高等數(shù)學高職

1、高等數(shù)學高等數(shù)學書名：高等數(shù)學（下）ISBN： 978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：機械工業(yè)出版社本書配有電子課件高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)學習目標：學習目標：l理解無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的基本概念，掌握正理解無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的基本概念，掌握正項級數(shù)和交錯級數(shù)的審斂法；項級數(shù)和交錯級數(shù)的審斂法；l掌握簡單冪級數(shù)收斂于的求法，會將簡單的函掌握簡單冪級數(shù)收斂于的求法，會將簡單的函數(shù)用間接展開法展開成冪級數(shù)；數(shù)用間接展開法展開成冪級數(shù)；l掌握將周期函數(shù)和奇、偶函數(shù)展開為傅里葉級掌握將周期函數(shù)和奇、偶函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的方法。數(shù)的方法。高等數(shù)

2、學高等數(shù)學高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件內(nèi)容提要內(nèi)容提要無窮級數(shù)無窮級無窮級數(shù)概念數(shù)概念和性質和性質周期為周期為2L的函數(shù)的函數(shù)的傅立的傅立葉級數(shù)葉級數(shù)傅立葉傅立葉級數(shù)的級數(shù)的復數(shù)復數(shù)形式形式正弦與余正弦與余弦級數(shù)弦級數(shù) 周期延拓周期延拓傅立傅立葉葉級數(shù)級數(shù)函數(shù)的函數(shù)的冪級冪級數(shù)展開數(shù)展開任意任意項項級數(shù)級數(shù)冪級冪級數(shù)數(shù)正項正項級數(shù)級數(shù)高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件第一節(jié)第一節(jié) 無窮級數(shù)概念與性質無窮級數(shù)概念與性質v重點：（重點：（1 1） 級數(shù)及其收斂與發(fā)散級數(shù)及其收斂與發(fā)散 （2 2） 級數(shù)的基本性質級數(shù)的基本性質 （3 3） 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件v難點難點

3、: : 用定義判斷級數(shù)的斂散性用定義判斷級數(shù)的斂散性 高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件一、無窮級數(shù)的基本概念一、無窮級數(shù)的基本概念高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件二、數(shù)項級數(shù)的收斂和發(fā)散二、數(shù)項級數(shù)的收斂和發(fā)散nnn10310003100310310313 . 01031S33. 010310322S333. 0103103103323S 例例 1 討論級數(shù)討論級數(shù) 101解：這是以解：這是以為公比的等比級數(shù)，分別取級數(shù)的前為公比的等比級數(shù)，分別取級數(shù)的前1 項，項， 前前 2 項，項，前前n項做和：項做和： 高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件3333. 01031031031

4、0332nnS 當當n時，有時，有 313 . 03333. 0limnnS 它反映了級數(shù)它反映了級數(shù)1103nn的無窮多項累加的結果為的無窮多項累加的結果為 31，我們，我們 把極限值把極限值31叫作級數(shù)叫作級數(shù)1103nn的“和” 。的“和” 。 高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件定定義義 如如果果SSnnlim，則則稱稱級級數(shù)數(shù)1nnu收收斂斂，稱稱極極限限值值S為為級級 數(shù)數(shù)的的和和，記記作作 nnnnuuuuS211 此此時時稱稱21nnnnSSSSr為為級級數(shù)數(shù)的的余余項項。如如果果nnSlim 不不存存在在，則則稱稱級級數(shù)數(shù)1nnu發(fā)發(fā)散

5、散，發(fā)發(fā)散散的的級級數(shù)數(shù)沒沒有有和和。 高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件1) 1(11111n11111 22 33 4(1)n nnn1ln34ln23ln12lnn321 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性（1） （2） （3） （4） 2) 1(321nnnSn2) 1(limlimnnSnnn1nn解：（解：（1） 級數(shù)的部分和為級數(shù)的部分和為 所以級數(shù)所以級數(shù)發(fā)散。發(fā)散。高等數(shù)學（下） 高職高專 ppt 課件11S02S13S04S112nS02nSnnSlim11) 1(nn（2） 級數(shù)的部分和為級數(shù)的部分和為 ， ， ， ， 即即 ， 所以所以 不存在，所以級數(shù)不存在

6、，所以級數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。 111) 1(1nnnn111)111()4131()3121()211 (nnnSn1)111 (limlimnSnnn1) 1(1nnn1（3）因為因為， 所以級數(shù)的部分和為所以級數(shù)的部分和為 而而 所以級數(shù)所以級數(shù) 收斂，其和為收斂，其和為 。 nnnnln) 1ln(1ln11lnnnn) 1ln()ln) 1(ln()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnnnSn) 1ln(limlimnSnnn（4） 因為 ， 所以 而 所以級數(shù) 發(fā)散。 )0( a12naqaqaqaqqaSnn1)1 ( 例 3 討論等比級數(shù)等比級數(shù)（又稱幾何級數(shù)幾何級數(shù)）

7、 的斂散性。 解：此級數(shù)的部分和為 三、無窮級數(shù)的性質三、無窮級數(shù)的性質Svuvunnnnnnn111)(1nnuS1nnCuCS性質性質 1 若若 ， C 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 。 1nnuS1nnv性質性質 2 若若 ， ，則有，則有 性質性質 3 一個級數(shù)增加或去掉有限項，不改變級數(shù)的斂散一個級數(shù)增加或去掉有限項，不改變級數(shù)的斂散 性（但收斂級數(shù)的和要變）。性（但收斂級數(shù)的和要變）。 性質性質 4 收斂級數(shù)任意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂，收斂級數(shù)任意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂，其和不變。其和不變。 注意：注意：性質性質 4 的逆命題是錯誤的。的逆命題是錯誤的。 11)3) 1(2(n

