平行四邊形三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究

1、 “平行四邊形、三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究”校本教研活動(dòng)方案(二) 在本周的活動(dòng)方案中，筆者主要闡述了兩個(gè)方面的容：一是平行四邊形、三角形和梯形面積公式教學(xué)的整體思考；二是如何進(jìn)行平行四邊形面積公式教學(xué)。本方案重在研究三角形和梯形面積公式的教學(xué)問(wèn)題。一、 活動(dòng)目標(biāo)1經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關(guān)于三角形和梯形的面積計(jì)算公式教學(xué)的相關(guān)資料與問(wèn)題。2明確可以有哪些不同的方法推導(dǎo)出三角形和梯形面積公式。3了解三角形和梯形面積計(jì)算公式教學(xué)的不同思路。二、活動(dòng)容、形式與時(shí)間1數(shù)學(xué)組老師每個(gè)人獨(dú)立解答關(guān)于三角形與梯形面積計(jì)算公式教學(xué)的相關(guān)問(wèn)題，不集中，由每一個(gè)老師自己抽時(shí)間書面解答問(wèn)題，時(shí)間約2小

2、時(shí)。2與同事交流獨(dú)立解答出的問(wèn)題答案，時(shí)間約1小時(shí)；3教研組確定一個(gè)人上一節(jié)(或兩節(jié))三角形(或梯形)面積公式的教研課，數(shù)學(xué)組其他老師聽(tīng)課。時(shí)間約40分鐘； 4評(píng)課與交流。(1)結(jié)合聽(tīng)課筆記，獨(dú)立寫出評(píng)課提綱，時(shí)間約15分鐘；(2)數(shù)學(xué)組全體老師進(jìn)行評(píng)課交流，時(shí)間約45分鐘。(一個(gè)年級(jí)如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)學(xué)教師，可以在獨(dú)立寫出評(píng)課提綱的基礎(chǔ)上，先進(jìn)行年級(jí)組數(shù)學(xué)教師交流，并確定一人發(fā)言，代表年級(jí)組到全體數(shù)學(xué)教師交流會(huì)上發(fā)言。最后，全體數(shù)學(xué)教師評(píng)課交流。)可以根據(jù)學(xué)校教研活動(dòng)的時(shí)間和教研組老師的情況，選擇下面“活動(dòng)前準(zhǔn)備”中的一些問(wèn)題進(jìn)行解答與交流。三、活動(dòng)前準(zhǔn)備解答下面的問(wèn)題，并準(zhǔn)備交流。(

3、注：以下帶有*號(hào)表示問(wèn)題有一定的難度。)(一)1根據(jù)你們學(xué)校使用的這套教材，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形面積計(jì)算公式之前，有哪些經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、能力與推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式關(guān)系密切？2在上三角形面積公式這節(jié)課前，某教師想為學(xué)生準(zhǔn)備一些用白紙做的三角形學(xué)具，以便學(xué)生在課堂上操作。你覺(jué)得：(1) 應(yīng)該為學(xué)生準(zhǔn)備不同類型的三類三角形，即分別準(zhǔn)備銳角、直角和鈍角三角形各若干個(gè)，還是只準(zhǔn)備一類銳角三角形就可以了？為什么？(2)應(yīng)該為學(xué)生準(zhǔn)備一些空白的紙質(zhì)三角形，還是應(yīng)該在紙質(zhì)的三角形上標(biāo)出一組底和高的長(zhǎng)度？為什么？(3)如果要標(biāo)出一組底和高的長(zhǎng)度，那么選擇哪些數(shù)據(jù)比較合適？就數(shù)據(jù)的奇偶性來(lái)說(shuō)，底與高的長(zhǎng)度數(shù)是選擇偶數(shù)合

4、適，還是奇數(shù)合適？還是奇、偶數(shù)都無(wú)所謂？為什么？(4)是否應(yīng)該準(zhǔn)備一些有網(wǎng)格背景的三角形(也就是在方格紙上畫三角形)？理由是什么？是不是會(huì)有部分學(xué)生求不出空白的三角形面積，但有了網(wǎng)格背景后，他們能夠求出三角形面積？如果有這樣的學(xué)生，根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，這部分學(xué)生數(shù)占全班學(xué)生數(shù)的百分比大約是多少？3*查一查不同版本教材，三角形面積教學(xué)這節(jié)容，有哪幾個(gè)版本的教材給出了網(wǎng)格背景？哪幾個(gè)版本教材給出的三角形中，標(biāo)注出了一組底與高的數(shù)據(jù)？這些數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？想一想并寫一寫，通過(guò)這樣的比較你發(fā)現(xiàn)了什么？你認(rèn)為在上三角形面積這節(jié)課前，學(xué)生準(zhǔn)備哪些操作材料是合適的？為什么？4如果在方格紙中畫一個(gè)三角形，并標(biāo)注出

