概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程小論文

1、淺談隨機變量的數(shù)字特征摘要：我們知道，隨機變量的分布函數(shù)完全刻畫了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，它反應(yīng)了隨機變量的全貌，而隨機變量的數(shù)字特征只是隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律的某一個方面的數(shù)量描述，不能完整地描述隨機變量，但卻反映隨機變量取值的一些特征。本文就從這點出發(fā)，主要講述隨機變量的數(shù)字特征的引出、相關(guān)知識點及重點和隨機變量數(shù)字特征的應(yīng)用。 關(guān)鍵字：數(shù)字特征 數(shù)學期望 方差 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)我們知道隨機變量的分布函數(shù)能夠全面地描述隨機變量的統(tǒng)計特性。但實際問題中，由于有時很難求出隨機變量的分布函數(shù)或者不需要知道隨機變量的一切統(tǒng)計特性，而只需要知道隨機變量的某些特征。例如在分析某校學生英語四級水平時，只要計算該

2、校的平均成績和計算該校每位學生的考試成績與平時成績的偏離大小，便可以對該校的學生英語四級水平做出比較客觀的判斷，這種能表示隨機變量某些方面特征的數(shù)就是隨機變量的數(shù)字特征。另外我們還注意到許多的重要分布都會含1到3個參數(shù)，而這些參數(shù)都與數(shù)字特征重合或關(guān)系密切，因此只要知道分布的類型，通過數(shù)字特征就能完全確定分布函數(shù)。由此可見，隨機變量的數(shù)字特征的研究具有理論上和實際上的重要意義。通過這章的學習，我理解了隨機變量的數(shù)學期望、方差的概念，并會運用它們的基本性質(zhì)計算具體分布的期望、方差；掌握了二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差；會根據(jù)隨機變量的概率分布計算其函數(shù)的數(shù)學期望

3、；會根據(jù)隨機變量的聯(lián)合概率分布計算其函數(shù)的數(shù)學期望正；理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，掌握它們的性質(zhì)，并會利用這些性質(zhì)進行計算，了解矩的概念。下面是我總結(jié)出來的本章知識要點： 1數(shù)學期望 設(shè)是離散型的隨機變量，其概率函數(shù)為如果級數(shù)絕對收斂，則定義的數(shù)學期望為； 設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對可積，則定義的數(shù)學期望為 2隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設(shè)為離散型隨機變量，其概率函數(shù)如果級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為 設(shè)為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合概率函數(shù)如果級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為； 特別地. 設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為 設(shè)

4、為二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度為，如果廣義積分絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為；特別地 ,. 3數(shù)學期望的性質(zhì) 3.1 (其中c為常數(shù))； 3.2 (為常數(shù))； 3.3 ； 3.4 如果與相互獨立，則. 4方差與標準差 隨機變量的方差定義為計算方差常用下列公式： 當為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為如果級數(shù)收斂，則的方差為； 當為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機變量的標準差定義為方差的算術(shù)平方根. 5方差的性質(zhì) 5.1 (c是常數(shù))； 5.2 (為常數(shù))； 5.3如果與獨立，則. 6協(xié)方差 設(shè)為二維隨機變量，隨機變量的協(xié)方差定義為計算協(xié)方差常用下列公式：當時，

5、協(xié)方差具有下列性質(zhì)： 6.1 (c是常數(shù))； 6.2 ； 6.3 (是常數(shù))； 6.4 7相關(guān)系數(shù)隨機變量的相關(guān)系數(shù)定義為相關(guān)系數(shù)反映了隨機變量與之間線性關(guān)系的緊密程度，當越大，與之間的線性相關(guān)程度越密切，當時，稱與不相關(guān) 相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì)： 7.1 ； 7.2 的充要條件是，其中為常數(shù)； 7.3 若隨機變量與相互獨立，則與不相關(guān)，即，但由不能推斷與獨立 7.4下列5個命題是等價的： 7.4.1 ； 7.4.2 ； 7.4.3 ； 7.4.4 )； 7.4.5 利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)可以計算 8原點矩與中心矩 隨機變量的階原點矩定義為； 隨機變量的階中心矩定義為； 隨機變量的階混合原點矩定義

6、為； 隨機變量的階混合中心矩定義為 一階原點矩是數(shù)學期望； 二階中心矩是方差D(X)； 階混合中心矩為協(xié)方差. 9常用分布的數(shù)字特征 9.1當服從二項分布時， 9.2 當服從泊松分布時， 9.3 當服從區(qū)間上均勻分布時， 9.4 當服從參數(shù)為的指數(shù)分布時， 9.5 當服從正態(tài)分布時， 9.6 當服從二維正態(tài)分布時，；上面講了那么多的知識點，看起來很是繁瑣，個人認為重點是期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念、計算和性質(zhì)；常用分布的數(shù)字特征；利用性質(zhì)計算隨機變量函數(shù)的期望。從隨機變量的數(shù)字特征的引出中，我們可以知道研究隨機變量的數(shù)字特征可以簡化某些實際問題的解答，可以從總體上掌握隨機變量某一側(cè)面的性

7、質(zhì),下面講講隨機變量的數(shù)字特征的應(yīng)用：1.通過分布求數(shù)字特征如：已知某網(wǎng)站每天的登錄人數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，而進入該網(wǎng)站的每個人打開某網(wǎng)頁的概率為 ，試求訪問該網(wǎng)頁人數(shù)的分布律及其數(shù)學期望.解  以 表示登錄網(wǎng)站的人數(shù)， 表示訪問某網(wǎng)頁的人數(shù).依題意:由全概率公式得:可見 仍服從泊松分布，參數(shù)為 ，因此其數(shù)學期望為 2.利用運算性質(zhì)求數(shù)字特征如：已知隨機變量 和 服從正態(tài)分布 和 ，且 與 的相關(guān)系數(shù) ，設(shè) ，  試求  (1) ， ， ；  (2) 與 是否相互獨立?為什么.解  (1)由運算性質(zhì)，有 ，故  

8、0;    ；(2)由于 不一定是二維正態(tài)分布，故由 不能推出 與 相互獨立.(若 與 均服從正態(tài)分布，且 與 相互獨立，則 服從二維正態(tài)分布)3.利用分解法進行計算如：對某一目標連續(xù)射擊，直至命中 次為止.設(shè)每次射擊的命中率為 ，試求消耗的子彈數(shù)的數(shù)學期望.解  設(shè) 表示第 次命中至第 次命中之間所消耗的子彈數(shù)(含第 次命中不含第 次命中)，則          ，    ，    于是        故 &#