8、nn例例4 判別級數(shù)判別級數(shù) 是否收斂，如果收斂，并求其和。是否收斂，如果收斂，并求其和。 131nn31q213113141311313) 1(11nnn11)3) 1(2(nnn4541212413123) 1(32)3) 1(2(111111nnnnnnnnnn解：解： 是是 的等比級數(shù)，收斂并且和為的等比級數(shù)，收斂并且和為 。 同理同理 根據(jù)級數(shù)的性質根據(jù)級數(shù)的性質1，2 可知，可知， 也收斂，其和為也收斂，其和為 四、級數(shù)收斂的必要條件四、級數(shù)收斂的必要條件 1nnu只是級數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件；只是級數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件；0limnnu0limnnu0limnnu

9、定理：定理：若級數(shù)若級數(shù) 收斂，則收斂，則 。 注：注： 1） 2） 若若 不成立，則級數(shù)必定發(fā)散。我們經(jīng)常用不成立，則級數(shù)必定發(fā)散。我們經(jīng)常用 這個結論來證明級數(shù)發(fā)散。這個結論來證明級數(shù)發(fā)散。 101. 0nnnnnu21001. 00110limlim2nnnnu例例 5 判別級數(shù)判別級數(shù) 的斂散性。的斂散性。 解：解： 所以所以 由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的。由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的。 第二節(jié)第二節(jié) 正項級數(shù)正項級數(shù)v重點：重點： 正項級數(shù)收斂性的兩個判別法正項級數(shù)收斂性的兩個判別法v難點：難點： 比較判別法中尺度的選擇比較判別法中尺度的選擇一、比較審斂法一、比較審斂

10、法1nnu0nu1nnu1. 如果級數(shù)如果級數(shù) 的每一項的每一項 ，則稱，則稱 為為正項級數(shù)正項級數(shù) 1nnv1nnunnvu )3 , 2 , 1(n1nnv1nnu1nnu1nnv2. 設正項級數(shù)設正項級數(shù) 和和 滿足：滿足： 則則 （1） 若級數(shù)若級數(shù) 收斂，收斂， 也收斂，也收斂， （2） 若級數(shù)若級數(shù) 收斂，收斂， 也收斂。也收斂。 這個判別法稱為正項級數(shù)的這個判別法稱為正項級數(shù)的比較判別法比較判別法。 11312111nnn例例1 級數(shù)級數(shù) 叫作調(diào)和級數(shù)，試判別其叫作調(diào)和級數(shù)，試判別其 斂散性。斂散性。 0 x ln(1)xx111123111ln(1 1)ln(1)ln(1)ln

11、(1)23341ln2lnlnln23nnnn解：解： 當當 時，有時，有 （此不等式可用函數(shù)的（此不等式可用函數(shù)的 單調(diào)性來證明）單調(diào)性來證明） 所以所以 p11npn(0)p 例例2 討論討論 級數(shù)級數(shù)的斂散性。的斂散性。 由比較判別法知由比較判別法知1pp1p pnn11pnn11npn1p 122331111111111 ()()()234567891524812481111222ppppppppppppppp 解：（解：（1） 當當 時，時， 級數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。級數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。 （2） 當當 時，時， ，因此，因此 ， 發(fā)散。發(fā)散。 （3）當）當 時，將級數(shù)改寫成：時，

12、將級數(shù)改寫成： 解：（解：（1） 因為因為22121nnn，而，而121nn是是12 p 的的p級數(shù)，故級數(shù)級數(shù)，故級數(shù)1221nnn 是收斂的。是收斂的。 （2） 當當0 x時，有時，有)1ln(xx， 所以，所以， )1ln(nn，即，即nn1)1ln(1， 而而11nn是發(fā)散的，故級數(shù)是發(fā)散的，故級數(shù)1)1ln(1nn發(fā)散。發(fā)散。 （4） 因為因為11122nnnnnn， 而級數(shù)而級數(shù)111nn是發(fā)散的是發(fā)散的 故級數(shù)故級數(shù)121nnn發(fā)散。發(fā)散。 （3）因為）因為 而級數(shù)而級數(shù)是公比為是公比為 54的等比級數(shù)，且收斂的。的等比級數(shù)，且收斂的。 故級數(shù)故級數(shù)1354nnnn收斂。收斂。

13、125)54(nn25)54()531 (54)53(1 (54354nnnnnnnnn比較判別法的極限形式：比較判別法的極限形式： 設設1nnu和和1nnv是兩個正項級數(shù)，若是兩個正項級數(shù)，若avunnnlim，Ra， 則這兩個級數(shù)的斂散性相同。則這兩個級數(shù)的斂散性相同。 11sinnn例例1 判別級數(shù)判別級數(shù)的斂散性。的斂散性。 解：易知解：易知11sinnn是正弦級數(shù)，因為是正弦級數(shù)，因為111sinlimnnn， 而而11nn發(fā)散，發(fā)散，故級數(shù)故級數(shù)11sinnn發(fā)散。發(fā)散。 二、比值審斂法二、比值審斂法例例5 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） 1nnna (0a) (

