狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算

1、Ch.3 Ch.3 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析線性系統(tǒng)的時(shí)域分析目錄目錄(1/1)目目 錄錄q 概述概述q 3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解q 3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其計(jì)算 q 3.3 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解q 3.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化q 3.5 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解q 3.6 Matlab問(wèn)題問(wèn)題q 本章小結(jié)本章小結(jié)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算(1/1)3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算計(jì)算 q 在狀態(tài)方程求解中,關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計(jì)

2、算。 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問(wèn)題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算。 上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算方法,下面講述計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他3種常用方法。 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法 化化eAt為為A的有限多項(xiàng)式矩陣函數(shù)法的有限多項(xiàng)式矩陣函數(shù)法重點(diǎn)推薦級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法(1/3)3.2.1 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法 q 由上一節(jié)對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過(guò)程中可知:.!.! 222ktAtAAtIkkAte 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算可由上述定義式直接計(jì)算。 q 由于上述定義式是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù),故在用此方法計(jì)算eAt時(shí)必須考慮級(jí)數(shù)收斂性條件和計(jì)算收斂速度問(wèn)

3、題。 類(lèi)似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)eat, 對(duì)所有有限的常數(shù)矩陣A和有限的時(shí)間t來(lái)說(shuō),矩陣指數(shù)函數(shù)eAt這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)表示收斂。級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法(2/3)q 顯然,用此方法計(jì)算eAt一般不能寫(xiě)成封閉的、簡(jiǎn)潔的解析形式,只能得到數(shù)值計(jì)算的近似計(jì)算結(jié)果。 其計(jì)算精度取決于矩陣級(jí)數(shù)的收斂性與計(jì)算時(shí)所取的項(xiàng)數(shù)的多少。 如果級(jí)數(shù)收斂較慢,則需計(jì)算的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)多,人工計(jì)算是非常麻煩的,一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。 因此,該方法的缺點(diǎn): 計(jì)算量大 精度低 非解析方法,難以得到計(jì)算結(jié)果的簡(jiǎn)潔的解析表達(dá)式 。級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法(3/3)例例3-4q 例例3-4 用直接計(jì)算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):.31.32.23.1.

4、! 2321032101001.!.! 22222222ttttttttktAtAAtIkkAte3210Aq 解 按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式計(jì)算如下:約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法 (1/8)3.2.2 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法 q 上節(jié)給出了對(duì)角線矩陣、塊對(duì)角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)。 由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對(duì)角線矩陣或約旦矩陣,因此 可通過(guò)可通過(guò)線性變換將一般形式的矩陣變換成對(duì)角線矩陣或約旦矩陣, 再利用再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來(lái)快速計(jì)算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)。 下面討論之。約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(2/8)q 下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì): 對(duì)矩陣A,經(jīng)變換

5、矩陣P作線性變換后,有則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系PPPPAttAtAAteeee111AP AP約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(3/8)PPPktAtAAtIPktAPPtAPPAPtPIktAtAtAIAtkkkkkktAee12211221122.!.! 2.!)(.! 2)(.!.! 2q 該結(jié)論可簡(jiǎn)單證明如下:q 根據(jù)上述性質(zhì),對(duì)任何矩陣A, 可先(1)通過(guò)線性變換方法得到對(duì)角線矩陣或約旦矩陣, 然后(2)利用該類(lèi)特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來(lái)求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)。約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(4/8)例例3-5q 例3-5 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)511

6、66116110Aq 解解 :1. 先求先求A的特征值。的特征值。由特征方程可求得特征值為1=-1 2=-2 3=-32. 求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為p1=1 0 1 p2=1 2 4 p3=1 6 9約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法例例3-5q 故將A變換成對(duì)角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P-1為12/ 3134322/ 539416201111PP3. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有ttttAAPPA321e000e000ee3000200012/e27e16-2/5ee9e12-e3e9e8-e6e6-2

