高等數(shù)學及其應用電子教案（第二版）（同濟大學數(shù)學系）ch(9)VIP

1、編輯ppt第十二節(jié)第十二節(jié) 曲線的曲率曲線的曲率編輯ppt本節(jié)要點本節(jié)要點 本節(jié)引入平面曲線曲率的概念并給出相應的計算方本節(jié)引入平面曲線曲率的概念并給出相應的計算方一、平面曲線的曲率概念一、平面曲線的曲率概念二、曲率公式二、曲率公式法法.編輯pptM1 M2M3 在下圖中在下圖中, 我們看到弧段我們看到弧段 比較平坦比較平坦, 而弧段而弧段 12M M點點 再到點再到點 時時, 切線所轉(zhuǎn)過的切線所轉(zhuǎn)過的2M3M一、平面曲線的曲率概念一、平面曲線的曲率概念23M M1M彎曲得比較比較厲害彎曲得比較比較厲害. 即動點沿這段弧從點即動點沿這段弧從點 到到角有較大的差異角有較大的差異.編輯ppt 但是

2、但是, 轉(zhuǎn)角的大小還不能完全反映曲線的彎曲程度轉(zhuǎn)角的大小還不能完全反映曲線的彎曲程度.例如在下圖中例如在下圖中, 兩段弧兩段弧 與與 有相同的切線轉(zhuǎn)有相同的切線轉(zhuǎn)12M M12M M角角, 但曲線的彎曲程度則是不同的但曲線的彎曲程度則是不同的.編輯ppt則則 的弧長為的弧長為 , MM 設平面曲線設平面曲線 是光滑的是光滑的, 在在 上取一點上取一點 作為度量弧作為度量弧CC0M度的基點度的基點, 設點設點 是曲線上任意一點是曲線上任意一點, 弧弧 的弧長的弧長0M MM為為 點點 是曲線是曲線 上的另外一點上的另外一點, 弧弧 的弧長為的弧長為0M M, sMC點點 處切線的傾處切線的傾,s

3、s M角為角為 處切線的傾角為處切線的傾角為 ,MMMxyO s, s切線的轉(zhuǎn)角為切線的轉(zhuǎn)角為編輯ppt稱稱 為弧段為弧段 的的平均曲率平均曲率, 記為記為 即即sMM,K.Ks若當若當 時時, 平均曲率的極限存在平均曲率的極限存在, 則稱此極限為則稱此極限為0s lim.MMKs（2.29）曲線曲線 在點在點 處的處的曲率曲率, 記為記為 即即,KMC編輯ppt0,Ks從而曲率從而曲率lim0.MMKs即即: 直線上任意點處的曲率為零直線上任意點處的曲率為零.例如例如 對直線而言對直線而言, 動點從動點從 到到 相應的切線的轉(zhuǎn)角相應的切線的轉(zhuǎn)角MM0,為為 則則編輯pptsR1,KsR1li

4、m.MMKsR因而因而, 此說明此說明圓周上每一點的曲率相同圓周上每一點的曲率相同,再例再例 設曲線是半徑為設曲線是半徑為 的圓的圓, R率為率為且等于半徑的倒數(shù)且等于半徑的倒數(shù).,sR 則則 平均曲平均曲編輯ppt二、曲率公式二、曲率公式 設曲線的直角坐標方程為設曲線的直角坐標方程為 ,yf x在曲線上取定點在曲線上取定點 作為度量弧長的基點作為度量弧長的基點, 并并000,Mxy設曲線在區(qū)間設曲線在區(qū)間 上對應的一段弧長為上對應的一段弧長為0,x x ,s x曲線上的點曲線上的點 與與,M x y,Mxx yy ,ss xxs x MMxyO sab yf x一段弧長為一段弧長為且有二階導