14、2) 1!nnnn (3) 12nnn 解：解： （1） annananauunnnnnnn1lim1limlim11 因為因為0a，所以當，所以當10 a時級數(shù)收斂，當時級數(shù)收斂，當1a時時 級數(shù)發(fā)散。級數(shù)發(fā)散。 （2） 1)1(lim!)!1() 1(limlim11ennnnnnuunnnnnnnn 所所以以級級數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的。 （3） 12121lim221limlim11nnnnnnnnnnnuu 所所以以級級數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的。 第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數(shù)任意項級數(shù)v重點：重點：（1） 交錯級數(shù)審斂法交錯級數(shù)審斂法 （2） 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂v難點：難點：

15、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂設設0nu， （3 , 2 , 1n） ，下列級數(shù)：） ，下列級數(shù)： 1154321) 1(nnnuuuuuu 154321) 1(nnnuuuuuu 稱為交錯級數(shù)，稱為交錯級數(shù)， 交錯級數(shù)審斂法：交錯級數(shù)審斂法： 若（若（1） 1nnuu， , 3 , 2 , 1n （2） 0limnnu 則交錯級數(shù)收斂，且和則交錯級數(shù)收斂，且和1uS ；余項；余項nr的絕對值的絕對值1nnur。 一、交錯級數(shù)一、交錯級數(shù)例例 1 判斷下列級數(shù)的斂散性。判斷下列級數(shù)的斂散性。 （1） 11) 1(nnn （2） 111) 1(nnn 解：（解：（1） nun1，111nu

16、n 顯然有顯然有 1nnuu，且，且 0limnnu 故級數(shù)收斂。故級數(shù)收斂。 （2） nun1，111nun 顯然有顯然有 1nnuu，且，且 01limnn， 故級數(shù)收斂。故級數(shù)收斂。 如果級數(shù)如果級數(shù)1nnu中各項可取中各項可取任意任意實數(shù)實數(shù)，則稱級數(shù)，則稱級數(shù)1nnu為任意項為任意項 級數(shù)。級數(shù)。有有如下如下結論：結論： （1） 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù)1nnu一定收斂。此時稱級數(shù)一定收斂。此時稱級數(shù) 1nnu絕對收斂絕對收斂。 （2） 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂，而級數(shù)收斂，而級數(shù)1nnu發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱1nnu條件收斂條件收斂。 （3） 若級數(shù)若級數(shù)1nnu

17、發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)1nnu可能收斂，也可能發(fā)散?？赡苁諗?，也可能發(fā)散。 二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂例例 2 證明級數(shù)證明級數(shù)121sin) 1(nnnn收斂。收斂。 證明：證明： 因為因為2211sin) 1(nnnn，而級數(shù)，而級數(shù)121nn是是2p時時 的的p級數(shù)，它是收斂的，所以由比較判別法，級數(shù)級數(shù)，它是收斂的，所以由比較判別法，級數(shù) 121sin) 1(nnnn 收斂，從而級數(shù)收斂，從而級數(shù)121sin) 1(nnnn是絕對收斂的。是絕對收斂的。 故級數(shù)故級數(shù)121sin) 1(nnnn收斂。收斂。 例例 3 指出下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂：指出下列級數(shù)是

18、絕對收斂還是條件收斂： （1） 111) 1(nnn （2） 111) 1(nnnn 解：（解：（1）級數(shù)）級數(shù)111) 1(nnn是交錯級數(shù)，由交錯級數(shù)審斂法可知是交錯級數(shù)，由交錯級數(shù)審斂法可知 它收斂。而它收斂。而 11111) 1(nnnnn是是1p的的p級數(shù)，是發(fā)散的，級數(shù)，是發(fā)散的， 故級數(shù)故級數(shù)111) 1(nnn條件收斂。條件收斂。 （2）級數(shù)）級數(shù)111) 1(nnnn的每項取絕對值得級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)11nnn，它是，它是23p 的的p級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)111) 1(nnnn絕對收斂。它本身一絕對收斂。它本身一 定收斂。定收斂。 第四節(jié)第四

19、節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)v重點：重點：（1）冪級數(shù)概念及收斂半徑、收斂）冪級數(shù)概念及收斂半徑、收斂 區(qū)間區(qū)間 （2）冪級數(shù)的運算性質）冪級數(shù)的運算性質v難點：難點：利用冪級數(shù)的運算性質求冪級利用冪級數(shù)的運算性質求冪級 數(shù)的和數(shù)的和一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念 例例 1 求冪級數(shù)求冪級數(shù) nxxxx321的收斂域及和函數(shù)的收斂域及和函數(shù))(xS. 1x x(,11,)解：這是一個公比為解：這是一個公比為 的等比級數(shù)，因此當?shù)牡缺燃墧?shù)，因此當 ， 即即11x時收斂，當時收斂，當1x時發(fā)散，所以級數(shù)時發(fā)散，所以級數(shù) nxxxx321 的收斂域為的收斂域為) 1 , 1(，發(fā)散域為，發(fā)散域為 。 由等比級

20、數(shù)的求和公式知由等比級數(shù)的求和公式知,它的和函數(shù)為它的和函數(shù)為xxS11)(，即，即 nxxxxx32111 ) 1 , 1(x 定定理理：設設冪冪級級數(shù)數(shù)1nnnxa的的系系數(shù)數(shù)滿滿足足1limnnnaRa （1） 如如果果 R0，則則當當Rx 時時，冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂； 當當Rx 時時，冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散；當當Rx時時，須須另另行行判判定定。 （2） 如如果果R，則則冪冪級級數(shù)數(shù)在在),(內(nèi)內(nèi)絕絕對對收收斂斂。 （3） 如如果果0R，則則冪冪級級數(shù)數(shù)僅僅在在0 x點點收收斂斂。 這這個個定定理理告告訴訴我我們們，冪冪級級數(shù)數(shù)1nnnxa的的收收斂斂域域是是以以原原點點為為中中心

