二次函數與實際問題

1、二次函數的實際問題與應用二次函數在實際中的應用十分廣泛，在應用二次函數解決實際問題時我們應注意：一、讀懂題意：面對由實際問題所呈現的材料，要讀懂其中所敘述的實際問題的意義，判斷該實際問題，要解決什么問題，涉及哪些知識的相關領域。二、理解轉換：理解各種量之間的數量關系或位置關系，抓住關鍵，舍去非本質因素。挖掘隱含條件，將實際問題轉換成相應的數學問題。三、函數建模：確定建立函數模型的類型，通過數學符號化，即用已知量的代入，未知量的設定，建立與實際問題相應的函數模型。四、實施解模：用已有的數學知識和解題經驗對所建立的函數模型求解根據實際問題的約束條件尋求解題思路，設計合理的運算途徑，或輔以圖形分析得

2、出相應的數學結果。五、數學結果：對所求出的數學結果進行解釋與檢驗，或取之或修定或舍去，使其符合實際問題的要求，加深對實際問題的理解。總之，數學建模思想無論是在實際問題還是理論問題上都具有重要的意義和作用。理解實際問題中的問題背景，弄清問題中相關量的關系，建立適當的數學模型，并把實際問題轉化為數學問題。一、 應用二次函數解決實際問題中銷售利潤問題利潤問題在我們的生活中又無處不在，它們都與二次函數密不可分，今天就讓我們一起來探索與二次函數有關的實際應用問題。例1：某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元

3、，市場調查發(fā)現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費用500元（天數不足一天時，按整天計算），設銷售單價為x元，日均獲利為y元。（1）求y關于x的二次函數關系式，并注明x的取值范圍；（2）將（1）中所求出的二次函數配方成的形式，寫出頂點坐標；在坐標系中畫出草圖；觀察圖像，指出單價定為多少時日均獲利最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多，多多少？解：（1）若銷售單價為x元，則每千克降低元，日均多售出千克，日均銷售量為千克，每千克獲利為元。依題意，得（2），頂點坐

4、標為（65，1950）。二次函數的草圖見圖所示經觀察可知，當單價定為65元時，日均獲利最多，是1950元。（3）當日均獲利最多時，單價為65元，日均銷售千克，那么獲總利為（元）當銷售單價最高時，單價為70元，日均銷售60千克，將這種化工原料全部售完需（天），那么獲總利為（元）因為，且（元）所以，銷售單價最高時獲總利較多，且多獲利26500元例2：為配合科技下鄉(xiāng)工作全面開展，市場調研部對“大棚西瓜”去年的市場行情和生產情況進行了調查，提供了如下兩個信息圖，如甲、乙兩圖。圖見課件注甲乙兩圖中的每個黑心點所對應的縱坐標分別指相應月份的售價和成本，生產成本6月份最低，甲圖的圖像是線段，乙圖的圖像是拋物

5、線段。請你根據圖像提供的信息說明。（1）在6月份出售這種西瓜，每千克的收益是多少元？（2）如果你是調研員，為了每千克有最大收益，你會指導瓜農最好在哪個月出售這種西瓜？說明理由。  例3某市輕工業(yè)局連續(xù)6年對該市自行車的規(guī)模（產量）進行調查，提供了兩個方面的信息，如甲、乙兩圖. 注甲乙兩圖中的每個黑心點所對應的縱坐標分別指相應年份的每個廠家的平均生產量和自行車廠家個數。請你根據提供的信息說明：（1）第3年該市自行車的生產總量；（2） 經調查，生產規(guī)模最大的年份，每輛自行車可獲得利潤50元。請你求出該年的總利潤（其它支出不計）。例4：某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共700

6、0千克，購進價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場調查發(fā)現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費用500元（天數不足一天時，按整天計算）。設銷售單價為x元，日均獲利為y元。（1）求y關于x的二次函數關系式，并注明x的取值范圍；（2）將（1）中所求出的二次函數配方成 的形式，寫出頂點坐標；在圖2所示的坐標系中畫出草圖；觀察圖象，指出單價定為多少元時日均獲得最多，是多少？例5某體育用品商場為推銷某一品牌運動服，現做了市場調查，得到數據如下表：賣出價格x（元/件）50515253銷售量p