5、這個(gè)三角形的一條底邊的長(zhǎng)和這條底邊上高的長(zhǎng)度，要求學(xué)生求出這個(gè)三角形的面積。(1)學(xué)生可能會(huì)有哪些方法？(2)閱讀下面的每一種轉(zhuǎn)化過(guò)程，并象第種轉(zhuǎn)化方法那樣，根據(jù)圖示請(qǐng)你寫出相應(yīng)的計(jì)算三角形面積的算式。問(wèn)題：如下圖所示，求三角形ABC的面積是多少？第種轉(zhuǎn)化方法的圖示：求三角形面積的算式： 三角形面積=長(zhǎng)方形的面積 =6×(4÷2) =底×(高÷2) =底×高÷2第種轉(zhuǎn)化方法的圖示： 第種轉(zhuǎn)化方法的圖示：第種轉(zhuǎn)化方法的圖示：這種轉(zhuǎn)化方法是把這個(gè)三角形面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積。就是沿三角形水平的這條中位線對(duì)折，然后把左右兩個(gè)三角形往右或

6、左折。這樣就得到一個(gè)長(zhǎng)方形，三角形的面積是這個(gè)長(zhǎng)方形面積的兩倍。第種轉(zhuǎn)化方法的圖示： 畫出三角形底邊上的高，聯(lián)系整個(gè)長(zhǎng)方形，就可以知道三角形(1)與三角形(2)的面積相等，三角形(3)與三角形(4)的面積相等。 5上題中有五種不同的方法求出三角形的面積計(jì)算公式，如果在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解推導(dǎo)的過(guò)程，那么，雖然這些方法不同，但在教師引導(dǎo)學(xué)生理解時(shí)，有哪些共同點(diǎn)？想一想，下面的這些引導(dǎo)過(guò)程是教學(xué)這些方法時(shí)共同的地方嗎？ (1)要為學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)要求面積的圖形，并要把轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)圖形都要呈現(xiàn)給學(xué)生觀察，而不能因?yàn)榧羝床怀尸F(xiàn)原來(lái)的圖形；可以讓學(xué)生先想象原來(lái)的圖形，再呈現(xiàn)出來(lái)。(2)要引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較

7、轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)圖形面積是否有變化；(3)要引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，要求出轉(zhuǎn)化后的圖形的面積需要知道哪幾條線段的長(zhǎng)度，這些線段的長(zhǎng)度是否已經(jīng)知道；(4)怎樣由轉(zhuǎn)化后圖形的面積計(jì)算公式得到三角形的面積計(jì)算公式；(5)雖然轉(zhuǎn)化的過(guò)程不同，計(jì)算的算式也有不同，有三角形面積等于底×(高÷2)，有三角形面積等于(底÷2)×高，但都可以統(tǒng)一成三角形面積等于底×高÷2這樣一個(gè)公式。 6大家知道，可以用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的方法推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。這種解決問(wèn)題的方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算公式時(shí)并沒(méi)有接觸到，這是第一次運(yùn)用這種

8、方法求出一個(gè)平面圖形的面積，這種方法為求梯形面積公式奠定了方法上的基礎(chǔ)。(1)你覺(jué)得可以怎樣引導(dǎo)，能夠讓更多的學(xué)生自己想到用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的這種推導(dǎo)方法？(2)有人認(rèn)為：在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形與平行四邊形概念時(shí)，就要求學(xué)生通過(guò)剪、拼的方法，明確一個(gè)長(zhǎng)方形可以剪成兩個(gè)完全一樣的直角三角形，一個(gè)平行四邊形可以剪成兩個(gè)完全一樣的銳角三角形或兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形(包括長(zhǎng)方形)。在概念教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生有這樣的操作活動(dòng)，會(huì)使得更多的學(xué)生在求三角形面積時(shí)，想到用兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形的這種推導(dǎo)方法。你同意這個(gè)觀點(diǎn)嗎？為什么？也有人認(rèn)為