7、/e3e4-2/5eee3-e3ee3232323232321tttttttttttttttttAAtPPtttttttt323232e9-e122e-e6-6ee-e3e2-約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(7/8)例例3-6q 解解 1. 先求先求A的特征值。的特征值。由特征方程可求得特征值為1=2 2=3=-12. 由于矩陣A為友矩陣,故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P-1分別為136128121912141120111PPq 例3-6 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)032100010A約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(8/8)-例例3-6tttttttttttttttttttAAttttttt

8、tttPPe )3-5 (4ee )32 - (2ee )3-1 - (ee )38 - (8ee )64 - (4ee )3-5 (4ee )62( -2ee )32 - (2ee )68 (e91ee2222222221tttttAtAPPAe00ee000ee100110002213. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有塞爾維斯特內(nèi)插法塞爾維斯特內(nèi)插法(1/1)3.2.3 塞爾維斯特塞爾維斯特內(nèi)插法內(nèi)插法q 在討論塞爾維斯特(Sylvester)內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt時(shí),需要用到關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理以及最小多項(xiàng)式的概念。 因

9、此,首先給出凱萊-哈密頓定理 及最小多項(xiàng)式的概念, 再討論塞爾維斯特內(nèi)插法。 下面依次介紹: 凱萊凱萊-哈密頓定理哈密頓定理 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 塞爾維斯特內(nèi)插法塞爾維斯特內(nèi)插法 計(jì)算計(jì)算 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)凱萊-哈密頓定理(1/4)1. 凱萊-哈密頓定理q 凱萊-哈密頓定理是矩陣方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和證明如下。q 定理3-1(凱萊-哈密頓定理) 設(shè)nn矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an則矩陣A必使由上述特征多項(xiàng)式?jīng)Q定的矩陣多項(xiàng)式函數(shù)f(A)=An+a1An-1+an-1A+anI = 0上述特征多項(xiàng)式亦稱(chēng)為矩陣A的零化特征多項(xiàng)式。

10、 凱萊-哈密頓定理(2/4)q 證明 因?yàn)镮=(I-A)-1(I-A)=adj(I-A)/|I-A|(I-A)故|I-A|I=adj(I-A)(I-A) 由伴隨矩陣的定義可知,伴隨矩陣adj(I-A)可表示為如下多項(xiàng)式矩陣函數(shù):adj(I-A)=n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn其中矩陣B2,B3,Bn為nn維的常數(shù)矩陣。 因此由前面兩式,有(n+a1n-1+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn)(I-A) 整理得 (n+a1n-1+an-1+an)I =nI+(B2-A)n-1+(Bn-Bn-1A)-BnA凱萊-哈密頓定理(4/4) 上式中,令等號(hào)兩邊的同冪次項(xiàng)的系數(shù)

11、相等,則有a1I-B2+A=0a2I-B3+AB2=0 an-1I-Bn+ABn-1=0anI+ABn=0 因此,將上述各等式從上至下依次右乘以An-1,A,I,然后將各等式相加,即得An+a1An-1+an-1A+anI=0 故矩陣A滿足其本身的零化特征多項(xiàng)式。 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 (1/3)2. 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 q 根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理,任一任一nn維矩陣維矩陣A滿足其自身的特滿足其自身的特征方程征方程,即特征多項(xiàng)式為A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。f(A)=An+a1An-1+an-1A+anI = 0 n階 矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an 然而特征

12、多項(xiàng)式不一定是A的最小階次的零化多項(xiàng)式。 將矩陣A滿足的最小階次的首一零化多項(xiàng)式稱(chēng)為最小多最小多項(xiàng)式項(xiàng)式,也就是說(shuō),定義nn維矩陣A的最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式為滿足(A)=Am+1Am-1+m-1A+mI=0, m階 mn的階次最低的首一多項(xiàng)式()=m+1m-1+m-1+m最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(2/3)q 最小多項(xiàng)式在矩陣多項(xiàng)式的分析與計(jì)算中起著重要作用。 定理3-2給出了特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的關(guān)系。q 定理定理3-2 設(shè)首一多項(xiàng)式d()是I-A的伴隨矩陣adj(I-A)的所有元素的最高公約式,則最小多項(xiàng)式為)()(dAI ()=m+1m-1+m-1+m最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(3/3)q 證明證明

