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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上計算實(shí)習(xí)報告姓名:蔡欣麟 學(xué)號:一、 實(shí)習(xí)目的1、熟悉偏微分方程數(shù)值解的理論知識;2、提高matlab編程能力。3、進(jìn)一步加深對使用matlab解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的理解。二、 實(shí)習(xí)內(nèi)容運(yùn)用matlab實(shí)現(xiàn)對Laplace方程第一邊值問題的求解。三、 算法公式考慮如下區(qū)域=上求解Poisson方程邊值問題Lu=-u=f x,ya,b×c,d= (1)un+k(x,y)u=r(x,y)的差分方法。用差分方法求解橢圓邊值問題時,對區(qū)域離散化統(tǒng)一采用矩形網(wǎng)格剖分。對是矩形區(qū)域的情況,可將a,b等分為N等分,記h1=ab/N;將c,d等分為M等分,記h2=cd/M;的離
2、散結(jié)果記為h,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)記為(i,j),邊界結(jié)點(diǎn)為i=1和N+1,j=1和M+1的情形,內(nèi)結(jié)點(diǎn)為2iN,2jM的情形。在差分方程中,微分方程的離散化處理都采用差商代替微商的方法。為此,要先假設(shè)解函數(shù)u(x,y)足夠光滑,以便利用Taylor展開式做出差商近似。設(shè)(i,j)是內(nèi)節(jié)點(diǎn),為了表現(xiàn)在該結(jié)點(diǎn)處的微商,應(yīng)用Taylor展式,有1h12uxi+1,yi-2uxi,yi+uxi-1,yi=2(xi,yi)x2+h12124u(xi,yi)x4+h143606u(xi,yi)x6+O(h16)1h22uxi,yi+1-2uxi,yi+uxi,yi-1=2u(xi,yi)y2+h22124u(xi,
3、yi)y4+h243606u(xi,yi)y6+O(h26)用以上兩式中的沿x和y方向的二階中心差商直接代替方程(1)中的uxx和uyy,就得到-1h12ui+1,j-2uij+ui-1,j-1h22ui,j+1-2uij+ui,j-1=fij (2)由于式(2)中只出現(xiàn)u在點(diǎn)(i,j)及其4個鄰點(diǎn)共五個節(jié)點(diǎn)處的值;另外,對一切內(nèi)節(jié)點(diǎn)(2)都適用;稱(2)為五點(diǎn)差分格式。五點(diǎn)差分格式的截斷誤差為Ri,j=uxi,yi-huxi,yi=O(h2)四、 程序設(shè)計1、 計算實(shí)例在區(qū)域求解Laplace方程第一邊值問題:(要求取x方向與y方向取相同的步長):(結(jié)果:取h0.125,利用五點(diǎn)菱形格式,用
4、Gauss-Seidel進(jìn)行迭代計算得數(shù)值結(jié)果按先沿x方向后沿y方向?yàn)椋?.25,12.50,18.75,12.50,25.00,37.50,18.75,37.50,58.25)2、 模塊設(shè)計(1)網(wǎng)格剖分;(2)近似;(3)Gauss-Seidel迭代;(4)輸出結(jié)果。3、 變量說明q:內(nèi)點(diǎn)初始值(邊界值的算術(shù)平均值) u:序號點(diǎn)的函數(shù)值U: 每次迭代序號點(diǎn)的函數(shù)值 u1:上次迭代的函數(shù)值du:兩次迭代函數(shù)值的偏差。4、 程序清單(附)clear;clc;q=25;u=0;0;0;0;0;0;q;q;q;25;0;q;q;q;50;0;q;q;q;75;0;25;50;75;100;for
5、i=1:100for j=1:25 U(j,i)=u(j); u1(j)=u(j);endu(7)=(u(2)+u(6)+u(8)+u(12)/4;u(8)=(u(3)+u(7)+u(9)+u(13)/4;u(9)=(u(4)+u(8)+u(10)+u(14)/4;u(12)=(u(7)+u(17)+u(11)+u(13)/4;u(13)=(u(8)+u(18)+u(12)+u(14)/4;u(14)=(u(9)+u(19)+u(13)+u(15)/4;u(17)=(u(12)+u(16)+u(18)+u(22)/4;u(18)=(u(13)+u(17)+u(19)+u(23)/4;u(19)
6、=(u(14)+u(18)+u(20)+u(24)/4;for j=1:25 du(j)=u(j)-u1(j);endif norm(du,1)<=0. break; end endfor i=1:5 for j=1:5 u2(i,j)=u(5*(i-1)+j); endendmesh(u2);五、 結(jié)果分析這樣我們就求出了這25個點(diǎn)的精確值,在0,0.5×0,0.5區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)都可以用最靠近它的網(wǎng)格點(diǎn)來近似,這樣我們就很好地解決了這個偏微分方程問題。六、 實(shí)習(xí)心得通過本學(xué)期的計算實(shí)習(xí),我對偏微分?jǐn)?shù)值解有了更深的了解。雖然學(xué)藝不精,對matlab的掌握還有待提高,但是較以前有了明顯進(jìn)步,應(yīng)該說是這門課讓我在這學(xué)期受益良
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