?yàn)樗J(rèn)為帶參數(shù)解方程顯得過于繁瑣： 由得知，于是， 解到這兒時(shí)他才發(fā)現(xiàn)不對勁，因?yàn)閮蓚€結(jié)果差異太大，可他看了半天也檢查不出錯誤，你能找出來告訴他嗎？（2）（4分）他在另外一次數(shù)學(xué)作業(yè)中又遇到了不等式問題，已算到這一步： 負(fù)數(shù)x、y(>x)滿足不等式， 他很快對左邊的整式作了因式分解：，于是得到； 不過小明是個愛動腦筋的孩子，他又記起了以前學(xué)過的換元法： 令，則原不等式可化為：，即，得，但這樣得出的結(jié)果與前面矛盾，因?yàn)閥為負(fù)數(shù)，因此將y乘到不等式右邊時(shí)，

7、；他大惑不解，不過他實(shí)在不知自己哪兒出錯了，你能找出來告訴他嗎？20.觀察以下方法并答題：對于正整數(shù)n，求。由， ， ，將以上n個等式加起來，得： ， 。（1）（4分）對于正整數(shù)n，請運(yùn)用以上方法求；（2）（3分）對于正整數(shù)n，利用（1）的結(jié)果求。21.如圖，為等腰三角形ABC的外接圓，在劣弧上找一點(diǎn)D使得，在劣弧上找一點(diǎn)E使得，若，（1）（3分）試判斷四邊形ABCD的形狀；（2）（5分）利用圖中邊角關(guān)系，求。22.某地?cái)偝鍪跘、B、C三種貨物，顧客甲買了A貨物1件、B貨物2件和C貨物3件，一共花去26元，顧客乙買了A貨物2件、B貨物3件和C貨物4件，一共花去38元；（1）（2分）求出A、B、

8、C三種貨物的單價(jià)之和；（2）（3分）若顧客丙買了A貨物3件、B貨物2件和C貨物1件，那么他花了多少錢？（3）（4分）若顧客丁打算用32元購買這三種貨物，那么他怎么選購才使得錢恰好夠用？23.如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，M為BC邊上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），將沿AM折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊的N點(diǎn)處；（1）（2分）試求的范圍；（2）（5分）若點(diǎn)N恰好為CD中點(diǎn)，試求折痕AM的長；（3）（5分）求證：。24.在關(guān)于x的一元二次方程中，a、b、c為的三邊長；（1）（3分）若該方程有唯一實(shí)根，則必定為銳角，且當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；（2）（4分）若該方程有唯一實(shí)根，且，試證明：；（3）（5分）若該方程有兩

9、個整數(shù)根，三邊也為整數(shù)，且，試求出的最小面積。25.給定拋物線與反比例函數(shù)，已知它們的圖像有不少于兩個的交點(diǎn)；（1）（4分）當(dāng)拋物線與反比例函數(shù)只有兩個交點(diǎn)時(shí)，請畫出它們的函數(shù)圖像，要求在拋物線上標(biāo)明對稱軸以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）（3分）當(dāng)拋物線與反比例函數(shù)有三個交點(diǎn)P、Q、R（）時(shí)，請求出的面積（用a、b表示）；（3）（5分）當(dāng)線段PR與拋物線的對稱軸交于x軸上，且時(shí)，請寫出拋物線與反比例函數(shù)的方程。九年級數(shù)學(xué)測驗(yàn)二參考答案一、填空題1. ； 2.0，-1； 3. 或； 4. ；或； 5. ； 6.（0，-1）或或； 7.-1；2或3；8.； 9. 。二、選擇題10.D 11.C 12.

10、B 13.B 14.A 15.A 16.A 17.C 18.B三、解答題19.思路：（1）題設(shè)告訴我們，方程組是關(guān)于x、y的二元一次方程組，這時(shí)m可被認(rèn)為是已知的常數(shù)；而并不是該二元一次方程組的解，它只是一個可供判斷的條件，實(shí)際上x可能大于3.1，也可能大于3且小于3.1，于是原方程組不能看成是關(guān)于m的不等式組，第一種方法是正確的；我們也可以用不定解的思想來梳理一下思路，比如，我們由知道，但僅僅知道卻不能斷定，因此在題中，符合條件的m值一定使得最終的解滿足條件，但滿足條件的某一組實(shí)數(shù)x、y并不一定使得在它影響下的m值滿足其他的解，于是整數(shù)m的確定受制于原方程組的解，而不是我們自行選擇的某一組滿

11、足的實(shí)數(shù)x、y； （2）第一種做法是錯誤的，錯誤原因在于沒有先考慮x、y的符號： 對于，有，而題設(shè)中點(diǎn)明， 因此由，得到的是或（舍去）。20. 思路：（1）， ， ；（2）由， 可得， 又， 。21.思路：（1）連結(jié)BD、CE，設(shè)， ， ； 同理， ，得； ， ， 因此，四邊形ABCD為等腰梯形； （2）連結(jié)BE，即為圓直徑，分別與AD、AC交于點(diǎn)P、R，記圓心為O，連結(jié)OD交AC于點(diǎn)Q；在中，在中，于是，即，得，。22.思路：（1）設(shè)這三種貨物的單價(jià)分別為x元、y元、z元，依題意得： ， 兩式相減，可得； （2）令， 則有，得， 于是，顧客丙一共花去元； （3）令，即， ， 由于m為整數(shù)，

12、因此，當(dāng)時(shí)，則，即顧客丁可以用32元購買到A貨物5件、B貨物2件和C貨物1件。 23.思路：（1）設(shè)，則， ，得， ； （2）過點(diǎn)N分別作AD、BC的垂線，垂足分別為P、Q， 由N為DC中點(diǎn)易證； 過點(diǎn)A作于點(diǎn)R，易證， ，得； 設(shè)，則， ， 即，解得， ； （3）證明：在中，易證，得，即，。24.思路：（1）依題意得：，于是，不妨設(shè)，那么，由，得； 若，則有，即， 因此為等邊三角形； （2）在中，延長BC至點(diǎn)D，使得，連結(jié)AD， 則， ， 由可得，即， 有， ； 由（1）可知此時(shí)中有， ，且，整理得； （3）設(shè)該方程兩根為， 根據(jù)韋達(dá)定理有， 因?yàn)?，均為整?shù)，且能被整除， 因此，或者，或者c為中最長邊，使得為三個數(shù)中最小的整數(shù)； 當(dāng)時(shí)，則，即為正三角形，與題設(shè)“”矛盾， 于是c為中最長邊；記， 則， 解得； ， ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 因此，符合題意且面積最小的的三邊長為； 過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，設(shè)， 則，即， 解得，于是， ； 綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程有整數(shù)根1，5，滿足題意的此時(shí)有最小面積。25