第2章邏輯代數基礎

1、第第2章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎數字電子技術數字電子技術 Digital Electronics Technology海南大學海南大學數字電子技術數字電子技術課程組課程組教學網址：教學網址：http:/ Digital Electronics Technology1. 邏輯與邏輯運算邏輯與邏輯運算n邏輯：事物間的因果關系。邏輯：事物間的因果關系。n邏輯運算：邏輯狀態(tài)按照指定的某種因果關系進行邏輯運算：邏輯狀態(tài)按照指定的某種因果關系進行推理的過程。推理的過程。2. 邏輯代數與邏輯變量邏輯代數與邏輯變量n邏輯代數：是描述客觀事物邏輯關系的數學方法，邏輯代數：是描述客觀事物邏輯關系的數學方法，是

2、進行邏輯分析與綜合的數學工具。因為它是英國數是進行邏輯分析與綜合的數學工具。因為它是英國數學家喬治學家喬治布爾布爾(George Boole)于于1847年提出的，所以年提出的，所以又稱為布爾代數。又稱為布爾代數。n邏輯變量：邏輯代數中的變量。邏輯變量的取值范邏輯變量：邏輯代數中的變量。邏輯變量的取值范圍僅為圍僅為“0”和和“1”，且無大小、正負之分。，且無大小、正負之分。2.1 概述概述Digital Electronics Technology2.2 三種基本的邏輯運算三種基本的邏輯運算1. 與邏輯（與邏輯（AND） 當決定某一事件的全部條件都具備時，該事件才會發(fā)當決定某一事件的全部條件都

3、具備時，該事件才會發(fā)生，這樣的因果關系稱為與邏輯。生，這樣的因果關系稱為與邏輯。 設定邏輯變量并狀態(tài)賦值：設定邏輯變量并狀態(tài)賦值： 邏輯變量：邏輯變量：A和和B，對應兩個開，對應兩個開關的狀態(tài)。關的狀態(tài)。1閉合，閉合，0斷開；斷開； 邏輯函數：邏輯函數：Y，對應燈的狀態(tài)，對應燈的狀態(tài)，1燈亮，燈亮，0燈滅。燈滅。開關A開關B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABY000010100111描述邏輯關系的圖表稱為真值表 Y=ABABYDigital Electronics Technology2.2 三種基本的邏輯運算三種基本的邏輯運算2. 或邏輯（或邏輯（OR） 當決定某一事件的所有條

4、件中，只要有一個具備，該事當決定某一事件的所有條件中，只要有一個具備，該事件就會發(fā)生，這樣的因果關系叫做或邏輯。件就會發(fā)生，這樣的因果關系叫做或邏輯。開關A開關B燈Y斷開斷開滅斷開閉合亮亮閉合斷開亮亮閉合閉合亮ABY000011101111 Y=A+BABYDigital Electronics Technology2.2 三種基本的邏輯運算三種基本的邏輯運算3. 非邏輯（非邏輯（NOT） 當某一條件具備了，事情不會發(fā)生；而此條件不具備當某一條件具備了，事情不會發(fā)生；而此條件不具備時，事情反而發(fā)生。這種邏輯關系稱為非邏輯或邏輯非。時，事情反而發(fā)生。這種邏輯關系稱為非邏輯或邏輯非。開關A燈Y斷開

5、亮閉合滅AY0110 Y=A=AAYDigital Electronics Technology2.2 三種基本的邏輯運算三種基本的邏輯運算4. 復合邏輯復合邏輯與非與非真值表真值表YXFXYFXYF001101011110&XYFYXFXYF001101011000XYF或非或非真值表真值表XYF1Digital Electronics Technology2.2 三種基本的邏輯運算三種基本的邏輯運算異或異或真值表真值表XYF001101010110XYF001101011001同或同或真值表真值表BABABAFBAF=1BAFF=X Y=XY+XYBAFBAF=與或非與或非)(DCBAFD