5、數(shù)且有二階導數(shù), 曲線曲線之間的之間的編輯ppt而線段而線段 的長度為的長度為MM22,MMxy 并注意到并注意到0lim1,xsMM 因因22000limlimlimxxxxyss MMxMMxx 21,y編輯ppt又因又因, 即即tan, arctan,yy從而從而由此即得由此即得 0limlimMMxKss 即即2d1.dsyx（2.30）20lim,1xydxdxy （2.31）編輯ppt3/ 202= lim.1xyxsyx （2.32）編輯ppt , ,xttyt 其中其中: ,x ty t若曲線若曲線 由參數(shù)方程由參數(shù)方程C 22.ttttKtt二階可導二階可導, 且有且有220

6、,xy則則 編輯ppt例例2.82 求求lnyx解解 因因 211,yyxx 由計算公式得曲線在任一點處的曲率為由計算公式得曲線在任一點處的曲率為23/23/23/22221/,11 1/1yxxKyxx注意到注意到 0lim0,lim0,xxK xK x在任意點處的曲率在任意點處的曲率.此說明當此說明當編輯ppt 或或 曲線就越平坦曲線就越平坦.0 xx 12345-4-3-2-11編輯ppt例例2.83 計算拋物線計算拋物線2yaxbxc解解 因因 代入公式代入公式得得2,2 .yaxb ya3/222,12aKaxb由于在上式中由于在上式中, 分子為常數(shù)分子為常數(shù), 故當故當 時時, 曲

7、率曲率20axb達到最大達到最大, 即當即當 曲率取最大值曲率取最大值, 此時此時, 對對K/2xba 的曲率的曲率, 并求出曲率最大處的位置并求出曲率最大處的位置.應曲線上的點為拋物線的頂點應曲線上的點為拋物線的頂點.上任意一點處上任意一點處編輯ppt 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 設曲線設曲線 在點在點 處的曲率為處的曲率為 作出作出C,M x y0 ,K K 點點 處曲線處曲線 的法線的法線, 并且在曲線凹向一側(cè)的法線上取并且在曲線凹向一側(cè)的法線上取MC點點 使使,D1.MDKxyoD1K 以以 為圓心為圓心, 為半徑作圓為半徑作圓,D稱該圓為曲線稱該圓為曲線 在點在點 的的曲率曲率

8、CM圓圓, 為曲線為曲線 在在 處的曲率處的曲率 DCM編輯ppt中心中心, 半徑半徑 稱為曲線稱為曲線 在點在點 處的處的曲率半徑曲率半徑.CM 由定義可知由定義可知, 曲線曲線 在點在點 處與其曲率圓有相同的切處與其曲率圓有相同的切CM線與曲率線與曲率, 并且在點并且在點 的鄰近處有相同的凹向的鄰近處有相同的凹向.M編輯ppt例例2.84 （物體作平面曲線運動時所受的向心力）（物體作平面曲線運動時所受的向心力） 某游藝園的空中游藝車沿拋物線路徑某游藝園的空中游藝車沿拋物線路徑2100 xy （ 軸軸y鉛直向上鉛直向上, 單位為單位為 ）作俯沖運動）作俯沖運動, 在坐標原點在坐標原點 處游處

9、游mO藝車的速度為藝車的速度為20m/s.v 如果一乘客質(zhì)量如果一乘客質(zhì)量 求當求當70kg,游藝車沖至最低點即原點游藝車沖至最低點即原點 處時處時, 坐椅對該乘客的壓力坐椅對該乘客的壓力.O解解 由物理學知識知由物理學知識知: 物體作圓周轉(zhuǎn)動所受到的向心力物體作圓周轉(zhuǎn)動所受到的向心力為為2,vMR其中其中 是物體的質(zhì)量是物體的質(zhì)量, 是線速率是線速率, 為轉(zhuǎn)動為轉(zhuǎn)動MvR半徑半徑, 由此可知由此可知, 當物體作一般的平面曲線運動時當物體作一般的平面曲線運動時, 在某在某編輯ppt點所受到的向心力的大小為點所受到的向心力的大小為22.vMMv K這里這里 為為曲線在該點的曲率半徑曲線在該點的曲率半徑, 為曲率為曲率.K 在原點在原點 處座椅對乘客的壓力處座椅對乘客的壓力 是乘客所受