高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(11)

1、編輯ppt第六節(jié)第六節(jié) 連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)編輯ppt本節(jié)要點本節(jié)要點 本節(jié)引入一類重要的函數(shù)本節(jié)引入一類重要的函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), 并討論閉區(qū)并討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì).一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)編輯ppt一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性 自然界中的很多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的自然界中的很多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的. 例如氣溫的變例如氣溫的變很小時很小時, 溫度的變化溫度的變化 也很小也很小. 這就是這就是()( )T ttT t 化就是一個很明顯的例子化就是一個很

2、明顯的例子. 所謂的連續(xù)變化指的是所謂的連續(xù)變化指的是: 當(dāng)當(dāng)時間變化很小時時間變化很小時, 氣溫的變化也很小氣溫的變化也很小. 具體地說具體地說, 若以若以( )T ttt表示時刻表示時刻 時的溫度時的溫度, 當(dāng)時間變化很小時當(dāng)時間變化很小時, 即即連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)特征連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)特征. 編輯ppt 定義定義1.7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某一個鄰域內(nèi)有的某一個鄰域內(nèi)有 yf x0 x0lim ( )xxf x定義定義, 如果如果 存在存在, 且等于且等于 即即0(),f x則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 是連續(xù)的是連續(xù)的, 此時又稱點此時又稱點 是函數(shù)是函數(shù)( )f x0 x0 x 的連續(xù)點

3、的連續(xù)點.( )yf x00lim ( )( ),xxf xf x（1.6）編輯ppt（1.6）的等價形式是）的等價形式是: 000lim0.x xf xf x記記 0,xxx 稱其為自變量稱其為自變量 在在 的增量的增量, 因變量的因變量的x0 x增量記為增量記為00,yf xxf x 則（則（1.6）表示成）表示成xy yf xxyO0lim0.xy 編輯ppt 設(shè)設(shè) 若若 在區(qū)間內(nèi)每點連續(xù)在區(qū)間內(nèi)每點連續(xù), 則稱其則稱其,Da b f x lim,lim,xaxbf xf af xf b為區(qū)間上的為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù); 若若 且且 在在,Da b f x, a b上連續(xù)上連續(xù), 又

4、又則稱則稱 是閉區(qū)間是閉區(qū)間 上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). f x, a b 值得注意的是值得注意的是: 區(qū)間上的區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線而不間斷的曲線.編輯ppt例例1.35 證明函數(shù)證明函數(shù)sinyx為區(qū)間為區(qū)間, 上的連續(xù)上的連續(xù) 函數(shù)函數(shù).證證 設(shè)設(shè) 是區(qū)間是區(qū)間 內(nèi)的任意一點內(nèi)的任意一點, 給給 以增量以增量 x, x, xsinsin2sincos,22xxyxxxx 因因 故故cos1,x 2sincos2 sin2,2222xxxxyxx 故當(dāng)故當(dāng) 有有0,x 0,y 相應(yīng)函數(shù)的增量為相應(yīng)函數(shù)的增量為編輯ppt由此證明了函數(shù)由此證明了

5、函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上為連續(xù)函上為連續(xù)函sinyx, 數(shù)數(shù).編輯ppt 結(jié)論結(jié)論1 基本初等函數(shù)在定義域中都是連續(xù)函數(shù)基本初等函數(shù)在定義域中都是連續(xù)函數(shù). 結(jié)論結(jié)論2 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù). 結(jié)論結(jié)論3 初等函數(shù)在定義域中的任何一個區(qū)間上都是初等函數(shù)在定義域中的任何一個區(qū)間上都是連續(xù)的連續(xù)的.編輯ppt例例1.36 求極限求極限2/4lim ln 1tan.xx解解 因函數(shù)因函數(shù) 2ln(1tan)f xx為初等函數(shù)為初等函數(shù), 點點4x屬于定義域內(nèi)的區(qū)間

6、屬于定義域內(nèi)的區(qū)間2/4lim ln 1tanln2.4xxf0,2因而因而編輯ppt二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點 ( )f x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 的某去心鄰域中有定義的某去心鄰域中有定義, 若若 不是不是0 x0 x 的連續(xù)點的連續(xù)點, 則稱則稱 是是 的間斷點的間斷點.( )f x0 x( )f x 間斷點的類型間斷點的類型: 在在 處有定義處有定義, 但但 不存在不存在;( )f x0 x0lim ( )xxf x0 x( )f x 在在 處無定義處無定義; 0lim ( )xxf x0 x( )f x 在在 處有定義且處有定義且 存在存在, 但但00lim ( )( ).xxf