6、igital Electronics Technology2.3 邏輯代數基本與常用公式邏輯代數基本與常用公式1. 基本公式（基本公式（P24）序號公 式序號公 式規(guī) 律1A 0=010A+0=A01律2A 1=A11A+1=101律31=0; 0=1（公理）12(A)=A還原律4A A= A13A+A=A重疊律5A A=014A+A=1互補律6A B=B A15A+B=B+A交換律7A （B C） = （A B） C16A+（B+C）=（A+B）+C結合律8A （B+C）=A B + A C17A+（BC） =（A+B) (A+C) 分配律9(A B)=A+B 18(A+B)=AB反演律德摩

7、根（De. Morgan）定理Digital Electronics Technology2. 常用公式（常用公式（P25）序號公 式規(guī) 律19A+A B=A吸收律20A+A B=A+B吸收律21A B+A B=A22A（A+B）= A23A B+A C+B C=A B+ACA B+A C+B C D=A B+AC吸收律24A（AB）=AB；A（AB）=A2.3 邏輯代數基本與常用公式邏輯代數基本與常用公式Digital Electronics Technology1. 代入定理代入定理 在任何一個含有變量在任何一個含有變量A的邏輯等式中，若以一函數式取的邏輯等式中，若以一函數式取代該等式中所

8、有代該等式中所有A的位置，該等式仍然成立。的位置，該等式仍然成立。2. 反演定理反演定理 在一個邏輯式在一個邏輯式Y中中,若將其中所有的若將其中所有的“+”變成變成“”，“”變成變成“+”，“ 0”變成變成“1”，“1”變成變成“0”，原變量變成，原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得函數式即為原函數式反變量，反變量變成原變量，所得函數式即為原函數式的反邏輯式，記作：的反邏輯式，記作：Y 。例：例：已知已知 Y=AB+(C+D)E，求，求Y。解：解： Y=(AB+(C+D)E)= (A+B)(CD+E)2.4 邏輯代數的基本定理邏輯代數的基本定理Digital Electronics Tec

9、hnology3. 對偶定理對偶定理 對偶式：對偶式：在一個邏輯式在一個邏輯式Y中中,若將其中所有的若將其中所有的“+”變成變成“”，“”變成變成“+”，“0”變成變成“1”，“1”變成變成“0”，所，所得函數式即為原函數式的對偶式，記作：得函數式即為原函數式的對偶式，記作：YD。 若兩個函數式相等，那么它們的對偶式也相等。若兩個函數式相等，那么它們的對偶式也相等。2.4 邏輯代數的基本定理邏輯代數的基本定理x+xy=xx(x+y)=xxy+xz+yz=xy+x z(x+y) (x+z) (y+z)= (x+y) (x+z)例：例：Digital Electronics Technology1

10、. 邏輯函數邏輯函數 輸出和輸入（邏輯）變量之間的函數關系。輸出和輸入（邏輯）變量之間的函數關系。 2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法Y=F（A，B，C，）2. 邏輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法邏輯真值表、邏輯函數式、邏輯圖、波形圖和卡諾圖。邏輯真值表、邏輯函數式、邏輯圖、波形圖和卡諾圖。 （1）邏輯真值表：）邏輯真值表：是由輸出變量取值與對應的輸入變是由輸出變量取值與對應的輸入變量取值所構成的表格。列寫方法是：量取值所構成的表格。列寫方法是： a) 找出輸入、輸出變量，并用相應的字母表示；找出輸入、輸出變量，并用相應的字母表示； b) 列出所有輸入變量可能的取值，計算對應的

11、輸出值，列出所有輸入變量可能的取值，計算對應的輸出值，并以表格形式列寫出來。并以表格形式列寫出來。Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 例：例：三人表決電路，當輸入變量三人表決電路，當輸入變量A、B、C中有兩個或兩中有兩個或兩個以上取值為個以上取值為1時，輸出為時，輸出為1；否則，輸出為；否則，輸出為0。 三人表決電路的真值表三人表決電路的真值表 Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 （2）邏輯函數式）邏輯函數式 是將邏輯函數中輸出變量與輸入變量之間的