13、 由假設(shè)知,矩陣adj(I-A)的最高公約式為d(),故adj(I-A)=d()B(),式中,B()的n2個(gè)元素(為的函數(shù))的最高公約式為1。 由于(I-A)adj(I-A)=|I-A|I可得d()(I-A)B()=|I-A|I 由上式可知,特征多項(xiàng)式|I-A|可被整除d()。 因此設(shè)d()整除|I-A|得到的因式記為(),故有|I-A|=d()(),最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(4/3)q 由于首一多項(xiàng)式d()的最高階次的系數(shù)為1,所以()的最高階次的系數(shù)也應(yīng)為1。 因此,綜合上兩式,可得(I-A)B()=()I因而(A)=0即()亦為A的零化多項(xiàng)式。 設(shè)()為A的最小多項(xiàng)式,因此零化多項(xiàng)式()可寫(xiě)

14、為()=g()()+e()其中g(shù)()和e()分別是多項(xiàng)式()除以()的商和余項(xiàng),且e()的階次低于()。最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(5/3) 由于(A)=0和(A)=0,所以必然有e(A)=0。 考慮到()為矩陣A的最小多項(xiàng)式,所以不存在比()階次還低的A的零化多項(xiàng)式,故e()必為零,即有()=g()()q 又因?yàn)?A)=0,所以()可寫(xiě)為()I=(I-A)H()式中,H()為()的一個(gè)因子矩陣,故()I=g()()I=g()(I-A)H() 將上式與(I-A)B()=()I比較,有B()=g()H()最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(6/3)q 又因?yàn)锽()的n2個(gè)元素的最高公約式為1,因此g()=1于是()

15、=()因此,由前面證明的|I-A|=d()()而證明了最小多項(xiàng)式()為)()(dAI 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(7/3)q 根據(jù)上述定理3-2,nn維矩陣A的最小多項(xiàng)式可按以下步驟求出。1) 根據(jù)伴隨矩陣adj(I-A),寫(xiě)出作為的因式分解多項(xiàng)式的adj(I-A)的各元素;2) 確定作為伴隨矩陣adj(I-A)各元素的最高公約式d()。 選取d()的最高階次系數(shù)為1。 如果不存在公約式,則d()=1;3) 最小多項(xiàng)式()可由|I-A|除以d()得到。)()(dAI 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(1/4)3. 塞爾維斯特內(nèi)插法塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)矩

16、陣指數(shù)函數(shù)q基于最小多項(xiàng)式(或特征多項(xiàng)式),塞爾維斯特內(nèi)插法可以非常簡(jiǎn)潔、快速地計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù),其計(jì)算思想與過(guò)程可描述如下。q若()=m+1m-1+m-1+m為矩陣A的最小多項(xiàng)式,則由(A)=0有 Am=-1Am-1-m-1A-mI即Am可用有限項(xiàng)Am-1,A,I的線性組合來(lái)表示。)()(dAI 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(2/4)q 將上式兩邊乘以矩陣A,則有即Am+1可用有限項(xiàng)Am-1,A,I的線性組合來(lái)表示。Understand?12111211112112111.().()mmmmmmmmmmmmmAAAAAAIAAAAI 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算