9、：在學(xué)習(xí)三角形面積計(jì)算公式這節(jié)課開始時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)行上面的剪、拼等操作活動(dòng)，也可以讓更多的學(xué)生想到這種推導(dǎo)方法。如果我們把前一種鋪墊叫做遠(yuǎn)鋪墊，后一種叫做近鋪墊，那么，你喜歡遠(yuǎn)鋪墊，還是近鋪墊？為什么？(3)以下是兩種推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式的教學(xué)思路：思路一，從平行四邊形出發(fā)，把一個(gè)平行四邊形分割成兩個(gè)完全一樣的三角形，根據(jù)平行四邊形面積等于底乘高，從而求出三角形的面積等于底乘高除以2；思路二，用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式得出三角形的面積計(jì)算公式；你覺(jué)得這兩種推導(dǎo)過(guò)程是否一樣？如果有不同，主要的差異是什么？7推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式有多種方法，如果按照“獨(dú)

10、立思考-小組交流-全班匯報(bào)”這樣的順序進(jìn)行教學(xué)，那么在學(xué)生匯報(bào)方法時(shí)，你覺(jué)得，有沒(méi)有必要對(duì)某一種或幾種推導(dǎo)方法(如兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的方法)特別重視，要求全班每一個(gè)學(xué)生都掌握這種推導(dǎo)的方法？還是每一種方法只要求學(xué)生理解就可以了，并不要求學(xué)生自己會(huì)推導(dǎo)？為什么？8在推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式時(shí)，是否可以先解決直角三角形面積計(jì)算的問(wèn)題，然后把銳角三角形與鈍角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形的方法求出面積，再歸納出三角形面積計(jì)算公式？想一想，如果按照這樣的思路設(shè)計(jì)三角形面積這節(jié)課，教學(xué)流程可以是怎樣的？以下的教學(xué)流程是否能夠體現(xiàn)出上面的設(shè)計(jì)思路？(1)開門見(jiàn)山揭示今天研究的課題：三角形面積。長(zhǎng)

11、方形與平行四邊形都有了自己的面積計(jì)算公式，也就是只要知道長(zhǎng)方形與平行四邊形中幾條線段的長(zhǎng)度，就可以通過(guò)計(jì)算求出它們的面積。三角形的面積是否也有計(jì)算公式呢？今天這節(jié)課我們一起來(lái)研究。(2)三角形可以分成哪幾類？想一想，哪一類三角形的面積可能容易求出？結(jié)合下面的圖，引導(dǎo)學(xué)生先研究直角三角形的面積。(3)在下面的網(wǎng)格中，如果一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，那么，下圖中兩個(gè)直角三角形的面積分別是多少？如果也要像長(zhǎng)方形與平行四邊形這樣，知道它們圖形中的幾條線段的長(zhǎng)度，通過(guò)計(jì)算求出面積，那么在求出直角三角形的面積時(shí)，要知道(測(cè)量出)哪幾條線段的長(zhǎng)度？公式是怎樣的？在求第(1)個(gè)直角三角形的面積時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用

12、不同的方法得到它的面積：數(shù)方格的方法得到這個(gè)直角三角形的面積是8平方厘米；通過(guò)剪、拼的方法得到一個(gè)2×4的長(zhǎng)方形，求出它的面積是2×4=8平方厘米；以這個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作為一個(gè)長(zhǎng)方形的三個(gè)頂點(diǎn)，再確定這個(gè)長(zhǎng)方形的第四個(gè)頂點(diǎn)，得到一個(gè)4×4的長(zhǎng)方形(正方形)，這個(gè)直角三角形的面積是這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半，即4×4÷2=8平方厘米。進(jìn)而歸納出直角三角形面積等于底×高÷2。再要求學(xué)生運(yùn)用公式求第(2)個(gè)直角三角形的面積，并用其他方法驗(yàn)證運(yùn)用公式求出面積的正確性。最后要求學(xué)生求出第(3)個(gè)直角三角形的面積。直角三角形的面積=底&

13、#215;高÷2，那么，其他類型的三角形面積計(jì)算公式可能會(huì)是怎樣的呢？進(jìn)一步猜想：銳角(或鈍角)三角形面積=底×高÷2。(4)出示下圖，讓學(xué)生自己研究銳角三角形的面積；學(xué)生求出這兩個(gè)三角形的面積可以有不同的方法，其中重視引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作高，把銳角三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三形，并用求直角三角形面積的方法求出銳角三角形的面積，最后歸納出：銳角三角形的面積=底×高÷2。(5)出示下圖，讓學(xué)生研究鈍角三角形的面積。與求銳角三角形面積的思路一樣，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成直角三角形求出鈍角三角形的面積。在求第(2)、(3)這兩個(gè)鈍角三角形面積時(shí)，可以有多種方法，根據(jù)已知不

