第1章-7.1+7.2

1、.7正切函數(shù)71正切函數(shù)的定義72正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)目的1.能借助單位圓中的正切線畫(huà)出函數(shù)ytan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)重點(diǎn).3.注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1正切函數(shù)的定義1任意角的正切函數(shù)：假如角滿足R，kkZ，那么，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)Pa，b，唯一確定比值，我們把它叫作角的正切函數(shù)，記作ytan ，其中R，k，kZ.2正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系：根據(jù)定義知tan R，k，kZ3正切值在各象限的符號(hào)：根據(jù)定義知，當(dāng)角在第一和第三象限時(shí)，其正切函數(shù)值為正；當(dāng)角在第二和第四象限時(shí)，其正

2、切函數(shù)值為負(fù)4正切線：在單位圓中令A(yù)1,0，過(guò)A作x軸的垂線，與角的終邊或終邊的延長(zhǎng)線相交于T，稱(chēng)線段AT為角的正切線【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1假設(shè)角的終邊上有一點(diǎn)P2x1,3，且tan ，那么x的值為A7B8C15 D.解析由正切函數(shù)的定義tan ，解之得x8.答案B2函數(shù)ytan 2x的定義域?yàn)開(kāi)解析由正切函數(shù)的定義知，假設(shè)使ytan 2x有意義，那么2xkkZ解得xkZ答案知識(shí)點(diǎn)2正切函數(shù)的圖像及特征1ytan x，xR且xk，kZ的圖像正切曲線：2正切曲線的特征：正切曲線是由被互相平行的直線xkkZ隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的這些直線叫作正切曲線各支的漸近線【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

3、稱(chēng)，那么正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心只有一個(gè)嗎？提示正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心除了原點(diǎn)外，諸如，0等都是對(duì)稱(chēng)中心，正切函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱(chēng)中心知識(shí)點(diǎn)3正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ytan x定義域值域R周期性周期為kkZ，k0，最小正周期為奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在kZ上是增加的【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】正確的打“，錯(cuò)誤的打“1正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)2正切函數(shù)存在閉區(qū)間a，b，使ytan x是增加的3假設(shè)x是第一象限的角，那么ytan x是增函數(shù)4正切函數(shù)ytan x的對(duì)稱(chēng)中心為k，0kZ.題型一正切函數(shù)的定義【例1】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P4a,3aa0，求sin ，cos 、tan 的值解r5|a|，假設(shè)a0，那么r5a，角在第二象限，sin

4、，cos .tan ；假設(shè)a0，那么r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .規(guī)律方法角終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)m，n利用定義求tan 時(shí)，其值與該點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)且tan .但要注意判斷角所在象限利用定義可求以下特殊角的正切：0tan 011【訓(xùn)練1】假設(shè)tan ，利用三角函數(shù)的定義，求sin 和cos .解tan 0，角是第一或第三象限角假設(shè)角是第一象限角，那么由tan ，角的終邊上必有一點(diǎn)P2,1，r|OP|.sin ，cos .假設(shè)角是第三象限角，那么由tan 知，角的終邊上必有一點(diǎn)P2，1，r|OP|.sin ，cos .題型二正切函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例2】利用正切函數(shù)的圖像作出y|t

5、an x|的圖像并寫(xiě)出使y的x的集合解當(dāng)x時(shí)，ytan x0，當(dāng)x時(shí)，ytan x0，y|tan x|如下圖使y的x的集合為.規(guī)律方法1.作正切函數(shù)的圖像時(shí)，先畫(huà)一個(gè)周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移從而得到正切函數(shù)的圖像，通過(guò)圖像的特點(diǎn)，可用“三點(diǎn)兩線法，這三點(diǎn)是，0,0，兩線是直線x為漸近線2假如由yfx的圖像得到y(tǒng)f|x|及y|fx|的圖像，可利用圖像中的對(duì)稱(chēng)變換法完成；即只需作出yfxx0的圖像，令其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)便可以得到y(tǒng)f|x|x0的圖像；同理只要作出yfx的圖像，令圖像“上不動(dòng)，下翻上便可得到y(tǒng)|fx|的圖像【訓(xùn)練2】1函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)解析要使該函數(shù)有意義，那么有即xk且xk

6、.答案2根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫(xiě)出tan x1的解集解作出ytan x及y1的圖像，如以下圖滿足此不等式的x的集合為.方向1比較大小【例31】比較tan 1、tan 2、tan 3的大小解tan 2tan2，tan 3tan3，又2，20.3，30，顯然231，且ytan x在內(nèi)是增函數(shù)，tan 2tan 3tan 1，即tan 2tan 3 tan 1.方向2求解最值【例32】假設(shè)x，求函數(shù)ytan2x2tan x2的最值及相應(yīng)的x值解令ttan x，x，t，1，yt22t2t121，當(dāng)t1，即x時(shí)，ymin1，當(dāng)t1，即x時(shí)，ymax5.方向3性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例33】fxatan xa01判

7、斷fx在x上的奇偶性；2求fx的最小正周期；3求fx的單調(diào)區(qū)間；4假設(shè)a0，求fx在上的值域解1fxatan xa0，x，fxatanxatan xfx又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，fx為奇函數(shù)2fx的最小正周期為.3ytan x在kZ上單調(diào)遞增，當(dāng)a0時(shí)，fx在kZ上單調(diào)遞減，當(dāng)a0時(shí)，fx在kZ上單調(diào)遞增4當(dāng)a0時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，故x時(shí)，fxmaxa，無(wú)最小值fx的值域?yàn)椋琣規(guī)律方法1.比較同名三角函數(shù)值的大小，本質(zhì)上是將兩個(gè)角利用周期性放在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大小2對(duì)于形如ytanx、為非零常數(shù)的函數(shù)性質(zhì)和圖像的研究，應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像為根底，運(yùn)用整體思想和換元法求解假如0

8、的圖像的相鄰兩支曲線截直線y所得線段長(zhǎng)為，那么f的值是A0B1C1 D.解析由題意，得T，4.fxtan 4x，ftan 0.答案A10函數(shù)ytan x在，是減函數(shù)，那么的取值范圍是_解析ytan x在，內(nèi)是減函數(shù)，0且T.|1，即10.答案1,011求函數(shù)ytan2x4tan x1，x的值域?yàn)開(kāi)解析x，1tan x1.令tan xt，那么t1,1yt24t1t225.當(dāng)t1，即x時(shí)，ymin4，當(dāng)t1，即x時(shí)，ymax4.故所求函數(shù)的值域?yàn)?,4答案4,412假設(shè)函數(shù)fxtan2xatan x的最小值為6.務(wù)實(shí)數(shù)a的值解設(shè)ttan x，因?yàn)閨x|，所以t1,1那么原函數(shù)化為：yt2at2，對(duì)稱(chēng)軸t.假設(shè)11，那么當(dāng)t時(shí)，ymin6，所以a224舍去；假設(shè)1，即a2時(shí)，二次函數(shù)在1,1上遞增，ymin21a6，所以a7；假設(shè)1，即a2時(shí)，二次函數(shù)在1,1上遞減ymin21a6，所以a7.綜上所述，a7或a7.13選做題函數(shù)fx.1求函數(shù)定義域