12、邏輯關系是將邏輯函數中輸出變量與輸入變量之間的邏輯關系用與、或、非等邏輯運算符號連接起來的式子，又稱函用與、或、非等邏輯運算符號連接起來的式子，又稱函數式或邏輯式。數式或邏輯式。 例：例：三人表決電路：三人表決電路： ABCABCCABBCAY （3）邏輯圖）邏輯圖 是將邏輯函數中輸出變是將邏輯函數中輸出變量與輸入變量之間的邏輯量與輸入變量之間的邏輯關系用與、或、非等邏輯關系用與、或、非等邏輯符號表示出來的圖形。符號表示出來的圖形。例：例：三人表決電路邏輯圖三人表決電路邏輯圖 Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 （4）波

13、形圖（）波形圖（P31）（5）各種表示方法之間的轉換）各種表示方法之間的轉換 由真值表求邏輯表達式由真值表求邏輯表達式 1）把真值表中邏輯函數值為）把真值表中邏輯函數值為1的變量組合挑出來；的變量組合挑出來； 2）若輸入變量為）若輸入變量為1，則寫成原變量，若輸入變量為，則寫成原變量，若輸入變量為0，則寫成反變量；則寫成反變量； 3）把每個組合中各個變量相乘，得到一個乘積項；）把每個組合中各個變量相乘，得到一個乘積項； 4）將各乘積項相加，就得到相應的邏輯表達式。）將各乘積項相加，就得到相應的邏輯表達式。A B C表 決 結 果 Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11

14、 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZDigital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 由邏輯表達式列出真值表由邏輯表達式列出真值表 按照邏輯表達式，對邏輯變量的各種取值進行計算，按照邏輯表達式，對邏輯變量的各種取值進行計算，求出相應的函數值，再把變量取值和函數值一一對應列求出相應的函數值，再把變量取值和函數值一一對應列成表格。成表格。A B C表決結果 Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZDigital Electronic

15、s Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 由邏輯函數式求邏輯電路由邏輯函數式求邏輯電路 1）畫出所有的邏輯變量；）畫出所有的邏輯變量； 2）用）用“非門非門”對變量中有對變量中有“非非”的變量取的變量取“非非”； 3）用）用“與門與門”對有關變量對有關變量的乘積項，實現邏輯乘；的乘積項，實現邏輯乘； 4）用）用“或門或門”對有關的乘對有關的乘積項，實現邏輯加；積項，實現邏輯加；ABCCABCBABCAZDigital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 由邏輯圖求邏輯表達式由邏輯圖求邏輯表達式 由輸入到輸

16、出逐級推導，按照每個門的符號寫出每個由輸入到輸出逐級推導，按照每個門的符號寫出每個門的邏輯函數，直到最后得到整個邏輯電路的表達式。門的邏輯函數，直到最后得到整個邏輯電路的表達式。BABY=A B+ABA BA1&AB&11Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法3. 邏輯函數的兩種標準形式邏輯函數的兩種標準形式 （1）最小項和的形式）最小項和的形式積之和（積之和（“與與或或”表達式）表達式） 最小項：最小項：設設 m 為包含為包含 n 個因子的乘積項，且這個因子的乘積項，且這 n 個因個因子以原變量形式或者反變量形式在子以原變

17、量形式或者反變量形式在m中出現且只出現一次，中出現且只出現一次，稱稱 m 為為 n 變量的一個最小項。變量的一個最小項。n變量共有變量共有2n個最小項。個最小項。 最小項的編號規(guī)則：最小項的編號規(guī)則：把最小項把最小項 m 值為值為1 的輸入變量取的輸入變量取值看作二進制數，其對應的十進制數即為該最小項的編號，值看作二進制數，其對應的十進制數即為該最小項的編號，記作記作mi 。 Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法三變量的最小項編號表三變量的最小項編號表Digital Electronics Technology2.5 邏輯