21、心， 長長度度為為R2的的區(qū)區(qū)間間，共共有有四四種種可可能能： （1） ),(RR ， （2） ,RR ， （3）),RR ， （4）,(RR ，稱稱 R 為為冪冪級級數(shù)數(shù)1nnnxa的的收收斂斂半半徑徑。 可可見見，求求冪冪級級數(shù)數(shù)1nnnxa的的收收斂斂域域，關關鍵鍵是是求求它它的的收收斂斂半半徑徑 1limnnnaaR，再再判判定定在在Rx時時的的斂斂散散性性，從從而而確確定定其其收收斂斂區(qū)區(qū)間間。 例例1 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間 （1） 0!nnnx （2） 11)(nnnx （3） 1) 1(nnnnx （4） 0212nnnxn 解：收斂半徑為解：收斂半徑為

22、) 1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn 故冪級數(shù)故冪級數(shù)0!nnnx的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為),(。 （2） 收收斂斂半半徑徑為為 0011)11 (1lim1)1(lim) 1(limlim11ennnnnnnaaRnnnnnnnnnn 故故冪冪級級數(shù)數(shù)僅僅在在0 x處處收收斂斂。 （3） 收收斂斂半半徑徑為為 11lim11) 1(1) 1(limlim11nnnnaaRnnnnnnn 當當1x時時，代代入入冪冪級級數(shù)數(shù)得得11) 1(nnn，它它是是一一個個收收斂斂的的交交錯錯級級數(shù)數(shù)。 當當1x時時，代代入入冪冪級級數(shù)數(shù)得得11nn，它它是是調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)，

23、是是發(fā)發(fā)散散的的。 故故冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 1 , 1(。 （4） 所給冪級數(shù)缺奇次項，不能用上面的方法求收斂所給冪級數(shù)缺奇次項，不能用上面的方法求收斂 半徑半徑 R。由比值審斂法，得：。由比值審斂法，得： 222)1(2112222lim121) 1(2limlimxxnnxnxnuunnnnnnnnn 根據(jù)比值審斂法，當根據(jù)比值審斂法，當122x，即，即21x時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)收斂； 當當21x時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；當21x時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項 級數(shù)級數(shù)011nn。所以級數(shù)的收斂區(qū)間為。所以級數(shù)的收斂區(qū)間為)21,21(。 三、冪級數(shù)的

24、運算性質三、冪級數(shù)的運算性質性質性質 1： 設冪級設冪級0nnnxa和和0nnnxb的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為1R和和2R， 和函數(shù)分別為和函數(shù)分別為)(1xS和和)(2xS，),min(21RRR ，則冪級數(shù)，則冪級數(shù) 1)(nnnnxba的收斂半徑為的收斂半徑為 R，且，且 )()()(21000 xSxSxbaxbxannnnnnnnnn， RxR 性質性質 2： 若冪級數(shù)若冪級數(shù)1nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為0R，和函數(shù)為，和函數(shù)為)(xS， 則在區(qū)間則在區(qū)間),(RR內(nèi)和函數(shù)可導，且有內(nèi)和函數(shù)可導，且有 0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS 即冪級數(shù)在

25、其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導。即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導。 例例3 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 11nnnx的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù) 12nnn的和。的和。 11limlim1 nnaaRnnnn解：解： 因為因為 把把代入冪級數(shù)后都不收斂，所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為代入冪級數(shù)后都不收斂，所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為) 1 , 1( 。設和函數(shù)為設和函數(shù)為)(xS， 因為因為nxnxdtnt 01， 所以，所以， xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx 1)()(11010110 1x 兩兩邊邊求求導導得得： 2)1 (1)1()(xxxxS ) 1 , 1(

26、x 即即 112)1 (1nnnxx， ) 1 , 1(x 將將21x代代入入得得： 2)211 (121)21(2122111nnnnnn 例例4 對冪級數(shù)對冪級數(shù) nnxxxx) 1(1112 （11 x） 進行逐項求導和逐項積分。進行逐項求導和逐項積分。 2)1 (1)11(xx 解：由于解：由于，對冪級數(shù)逐項求導得：，對冪級數(shù)逐項求導得： nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11 x） 對冪級數(shù)逐項積分得：對冪級數(shù)逐項積分得： xnnxxxxdttdtttdttddtt002000) 1(11 （11 x） 即即 nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432

27、（11 x） 例例5 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1!nnnx的和函數(shù)。的和函數(shù)。 解：例解：例 2 中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為),(， 設和函數(shù)為設和函數(shù)為)(xS， ! 21)(2nxxxxSn即：即： ),( x 逐項求導得：逐項求導得：)(! 21)(2xSnxxxxSn 即即 )()(xSxS 解這個微分方程得：解這個微分方程得：xCexS )( 由于由于1)0( S，所以，所以1 C，于是，于是xexS )( 即即 ! 212nxxxenx 綜合例綜合例 3，例，例 4，例，例 5，有如下幾個等式：，有如下幾個等式： (1) 1321124321)1 (1nnnnxxx

28、xnxx (2) nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11x） (3) nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432（11x） (4) ! 212nxxxenx （x） 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)的展開函數(shù)的冪級數(shù)的展開v重點重點 （1）把函數(shù)展開為冪級數(shù)）把函數(shù)展開為冪級數(shù) （2）求函數(shù)的收斂區(qū)間）求函數(shù)的收斂區(qū)間v難點難點 （1）冪級數(shù)的展開技巧）冪級數(shù)的展開技巧 （2）冪級數(shù)的簡單應用）冪級數(shù)的簡單應用一、函數(shù)的冪級數(shù)展開一、函數(shù)的冪級數(shù)展開 問題：問題：（1） 在（在（1）式中，系數(shù)）式中，系數(shù)0a，1a，2a，na如何確定？如何確定？ （2） )(xf滿足什