7、xf x編輯ppt例例1.37 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) e1( ),xf xxe1 0( ), 1 0 xxf xxx則函數(shù)則函數(shù) 在在 連續(xù)連續(xù).( )f x0 x 0 x 則函數(shù)在則函數(shù)在 處不連續(xù)處不連續(xù),但若重新定義但若重新定義編輯ppt連續(xù)連續(xù), 但若重新定義但若重新定義21 1( ),1 2 1xxf xxx例例1.38 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21 1,1( )1 1,2xxxf xx則函數(shù)在則函數(shù)在 處不處不1x 則函數(shù)則函數(shù) 在在 處連續(xù)處連續(xù).( )f x1x 編輯ppt 在上面在上面2個例中可以看到個例中可以看到, 這兩個函數(shù)的共同特征為這兩個函數(shù)的共同特征為:函數(shù)在該點的極限存在函數(shù)在該點的

8、極限存在, 但函數(shù)在該點不連續(xù)但函數(shù)在該點不連續(xù). 我們把我們把這一類間斷點稱為這一類間斷點稱為可去間斷點可去間斷點. 其具體意義是其具體意義是: 我們可我們可以通過補充這一點的定義或修改這一點函數(shù)的定義值以通過補充這一點的定義或修改這一點函數(shù)的定義值, 使其成為連續(xù)函數(shù)使其成為連續(xù)函數(shù).編輯ppt例例1.39 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 21 0,( )1 0,xxf xxx則當(dāng)則當(dāng) 時時, 有有0 x 200lim( )lim11,xxf xx00lim( )lim11,xxf xx 即即: 函數(shù)在函數(shù)在 處的左右極限處的左右極限0 x xyo1121x 1x 存在但不相等存在但不相等.編輯ppt 從圖

9、形中可以看到從圖形中可以看到, 這類函數(shù)的幾何圖形在間斷點上這類函數(shù)的幾何圖形在間斷點上有一個跳躍現(xiàn)象有一個跳躍現(xiàn)象, 因而把這一類間斷點稱為因而把這一類間斷點稱為跳躍間斷點跳躍間斷點.從圖中可以看出從圖中可以看出, 這類函數(shù)是不可能通過修改一點的函這類函數(shù)是不可能通過修改一點的函數(shù)值使其成為連續(xù)函數(shù)的數(shù)值使其成為連續(xù)函數(shù)的.編輯ppt例例1.40 函數(shù)函數(shù) 在點在點 處無定義處無定義, 但但 tanf xx2x/2lim tan,xx 稱稱 是函數(shù)是函數(shù) 的的無窮間斷點無窮間斷點.2xtanx編輯ppt 可去間斷點與跳躍間斷點的特征是可去間斷點與跳躍間斷點的特征是, 函數(shù)在這一點的函數(shù)在這一

10、點的左右極限均存在左右極限均存在. 通常把這一類間斷點稱為通常把這一類間斷點稱為第一類間斷第一類間斷點點, 除此之外的間斷點稱為除此之外的間斷點稱為第二類間斷點第二類間斷點.編輯ppt三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 設(shè)設(shè) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 上上, 若存在點若存在點 使得對使得對( )f xI00,x xI 0( )(),f xf x則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 在區(qū)間上的在區(qū)間上的最大值最大值; 相反地相反地, 0()f x( )f x若對于每一個若對于每一個 都有都有xI0( )(),f xf x則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 在區(qū)間上的在區(qū)間上的最小值最小值.0()f x( )f

11、xxI每一個每一個 都有都有編輯ppt最大值和最小值分別記為最大值和最小值分別記為0()max( ) ,x If xf x例如例如 函數(shù)函數(shù) 在整個數(shù)軸上的最小值為在整個數(shù)軸上的最小值為 ( )f xxx0, f xxxxyO但無最大值但無最大值.0()min( ) .x If xf x 編輯ppt定理定理1.4（最大值最小值定理）（最大值最小值定理） 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在證明從略證明從略. 從右邊的圖中可以看出從右邊的圖中可以看出, 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間上連在閉區(qū)間上連( )f x yf xxyOab該區(qū)間上一定有最大值和最小值該區(qū)間上一定有最大值和最小值.( )f x

12、 續(xù)續(xù), 則則 在點在點 和和 處分別處分別取到最大值和最小值取到最大值和最小值. 編輯ppt 推論推論 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然有界.編輯ppt定理定理1.5（介值定理）（介值定理） 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上上( )f x, a b間間 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 使得使得0,x0().f x, a b 該性質(zhì)從幾何上看是及其明顯的該性質(zhì)從幾何上看是及其明顯的.xyo ab0 x yf x連續(xù)連續(xù), 則對于介于則對于介于 與與 之間的任何實數(shù)之間的任何實數(shù) 在區(qū)在區(qū)( ) ( )f af b,編輯ppt0()0.f x推論推論 （零點定理）（零點定理） 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù),( )f x, a b且且 異號異號, 則在開區(qū)間則在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點( ),( )f af b, a b0,x使得使得此時此時 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的零點的零點. f x0 x編輯ppt例例1.41 證明方程證明方程 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有唯一的根內(nèi)有唯一的根.e0 ( 1,1)xx證證 令令 ( )e ,xf xx11(1) ( 1)e 1 e1e0,ffe 由零點定理知由零點定理知, 存在存在 使得使得01,1 ,x 0()0.f x 又函數(shù)又函數(shù) 是單調(diào)增加函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù), 故零點