18、函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法最小項的性質：最小項的性質： a) 對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最小項對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最小項值為值為1； b) 任意兩個最小項之積為任意兩個最小項之積為0； c) 全體最小項之和為全體最小項之和為1； d)具有邏輯相鄰性的兩個最小項相加，可合并為一項，具有邏輯相鄰性的兩個最小項相加，可合并為一項，并消去一個不同因子。并消去一個不同因子。將函數式化成最小項和的形式的方法為：將函數式化成最小項和的形式的方法為： 該函數式中的每個乘積項缺哪個因子，就乘以該因子該函數式中的每個乘積項缺哪個因子，就乘以該因子加上其反變量，展開即可。加上

19、其反變量，展開即可。Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法例：例：將函數式化成最小項和的形式。將函數式化成最小項和的形式。解：解： 15,13,10, 9 , 8 , 7 , 5,15131098751015137589mmmmmmmmmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCBADCBABDCBAYDigital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 （2）最大項積的形式）最大項積的形式和之積（和之積（“或或與與”

20、表達式）表達式） 最大項：最大項：設設M為包含為包含n個因子的和，且這個因子的和，且這n個因子以原變個因子以原變量形式或者反變量形式在量形式或者反變量形式在M中出現且只出現一次，稱中出現且只出現一次，稱M為為n變量的一個最大項。變量的一個最大項。n變量共有變量共有2n個最大項。個最大項。 最大項的編號規(guī)則：最大項的編號規(guī)則：把最大項把最大項 M 值為值為0 的輸入變量取的輸入變量取值看作二進制數，其對應的十進制數即為該最大項的編號，值看作二進制數，其對應的十進制數即為該最大項的編號，記作記作Mi 。 Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函

21、數及其表示方法三變量的最大項編號表三變量的最大項編號表Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法最大項的性質：最大項的性質： a) 對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最大項對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最大項值為值為0； b) 任意兩個最大項之和為任意兩個最大項之和為1； c) 全體最大項之積為全體最大項之積為0； d) 具有邏輯相鄰性的兩個最大項相乘，可合并為一項，具有邏輯相鄰性的兩個最大項相乘，可合并為一項，并消去一個不同因子。并消去一個不同因子。將函數式化成最大項積的形式的方法為：將函數式化成最大項積的形式的方

22、法為： 首先化成最小項和的形式，然后直接寫成除了這些最首先化成最小項和的形式，然后直接寫成除了這些最小項編號以外的最大項積的形式。小項編號以外的最大項積的形式。Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法例：例：將函數式化成最大項積的形式。將函數式化成最大項積的形式。解：解： DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAMMMMMMMMMMmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCBADCBABDCBAY14,12,11, 6 , 4 , 3 , 2

23、 , 1 , 01412116432101015137589Digital Electronics Technology2.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法4. 邏輯函數形式的變換邏輯函數形式的變換n 其他其他表達式表達式與非與非- -與非式：與非式：CABAF 或或- -與非式：與非式：)(CABAF或非或非- -或式：或式：DCBAF或非或非- -或非式：或非式：CABAF與或非式：與或非式：CDABF與非與非- -與式：與式：CAABF例：（例：（P38-39）Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法2. 公式化

24、簡法公式化簡法1. 最簡最簡與或表達式與或表達式 表達式中的乘積項最少；表達式中的乘積項最少； 乘積項中含的變量少。乘積項中含的變量少。 并項：并項：利用利用AB+AB=A將兩項并為一項，且消去將兩項并為一項，且消去一個變量一個變量B。 吸收：吸收： 利用利用A+AB = A消去多余的項消去多余的項AB。 消項：消項：利用利用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB +AC消去多余項消去多余項BC或或BCD。 消元：消元：利用利用A+AB=A+B消去多余變量消去多余變量A。 配項：配項：利用利用A+A=A或或A+A=1進行配項。進行配項。Digital Electronics T

