高等數(shù)學(上冊)教案15-函數(shù)的極值與最值

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第3章 導數(shù)的應用函數(shù)的極值與最值 【教學目的】：1. 理解函數(shù)的極值的概念；2. 掌握求函數(shù)的極值的方法；3. 了解最大值和最小值的定義；4. 掌握求函數(shù)的最值的方法；5. 會求簡單實際問題中的最值?！窘虒W重點】：1. 函數(shù)極值的第一充分條件，第二充分條件；2. 導數(shù)不存在情況下極值的判定；3. 函數(shù)最值的求解方法；4. 函數(shù)的最值的應用?！窘虒W難點】：1. 導數(shù)不存在情況下極值的判定；2. 區(qū)分函數(shù)的駐點、拐點、極值點以及最值點；3. 區(qū)分極值點與極值，最值點與最值；4. 函數(shù)的最值的應用?！窘虒W時數(shù)】：2學時【教學過程】：3.3.1函數(shù)的極值圖3-7從圖3-7可

2、以看出，函數(shù)在點、處的函數(shù)值、比它們近旁各點的函數(shù)值都大；在點、處的函數(shù)值、比它們近旁各點的函數(shù)值都小，因此，給出函數(shù)極值的如下定義： 一般地， 設函數(shù)在的某鄰域內有定義，若對于鄰域內不同于的所有，均有，則稱是函數(shù)的一個極大值，稱為極大值點；若對于鄰域內不同于的所有，均有，則稱是函數(shù)的一個極小值，稱為極小值點.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.注意 可導函數(shù)的極值點必是它的駐點，但反過來是不成立的，即可導函數(shù)的駐點不一定是它的極值點.極值的第一充分條件 設函數(shù)在點的鄰域內可導且，則（1）如果當取左側鄰近的值時，；當取右側鄰近的值時，則為函數(shù)的極大值點，為極大值；（

3、2）如果當取左側鄰近的值時，；當取右側鄰近的值時，則為函數(shù)的極小值點，為極小值；（3）如果當取左右兩側側鄰近的值時，不改變符號，則函數(shù)在處沒有極值.根據上述定理，求可導函數(shù)的極值點和極值的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的導數(shù)，并求出函數(shù)的全部駐點以及不可導點；（3）列表考察每個駐點（及不可導點）左右鄰近的符號情況以及不可導點的情況，根據定理2.12判定極值點和極值.例2 求函數(shù)的極值.解（1）函數(shù)的定義域為；（2）；（3）令，得駐點.當時，導數(shù)不存在；（4）列表討論如下：不存在極大值 極小值由上表知，函數(shù)的極大值為，極小值為.極值的第二充分條件 設函數(shù)在點的鄰域內具有二階導數(shù)且

4、，則（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在處取得極小值.注意 當，且時，則上述方法失效，此時仍用第一充分條件來判定.3.3.2 函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的步驟如下： （1）求出函數(shù)的導數(shù)，并求出所有的駐點及不可導點；（2）計算函數(shù)在這些點和端點處的函數(shù)值；（3）將這些值加以比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.注意 （1） 在求函數(shù)的最大值或最小值時，如果已知該函數(shù)在某個區(qū)間內只有一個極值點，那么在包含該極值點的此區(qū)間內，極大值就是最大值，極小值就是最小值（2） 在求函數(shù)的最大值或最小值時，如果已知該函數(shù)在某個區(qū)間內完全單調，則兩個端點即為最值點，兩端點處的函數(shù)值較大的為最大值，較小的為最小值。例6 用一塊邊長為的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面積相等的小正方形，做成無蓋的鐵盒.問截去的小正方形邊長為多少時，做出的鐵盒容積最大？解 設截去的小正方形的邊長為，鐵盒的容積為.根據題意，得 ，于是，問題歸結為：求為何值時，函數(shù)在區(qū)間內取得最大值. ，令，解得，.因此，在區(qū)間內函數(shù)只有一個駐點，又由問題的實際意義知，函數(shù)的最大值在內取得.所以，當時，函數(shù)取得最大值.即當所截去的正方形邊長為時，鐵盒的