29、么條件才能展開為滿足什么條件才能展開為x的冪級數(shù)？的冪級數(shù)？ 我們來解決問題（我們來解決問題（1 ），不妨設展開式（），不妨設展開式（1）成立，那么根據(jù)冪）成立，那么根據(jù)冪 級數(shù)的逐項求導法，對式（級數(shù)的逐項求導法，對式（ 1）依次求出各階導數(shù)：）依次求出各階導數(shù)： )(xf0nnnxa對于一個給定的函數(shù)對于一個給定的函數(shù)，如果能找到一個冪級數(shù)，如果能找到一個冪級數(shù),使使 （RxR） （1） 成立，那么就說函數(shù)成立，那么就說函數(shù))(xf可以展開為可以展開為x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,（1）式稱為）式稱為)(xf 的的x的冪級數(shù)展開式。的冪級數(shù)展開式。 2012( )nnf xaa xa xa x

30、把把0 x代入（代入（1）式及上述各式中得：）式及上述各式中得： 0)0(af ，1)0(af ，2! 2)0(af ，nnanf!)0()( ， 于是于是 )0(0fa ，! 1)0(1fa ，! 2)0(2fa ， ，!)0()(nfann ， 代入到（代入到（ 1）式中得）式中得 nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2（RxR ） （2） 1232132)(nnxnaxaxaaxf 221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn 232) 1(232)(nxnnxaaxf稱式（稱式（2）為）為)(xf的的麥克勞林展開式麥克勞林展開式，（或

31、稱，（或稱)(xf在在0 x 處的處的泰勒展開式泰勒展開式）。式（式（2 ) )右端的級數(shù)稱為右端的級數(shù)稱為)(xf的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) （或稱（或稱)(xf在在0 x處的處的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)）。）。 并且我們可以得到：如果并且我們可以得到：如果)(xf在包含點在包含點0 x在內(nèi)的某一在內(nèi)的某一 區(qū)間區(qū)間),(RR內(nèi)有任意階導數(shù)，且內(nèi)有任意階導數(shù)，且 （x在在 0 和和x之間，之間，RxR） 那么，那么，)(xf在在),(RR區(qū)間內(nèi)就可以展開為麥克勞林級數(shù)。用上述區(qū)間內(nèi)就可以展開為麥克勞林級數(shù)。用上述 方法把已知函數(shù)展開成方法把已知函數(shù)展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù)叫做叫做直接展開法直接展開

32、法。 (1)1( )lim( )lim0(1)!nnnnnfR xxnx例例1 把函數(shù)把函數(shù)xexf)(展開為展開為x的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。 ! 2! 112nxxxn），（.321n解：由于解：由于xnexf)()(，故得，故得1)0()(nf， 由公式（由公式（2）得，）得，xe的麥克勞林級數(shù)為的麥克勞林級數(shù)為 由第四節(jié)的例由第四節(jié)的例 2 知，它的收斂半徑為知，它的收斂半徑為R，下面證明這，下面證明這 個級數(shù)在個級數(shù)在),(內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于xe。 （ x在在 0 和和 x之間）之間） (1)11( )( )(1)!(1)!nnnnfe xR xxnnxx 因為因為xeex，故對任意給定的故

33、對任意給定的x，xe有界，而有界，而 )!1(1nxn 是收斂級數(shù)的一般項，所以根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，對任意是收斂級數(shù)的一般項，所以根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，對任意 的的x ，都有，都有 0)!1(lim1nxnn 從而，從而， 0)(limxRnn， Rx 這樣，我們得到這樣，我們得到xe的麥克勞林級數(shù)為的麥克勞林級數(shù)為 ! 2! 112nxxxenx （x） 例例2 求正弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。求正弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。 解：解： xysin的各階導數(shù)為的各階導數(shù)為 )2sin()()(pnxxfn （ 0,1,2,3n ） )0()(nf（n=0，1，2，3，）依次循環(huán)地?。┮来窝h(huán)地取

34、0，1，0，-1， 于是得于是得xsin的展開式為的展開式為 )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnn （ 0,1,2,3n ） 容易求得此級數(shù)的收斂區(qū)間為容易求得此級數(shù)的收斂區(qū)間為),(。而。而 11)()!1(2) 1(sin)!1()()(nnnnxnnxnfxRpxx （ x在在 0 和和 x之間）之間） 例例3 余弦函數(shù)余弦函數(shù)xxfcos)(的麥克勞林級數(shù)。的麥克勞林級數(shù)。 解：根據(jù)冪級數(shù)的運算性質，對解：根據(jù)冪級數(shù)的運算性質，對xsin的展開式兩邊求導得：的展開式兩邊求導得： !2) 1(! 4! 21cos242nxxxxnn （x） 因為因為 所以由例所以由例 1

35、 的討論可得的討論可得 0)(limxRnn， Rx 于是得：于是得： )!12() 1(! 5! 3sin1253nxxxxxnn （x） 12) 1(sinpxn例例4 求函數(shù)求函數(shù)xxxf11ln)(的麥克勞林級數(shù)。的麥克勞林級數(shù)。 解：解： )1ln()1ln(11ln)(xxxxxf 可先求可先求)1ln(x和和)1ln(x的展開式：的展開式： 1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn （11x） 把上式中的把上式中的x換為換為x，得：，得： 132)1ln(132nxxxxxn （11x） 兩式相減便得：兩式相減便得： )1253(211ln123nxxxxxxn （11x）