17、矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(3/4)其中i(t)(i=0,1,m-1)為待定的關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。 即,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt亦可以用有限項(xiàng)Am-1,A,I的線性函數(shù)組合表示。q 依次類(lèi)推,則可知,Ai(im)可用有限項(xiàng)Am-1,A,I的線性組合來(lái)表示。 因此,我們有111022)(.)()(.!.! 2emAtAtItktAtAAtInkkAt關(guān)鍵喔塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(4/4)q 利用上式去計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的關(guān)鍵是如何計(jì)算待定函數(shù)i(t)。 下面分 A的特征值互異的特征值互異 A有重特征值有重特征值兩種情況來(lái)討論如何計(jì)算i(t)

18、以及eAt。(1) A的的特征值特征值互異互異q 設(shè)矩陣A的n個(gè)互異特征值為1,2,n,則矩陣A的最小多項(xiàng)式()等于特征多項(xiàng)式f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an。 因系統(tǒng)的所有特征值i使特征多項(xiàng)式f(i)=0,故與前面證明過(guò)程類(lèi)似,我們亦有A的特征值互異的特征值互異(1/4)nitttniaaaninitninnini, 1)(.)()(e, 1.1110111i其中待定函數(shù)i(t)(i=0,1,n-1)與矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式中的i(t)一致。A的特征值互異的特征值互異(2/4) 因此,可得如下待定函數(shù)i(t)(i=0,1,n-1)的線性方程組:tttnnnnnnnttt

19、e.ee)(.)()(.1.1.1211101122111 求解上述方程得函數(shù)i(t)后,由式(3-49)可計(jì)算得矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。111022)(.)()(.!.! 2nnkkAtAtAtItktAtAAtIeA的特征值互異的特征值互異(3/4)-例3-7 q 例3-7 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)6116100010Attttttttttttttt323232321210ee2ee3e8e5e2e6e621eee931421111)()()(q 解 由于矩陣A的3個(gè)特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方程組(3-52)可得tttnnnnnnnttte.ee)(.)()(.1.1

20、.1211101122111A的特征值互異的特征值互異(4/4)則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為tttttttttttttttttttttttttttAtAtAtIt3232323232323232322210e9e8-ee3-e4e-ee2-ee27e32-e5e9e12-e6e9-e16e5-e6-e12e6-e3e8-e5e2e6-e621)()()(eA有重特征值有重特征值(1/4)(2) A有有重重特征值特征值q 由于矩陣A與它的約旦矩陣 具有相同的最小多項(xiàng)式(),因此由前面的推導(dǎo)過(guò)程可知,約旦矩陣 也滿足A設(shè)A與 的特征值i的代數(shù)重?cái)?shù)為mi,則由上式很容易證明i(t)滿足1011( )( )

21、.( )Atmmt It At Aeiii10112121111e( )( ).( )e( )2( ).(1)( ).(1)!e(1)!( ).( )()iiitmimitmimimm mtimmiittttttmtmtmttmmAA 求解上述方程,則可求得待定函數(shù)i(t)。A有重特征值有重特征值(2/4)q 為清楚說(shuō)明問(wèn)題,設(shè)A和 有如下6個(gè)特征值:1,1,1,2,2,3。 則相應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算式(3-49)中的待定函數(shù)i(t)(i=0, 1,5)的計(jì)算式為ttttttttttttttt322111eee! 11ee! 11e! 2111! 4! 5432101! 4! 543210! 2 ! 3! 5! 2 ! 2! 43100)()()()()()(215343332335242322224232222514131211413121131211543210AA有重特征值有重特征值(3/4)例例3-8q 值得指出的是,上述塞爾維斯特內(nèi)插法不僅對(duì)矩陣A的最小多項(xiàng)式成立,而且對(duì)所有矩陣A的零化多項(xiàng)式也成立。 因此,在難以求解最小多項(xiàng)式時(shí),上述方法中的最小多項(xiàng)式可用矩陣A的特征多項(xiàng)式代替,所得結(jié)果一致,僅計(jì)算量稍大。q 例3-8 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)010230002A A有重特征值有重特征值(4/4)例例3-8q 解 解矩陣A的特征方程,得特征值為1,1和2。 由