14、同的底和高，用不同的方法求出面積。如果是已知鈍角所對(duì)的邊的長(zhǎng)度(作為底)，與它相對(duì)應(yīng)的高，那么求圖(2)或(3)面積的方法與求圖(1)的面積一樣。如果已知一只銳角所對(duì)的邊的長(zhǎng)度(作為底)，與它相對(duì)應(yīng)的高，就可以用一個(gè)大的直角三角形面積減去一個(gè)小的直角三角形面積得到鈍角三角形的面積。最后歸納出鈍角三角形的面積=底×高÷2。從而得到一般的三角形面積計(jì)算公式。(二)9根據(jù)你們學(xué)校使用的這套教材，學(xué)生在學(xué)習(xí)梯形的面積計(jì)算公式之前，有哪些經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、能力與推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式關(guān)系密切？，在運(yùn)用剪、拼轉(zhuǎn)化的思想方法(大的思想方法)上，推導(dǎo)梯形面積公式是否存在有別于推導(dǎo)長(zhǎng)方形，平行四邊形

15、、三角形面積公式的方法？10在上梯形的面積這節(jié)課時(shí)，你會(huì)創(chuàng)設(shè)怎樣一個(gè)情境，讓學(xué)生感受到需要解決梯形面積的計(jì)算問(wèn)題？下面是現(xiàn)行的幾個(gè)套教材，設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境，你喜歡哪一個(gè)情境，為什么？教材問(wèn)題的設(shè)計(jì)人教版車窗的玻璃是梯形，面積是多少？版甲魚池的形狀是梯形，它的面積是多少？北師大版一個(gè)堤壩的橫截面形狀是梯形，它的面積是多少？浙教版水壩的橫截面是什么形狀？它的面積是多少？教版把梯形剪下，看看哪些能拼成平行四邊形？拼一拼，求拼成的平行四邊形和每個(gè)梯形的面積是多少？西南師大版直接給出一個(gè)梯形。你會(huì)用這個(gè)學(xué)具探索梯形面積計(jì)算嗎？11.想一想，可以有哪些不同的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算公式？12如果已知梯形

16、的上底是4厘米、下底是6厘米、高是2厘米，那么下面這些不同的圖示所表示的思路都可以推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算公式嗎？請(qǐng)你根據(jù)這些圖示寫出相應(yīng)的推導(dǎo)算式。例如：根據(jù)第(3)個(gè)圖，推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式的算式是： 梯形面積=兩個(gè)三角形面積的和=4×2÷2+6×2÷2 =上底×高÷2+下底×高÷2=(上底+下底)×高÷2又如，根據(jù)第(9)個(gè)圖，推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式的算式是：梯形面積=平行四邊形面積減去三角形的面積 =(6×2)-(6-4)×2÷2 =(下底×高)-(下底

17、-上底)×高÷2 =下底×高-下底×高÷2+上底×高÷2 =下底×高÷2+上底×高÷2 =(上底+下底)×高÷213在班級(jí)授課制教學(xué)中，常常有部分學(xué)生已經(jīng)知道梯形面積計(jì)算公式，而有些學(xué)生不知道公式。對(duì)于知道公式的學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要驗(yàn)證公式的正確性，說(shuō)清楚為什么梯形面積計(jì)算公式可以是這樣的。對(duì)于不知道公式的學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要探索、尋找公式可能是怎么樣的。這兩種思路是不一樣的，前者是尋找公式成立的理由，后者是尋找公式。你覺(jué)得教師在上課時(shí)，如果兼顧這兩種思路，使得每一部分學(xué)生都能在原有的基礎(chǔ)上得以發(fā)展？14有人認(rèn)為，可以用梯形的面積計(jì)算公式“統(tǒng)領(lǐng)”長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形的面積計(jì)算公式。也就是說(shuō)，可以把長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形的面積計(jì)算公式看成梯形計(jì)算面積公式的特殊情況，你同意這個(gè)觀點(diǎn)嗎？為什么？閱讀下文，你覺(jué)得這樣的觀點(diǎn)是否有道理？梯形的面積=(上底+下底)×高÷2，當(dāng)(1) 上底=下底時(shí)，從圖形的角度看，梯形變成了平行四邊形或長(zhǎng)方形；從面積公式的角度看，這時(shí)的梯形面積=2×底×高÷2=底×高或長(zhǎng)×寬。就是平行四邊形或長(zhǎng)方形的