36、 例例5 把把x1展開成展開成2 x的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。 解：解： 把把x 11的展開式中的的展開式中的x換為換為22 x得：得： )2)2(2)3(2)2(221 (211443322 xxxxx （1221 x） 整理得：整理得： )2)2() 1(2)3(2)2(22211143322 nnnxxxxx （40 x） )22(1121221121)2(211xxxx二、冪級數(shù)的應用舉例二、冪級數(shù)的應用舉例例例6 求求o15sin的近似值（精確到的近似值（精確到410）。）。 1215po解：解： 因為因為，由，由xsin的展開式得：的展開式得： 12153)12()!12(1) 1()1

37、2(! 51)12(! 311212sinnnnppppp 因為因為3112412p，所以，所以 當取前兩項為其近似值時，其誤差不大于第三項，當取前兩項為其近似值時，其誤差不大于第三項， 所以，所以，2588. 0)12(! 311212sin3ppp 12123)!12(1)12()!12() 1(nnnnnnRp45210! 531R例例7 計算積分計算積分10sindxxx的近似值（精確到的近似值（精確到 410） 解：解： 被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，將被積函數(shù)按冪級數(shù)被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，將被積函數(shù)按冪級數(shù) 展開，有展開，有 )!12() 1(! 5! 31sin242nx

38、xxxxnn （x） 兩邊積分得：兩邊積分得： ) 12()!12(1) 1(5! 513! 311)!12() 1(! 5! 31 sin2421010nndxnxxxdxxxnnn所以所以 若取前若取前 3 項作為其近似值，則誤差不大于第四項，項作為其近似值，則誤差不大于第四項，43107! 71R9461. 05! 513! 311sin10dxxx 例例8 利用冪級數(shù)證明歐拉公式利用冪級數(shù)證明歐拉公式 xixeixsincos （*） 證明：在證明：在xe的展開式中，將的展開式中，將x換為換為ix得：得： !)(! 3)(! 2)(132nixixixixenix 12iii314ii

39、i 5由于由于，所以所以 xixxxxixxxixxixixeixsincos)! 5! 3()! 4! 21 (! 5! 4! 3! 2153425432 證畢。證畢。 同理得：同理得： xixeixsincos （*） 將（將（*）式與（）式與（*）式相加相減得：）式相加相減得： )(21cosixixeex （） )(21sinixixeex （） （*） 、 （） 、 （*） 、 （） 、 （） 、 （） 、 （）四式實質上是一樣的，都稱為）四式實質上是一樣的，都稱為 歐拉公式歐拉公式。它們揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關系，其應。它們揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關系，其應 用很廣泛

40、。用很廣泛。 第六節(jié)第六節(jié) 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)v重點：重點：（1）三角函數(shù)系的正交性）三角函數(shù)系的正交性 （2）把周期為的函數(shù)展開為傅立葉）把周期為的函數(shù)展開為傅立葉 技術，并求出收斂于的范圍技術，并求出收斂于的范圍v難點：難點：（1）收斂定理的理解）收斂定理的理解 （2）傅立葉系數(shù)的計算）傅立葉系數(shù)的計算一、問題的提出一、問題的提出在自然現(xiàn)象和科學技術中，常會遇到各種周期現(xiàn)象，這類周期在自然現(xiàn)象和科學技術中，常會遇到各種周期現(xiàn)象，這類周期 現(xiàn)象中的有關量在經(jīng)過一定的時間現(xiàn)象中的有關量在經(jīng)過一定的時間T以后，又回到原來的初值。這以后，又回到原來的初值。這 樣的周期一般是可由周期為樣的周期一般

41、是可由周期為T的函數(shù)來描述。的函數(shù)來描述。 )()(tfTtf 例如例如：彈簧的振動可用函數(shù)彈簧的振動可用函數(shù))sin(jwtAS來表示；來表示； 正弦交流電的電流強度可用函數(shù)正弦交流電的電流強度可用函數(shù) )sin(0jwtII來表示。來表示。 其中其中A和和0I叫做叫做振幅振幅，w是是角頻率角頻率，j叫做叫做初位相初位相。它們。它們 都是以都是以wp2T為周期的函數(shù)，它們所描述的周期現(xiàn)象稱為為周期的函數(shù)，它們所描述的周期現(xiàn)象稱為簡諧振動簡諧振動。 二、三角函數(shù)系的正交性二、三角函數(shù)系的正交性如果級數(shù)（如果級數(shù)（1）在某種條件下能收斂于）在某種條件下能收斂于 一個函數(shù)一個函數(shù))(xf，（，（D

42、x），），則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf能展開成傅立葉級數(shù)，或者說三角級能展開成傅立葉級數(shù)，或者說三角級 數(shù)（數(shù)（1）在這種）在這種條件下收斂于函數(shù)條件下收斂于函數(shù))(xf，即，即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf， Dx 三角級數(shù)（三角級數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合 稱為稱為三角函數(shù)系三角函數(shù)系 1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxnxnx10)sincos(nnnnxbnxaA由正弦、余弦函數(shù)組成的形如由正弦、余弦函數(shù)組成的形如 的級數(shù)，的級數(shù)，稱為稱為三角級數(shù)三角級數(shù)，又稱，又稱傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)。 其中其中 都是常數(shù)。都是