25、echnology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法并項：并項：利用利用AB+AB=A將兩項并為一項，消去變量將兩項并為一項，消去變量B。BABBAABBCABCABCAABBCAY1BABCBACABCBCAABCBCBAY)(3CCBACBACABBACABBACABBCAABCCBAY)(2ABABCDABCABY1)( )()(2CABBCDACABCABBCDACABCABY吸收：吸收： 利用利用A+AB = A消去多余的項消去多余的項AB。Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法消項：消項：利用利用AB+AC

26、+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB+AC消去多余項消去多余項BC或或BCD。DEABABCCDEFDEABABCY)()(1DBACBACDEDBACBACDEDABBACBAABCDEDABBDACBAABCY2消元：消元：利用利用A+AB=A+B消去多余變量消去多余變量A。EDCABEDABCABABY1CBACBABACABBACABCBAY2ADCABDCACABDCACABABY3Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法配項：配項：利用利用A+A=A或或A+A=1進行配項。進行配項。 BACACBBACBACA

27、BCBACBCBABACBACABCBCBACBABACBAACBCCBABACBCBBAY1 ABACBCABCCABABCCBAABCBCAABCCABCBABCAY2CADABDCCADABBCEADCBAABDCCADABBCEADCBADBABDCCADABDBCEADCBADABDCCADABDYDigital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法 邏輯函數的卡諾圖化表示法邏輯函數的卡諾圖化表示法3. 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法 用各小方塊表示用各小方塊表示n變量的全部最小項，并使具有邏輯相變量的全部最小項，并使具有邏輯相鄰性的最小

28、項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得圖形鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得圖形稱為稱為n變量最小項的卡諾圖。變量最小項的卡諾圖。二變量卡諾圖二變量卡諾圖 三變量卡諾圖三變量卡諾圖 Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法五變量卡諾圖四變量卡諾圖 函數式轉換成卡諾圖：函數式轉換成卡諾圖：首先將該函數式化成最小項和的形首先將該函數式化成最小項和的形式；然后將該函數式中包含的最小項在卡諾圖相應位置處式；然后將該函數式中包含的最小項在卡諾圖相應位置處填填1，其余位置處填，其余位置處填0。 邏輯函數式和卡諾圖之間的相互轉換邏輯函

29、數式和卡諾圖之間的相互轉換Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法)14,12, 9 , 8 , 6 , 4 , 1 , 0 ()()()(mDCBADCBADCBADCABDCBADBCADCBADCBADABCDCBBAACCDBADCBAADABCDCDBADCBDABCYDigital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法卡諾圖化簡圈卡諾圖化簡圈“1”的原則：的原則：yz1111x00 01 11 100 11111yzx00 01 11 100 111 每次所圈最小項（

30、卡諾圖中的每次所圈最小項（卡諾圖中的1）個數盡量多，但所圈）個數盡量多，但所圈1的的的個數應為的個數應為 2i 個；個；11111111yzwx 00 01 11 1000011110Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法 每個圈至少包括一個沒每個圈至少包括一個沒有被圈過的有被圈過的1；11111111yzwx 00 01 11 1000011110 所有所有1至少被圈過一次。至少被圈過一次。1111yzx00 01 11 100 11111111111yzwx 00 01 11 1000011110Digital Electronics Technology2.6 邏輯函數的化簡方法邏輯函數的化簡方法合并最小項規(guī)則：合并最小項規(guī)則： 在所圈的最小項中，變量取值全是在所圈的最小項中，變量取值全是0的，在表達式中以的，在表達式中以反變量的形式出現；變量取值全是反變量的形式出現；變量取值全是1的，在表達式中以原的，在表達式中以原變量的形式出現；變量取值既有變量的形式出現；變量取值既有0也有也有1的，在表達式中不的，在表達式中不出現。出現。 所圈的所圈的2i個相鄰的最小項，可以消去個相鄰的最小項，可以消去i個變量取值既有個變量取值既有0也有也有1的變量。的變量。例：化簡下列邏輯函