高等數(shù)學(xué)D7_3-5齊次方程VIP

1、齊次方程 第三節(jié) 第七章 一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )

2、0C此處例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說(shuō)明說(shuō)明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了. x由光的反射定律:可得 OMA = OAM = 例例3. 探照燈的聚光鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面, 它的形狀由)0()(:yxfyL解解: 將光源所在點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn), 并設(shè)入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求

3、, 在其旋轉(zhuǎn)軸 (x 軸)上一點(diǎn)O處發(fā)出的一切光線，從而 AO = OMOPAP xOy 坐標(biāo)面上的一條曲線 L 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx yO經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求曲線 L 的方程.21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程) yxAO頂?shù)降椎木嚯x為 h ,hdC82說(shuō)明說(shuō)明:)(222CxCy2,2dyhCx則將這時(shí)

4、旋轉(zhuǎn)曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達(dá)式得)0,(2C整理課件一階線性微分方程 第四節(jié) 第七章 整理課件一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e稱為齊次方程齊次方程 ;整理課件xxPCyd)(e對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變

5、易法常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得整理課件例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解.,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23)

6、1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令整理課件在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例2. 有一電路如圖所示, ,sintEEm電動(dòng)勢(shì)為電阻 R 和電. )(tiLERQ解解: 列方程 .已知經(jīng)過(guò)電阻 R 的電壓降為R i 經(jīng)過(guò) L的電壓降為tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,整理課件解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)

7、cossin(222ttLRdedC利用一階線性方程解的公式可得LERQ整理課件tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL因此所求電流函數(shù)為解的意義: LERQ整理課件),(yxfy 可降階高階微分方程 第五節(jié))()(xfyn),(yyfy 第七章 整理課件一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意

8、常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 整理課件例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC整理課件tFO,00tx例例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 Ox 軸作直線運(yùn)動(dòng),在開(kāi)始時(shí)刻,)0(0FF隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 . 如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) .

9、 小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為0, 且對(duì)方程兩邊積分, 得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT整理課件120)2(ddCTttmFtx利用初始條件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx整理課件),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、整理課件例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3

10、0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為整理課件例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標(biāo)系如圖. 考察最低點(diǎn) A 到sg( : 密度, s :弧長(zhǎng))弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線

11、? 任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況: T A 點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力T兩式相除得HAyxO整理課件211yya , aOA 設(shè)則得定解問(wèn)題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為axaych)ee(2axaxa懸懸 鏈鏈 線線a21pMsgTHAyxO整理課件三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程

12、化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy整理課件例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCCy1e2解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd整理課件M : 地球質(zhì)量m : 物體質(zhì)量例例6. 靜止開(kāi)始落向地面, (不計(jì)空氣阻力). 解解: 如圖所示選取坐標(biāo)系. 則有定解問(wèn)題:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv設(shè)tvtydddd22則tyyvdddd

13、yvvdd代入方程得,dd2yyMkvv積分得122CyMkv一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間整理課件122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2兩端積分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有l(wèi)ylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”號(hào)號(hào)整理課件由于 y = R 時(shí),gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為lRlRRlglRtRyarccos212lRlRgvRy)(222

14、ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO整理課件內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程一階線性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 先解齊次方程先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法再用常數(shù)變易法.方法方法2 用通解公式用通解公式( ) d( ) de( )edP xxP xxyQ xxC整理課件內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則整理課件思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說(shuō), 用前者方便些. 均可. 有時(shí)用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.(2) 遇到開(kāi)平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).整理課件作業(yè)作業(yè)P309 2 (2);P315 1 (3), (6); 2 (5);P323 1