43、常數(shù)。 0,(1,2,3,)nnA a b n 三三、周周期期為為 p2的的函函數(shù)數(shù)展展開開為為傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù) 設設)(xf以以p2為周期，并且可以展開成傅立葉級數(shù)（為周期，并且可以展開成傅立葉級數(shù)（1），即），即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf （2） 首先就要解決如下的兩個問題：首先就要解決如下的兩個問題： （1） 展開式中的系數(shù)展開式中的系數(shù)0A，na，nb，如何確定？，如何確定？ （2） )(xf滿足什么樣的條件，展開式才收斂于滿足什么樣的條件，展開式才收斂于)(xf呢？呢？ 下面先來解決問題（下面先來解決問題（1）。假定函數(shù)）。假定函數(shù))(xf在在,pp上可積

44、，并且上可積，并且它的展開它的展開 式可以逐項積分，則有式可以逐項積分，則有 10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxfpppppppp 由三角函系的正交性可得：由三角函系的正交性可得： 002)(AdxAdxxfppppp 200aA dxxfa)(10ppp令令，則，則 再用再用kxcos乘以（乘以（2）式右端，并在）式右端，并在,pp上積分，有上積分，有 10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxfpppppppp 由三角函數(shù)的正交性，得：由三角函數(shù)的正交性，得： ，從而求出，從而求出na： （n=1，2，

45、3，） pppnanxdxxfcos)(pppnxdxxfancos)(1 nanb由（由（3）式所確定的系數(shù)）式所確定的系數(shù)，稱為稱為)(xf的的傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)，把它們代入，把它們代入 （2）式即得）式即得)(xf的傅立葉級數(shù)展開式的傅立葉級數(shù)展開式 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf （5） 同理用同理用kxsin乘以（乘以（2）式兩端，并在）式兩端，并在,pp上積分，可得：上積分，可得： （n=1，2，3，） pppnxdxxfbnsin)(1（3） （4） 綜上所述，綜上所述，)(xf的展開式的系數(shù)可以表示如下：的展開式的系數(shù)可以表示如下： （n=1，2，3，）

46、（n=1，2，3，）pppnxdxxfbnsin)(1pppnxdxxfancos)(1狄狄里里克克萊萊定定理理：設設)(xf以以p2為為周周期期，如如果果它它在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)滿滿足足： （1） )(xf連連續(xù)續(xù)或或者者只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點； （2） )(xf至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點（即即)(xf在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)不不能能無無限限次次 的的振振蕩蕩） ，則則)(xf的的傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂，并并且且 （1） 當當x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf； （2） 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時，級級數(shù)

47、數(shù)收收斂斂于于)0()0(21xfxf 收收斂斂定定理理告告訴訴我我們們，只只要要)(xf在在,pp上上至至多多有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點，并并 且且不不作作無無限限次次的的振振蕩蕩，函函數(shù)數(shù)的的傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)點點處處就就收收斂斂于于該該點點的的函函數(shù)數(shù)值值，在在 間間斷斷點點處處收收斂斂于于該該點點左左、右右極極限限的的算算術術平平均均值值。 例例1 設設)(xf以以p2為周期，它在為周期，它在,pp上的表達式為上的表達式為 , 1, 1)(xf ppxx00 將將)(xf展開成傅立葉級數(shù)。展開成傅立葉級數(shù)。 解：解： 計算傅立葉系數(shù)計算傅立葉系數(shù) 0cos1

48、1cos) 1(1cos)(100pppppppnxdxnxdxnxdxxfan , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4) 1(1 2 1coscos1 10cos10cos1sin11sin) 1(1sin)(100nnnnnnnnnxnnxnxdxnxdxnxdxxfbnnpppppppppppppppp（2） 寫出傅立葉級數(shù)寫出傅立葉級數(shù) ) 12sin(1215sin513sin31sin4xnnxxxp ） 0211（1） 討論收斂性：討論收斂性： 由于由于)(xf滿足收斂定理的條件，它在滿足收斂定理的條件，它在pkx （處不連處不連續(xù)，其它地方都連續(xù)，由收斂定理知道

49、，在續(xù)，其它地方都連續(xù)，由收斂定理知道，在pkx 時，時， 級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于， , 2, 1, 0kpkx )(xf在在時，級數(shù)收斂于時，級數(shù)收斂于，即，即 ) 12sin(1215sin513sin31sin4)(xnnxxxxfp （x，pkx ，） 其和函數(shù)的圖形如圖。其和函數(shù)的圖形如圖。 , 2, 1, 0kxy4p3p2ppp2p3p4pO11例例2 設設ppxxxxf0, 00,)(，以，以p2為周期，將為周期，將)(xf展開為展開為 傅立葉級數(shù)。傅立葉級數(shù)。 解：（解：（1） 計算傅立葉系數(shù)計算傅立葉系數(shù) 21)(100ppppppxdxdxxfa 00222111sinco

50、s( ) coscos2,1,3,5,11 cos0,2,4,6,nxnxnxaf xnxdxxnxdxnnnnnnnpppppppppp00212111cossin( ) sinsin1cos( 1)nnxnxnxbf xnxdxxnxdxnnnnnpppppppppp (2) 寫出傅立葉級數(shù)寫出傅立葉級數(shù) )5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxxpppp ）不連續(xù)，）不連續(xù)，(3) 討論斂散性討論斂散性 )(xf滿足收斂定理的條件，在滿足收斂定理的條件，在p) 12(kx （ 因此在這些點級數(shù)收斂于因此在這些點

51、級數(shù)收斂于22)(02)0()0(ppppff在其它點處在其它點處都都 收斂于收斂于)(xf，因此，因此 )3sin312sin21(sin)5cos513cos31(cos24)(22xxxxxxxfpp （x，pkx ，） , 2, 1, 0k, 2, 1, 0k)(xf及及其其展展開開式式的的圖圖形形如如下下 xx3p2ppp2p3p4pOpp例例 3 )(xf以以p2為周期，在為周期，在,pp上的表達式為上的表達式為xxf)(，將，將)(xf 展開為傅立葉級數(shù)。展開為傅立葉級數(shù)。 解：解： （1） 計算傅立葉級數(shù)計算傅立葉級數(shù) ppppppp0001)(1xdxxdxdxxfa , 6

52、 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4 1cos2cossin1cossin1cos1cos1cos)(122020200nnnnnnnxnnxxnnxnnxxxdxxnxdxxnxdxxfanpppppppppppppp0sin1sin)(10pppppnxdxxnxdxxfbnOp2p3p4pp2p3pxy第七節(jié)第七節(jié) 正弦與余弦級數(shù)正弦與余弦級數(shù) 周期延拓周期延拓v重點：重點：（1）奇函數(shù)與偶函數(shù)分別展開為正）奇函數(shù)與偶函數(shù)分別展開為正 弦級數(shù)和余弦級數(shù)弦級數(shù)和余弦級數(shù) （2）把已知函數(shù)進行奇延拓和偶延）把已知函數(shù)進行奇延拓和偶延 拓拓v難點難點：函數(shù)的周期性延拓函數(shù)的周期性延

53、拓一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)1sinnnnxb10cos2nnnxaa這個定理說明，如果這個定理說明，如果)(xf為奇函數(shù)，那么它的傅立葉級數(shù)是為奇函數(shù)，那么它的傅立葉級數(shù)是 只含有正弦項的只含有正弦項的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 如果如果)(xf為偶函數(shù)，那么它的傅立葉級數(shù)是只含有余弦項為偶函數(shù)，那么它的傅立葉級數(shù)是只含有余弦項 的的余弦級數(shù)余弦級數(shù) 例例 1 )(xf是周期為是周期為p2的函數(shù)，它在的函數(shù)，它在,pp上的表達式為上的表達式為xxf)(， 將將)(xf展開為傅立葉級數(shù)。展開為傅立葉級數(shù)。 解：解： 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點所給函數(shù)滿足收斂定理

54、的條件，它在點p) 12(kx處收斂于處收斂于 02)(2)0()0(ppppff 在連續(xù)點處收斂于在連續(xù)點處收斂于)(xf。其次，若不計。其次，若不計p) 12(kx，則，則)(xf是周期為是周期為p2的的 奇函數(shù)。顯然，奇函數(shù)。顯然，)(xf的傅立葉級數(shù)是正弦級數(shù)。的傅立葉級數(shù)是正弦級數(shù)。 ）（,.3 , 2 , 1) 1(2cos2sincos2sin2sin)(210200nnnnnnxnnxxnxdxxnxdxxfbnnppppppp 代入到正弦級數(shù)表達式并由收斂定理中得代入到正弦級數(shù)表達式并由收斂定理中得)(xf的傅立葉展開式的傅立葉展開式 xy3p2ppp2p3p4pOpp例例

55、2 將函數(shù)將函數(shù)xExfsin)(（0E）展開為傅立葉級數(shù)。）展開為傅立葉級數(shù)。 解：解： 因為因為)(xf為偶函數(shù)，所以它的展開式為余弦級數(shù)，為偶函數(shù)，所以它的展開式為余弦級數(shù)，)(xf是在是在 ),(內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且周期是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且周期是p，當然，當然p2也是它的周期。也是它的周期。 為偶數(shù)為奇數(shù)nnEnnxnnxnEdxxnxnEnxdxxEnxdxxfan,) 1(4, 01) 1cos(1) 1cos() 1sin() 1sin(cossin2cos)(220000ppppppppp （1n） 補充補充1a， 02sin2cossin2cos)(202001ppppppxE

56、xdxxExdxxfa Oxyp2pp2pE二、函數(shù)的周期性延拓二、函數(shù)的周期性延拓例例 2 將函數(shù)將函數(shù)1)( xxf （p x0）分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。）分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。 解：先求正弦級數(shù)，為此對函數(shù)解：先求正弦級數(shù)，為此對函數(shù))(xf進行奇延拓，如圖進行奇延拓，如圖 將將nb代入到正弦級數(shù)中并由收斂定理得代入到正弦級數(shù)中并由收斂定理得 4sin43sin322sin2sin)2(21xxxxxppppp （p x0） , 6 , 4 , 2,2, 5 , 3 , 1,22cossincos2sin) 1(2sin)(20200nnnnnxnnxnnxxnxdxxxd

57、xxfbnpppppppppOxypp11Oxypp11Oxypp11再求余弦再求余弦級數(shù)級數(shù)，為此對，為此對)(xf進行偶延拓，如進行偶延拓，如圖圖 sincossin202nnxnnxnnxxpp22cos) 1(cos)(00 xdxxdxnxxfanpppp , 5 , 3 , 1,4, 6 , 4 , 2, 0 1cos222nnnnnppp 222) 1(20200pppppxxdxxa 將將na代入到余弦級數(shù)中并由收斂定理得：代入到余弦級數(shù)中并由收斂定理得： （)5cos513cos31(cos412122xxxxppp x0） 第八節(jié)第八節(jié) 周期為周期為2的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的函數(shù)的傅立葉級數(shù)v重點：把周期為重點：把周期為2的函數(shù)展開為傅立葉級的函數(shù)展開