7、（件）500490480470（1）以x作為點的橫坐標，p作為縱坐標，把上表中的數據，在平面直角坐標系中描出相應的點，觀察連接各點所得的圖形，判斷p與x的函數關系，并求出p與x的函數關系式；（2）如果這種運動服的買入價為每件40元，試求銷售利潤y（元）與賣出價格x（元/件）的函數關系式；（3）在（2）的條件下，當賣出價格是多少元時，能獲得最大利潤？例6某旅行社為支持社會福利事業(yè)，決定將4月份定為“愛心奉獻月”，決定采取降低收費標準，多出租客房，并把當月多租出客房的營業(yè)額作為捐助款捐給老年福利院。據調查：4月份（按30天計算）的現正常收費標準是每床每晚收費40元，平均每晚可租出60個床位；每床每

8、晚最低收費25元才不至于虧損；若收費標準每降低4元，每晚就可多租出2張床位（其它因素不計）。若設每床每晚收費為x（元），一個晚上多租出客房的營業(yè)額為y（元）。（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）一個晚上多租出客房的營業(yè)額能達到200元嗎？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由。（3）根據（1）中求得的函數關系式，及其圖像的變化趨勢，并結合題意判斷當x取何值時，捐給老年福利院的捐助款最多？捐助款最多是多少？例7：某公司試銷一種成本為30元/件的新產品，按規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于80元/件，試銷中每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足下表中的

9、一次函數關系。x（元/件）3540455055y（件）550500450400350（1）試求y與x之間的函數表達式；（2）設公司試銷該產品每天獲得的毛利潤為s（元），試求s與x之間的函數表達式；（3）當銷售單價定為多少時，該公司試銷這種產品每天獲得的毛利潤最大？最大利潤是多少？此時每天的銷售量是多少？二、應用二次函數解決實際問題中圖形及建筑問題例8：有一條長為7.2米的木料，做成如圖所示的窗框，問窗框的高和寬各取多少米時這個窗的面積最大（不考慮木料加工時的損耗和中間木框所占的面積）解：設窗框的寬是x米，則窗框的高是米，則窗的面積當時，S有最大值。 當窗口寬是1.2米，高是1.8米時，窗的面積

10、最大。例9：有一座拋物線形拱橋，正常水位橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米。（1）求出如圖所示的直角坐標系中的拋物線解析式；（2）設正常水位時橋下的水深為2米，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米，求水深超過多少米時，就會影響過往船只在橋下順利航行。解：（1） 拋物線的頂點為O（0，0） 可設拋物線的解析式為 點在拋物上   ，解得因此，所求的拋物線解析式是（2）設水深為h米時，橋下水面寬度為18米，則點在拋物線上 ，解得因此，水深超過米時，就會影響過往船只在橋下順利航行。例10：有一拋物線形的立交拱橋，這個拱橋的最大高度為16m，跨度為40m，現把它的

11、圖形放在坐標系中（如圖所示）。若在離跨度中心M點5m處垂直豎立一鐵柱支撐拱頂，這鐵柱應取多長？分析：首先須確定二次函數解析式，根據條件容易得知：頂點坐標為（20，16），過O（0，0），和B（40，0）兩點，求鐵柱的長，實質上是求當x=15或x=25時函數的值。解：根據題意，設拋物線為因為（0，0）在拋物線上，所以因此拋物線方程為在距離M點5m處有兩點，它們的橫坐標是或則有，所以鐵柱的長為15m例11： 如圖（a）所示，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN=4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米。要在鐵皮下截下一矩形ABCD，使矩形頂點B，C落在邊MN上，A，D落在拋物線上，問這樣截下的矩

12、形鐵皮的周長能否等于8分米？（提示：以MN所在的直線為x軸建立適當的直角坐標系）解法1：如圖（b）所示，以邊MN所在直線為x軸，點M為原點建立直角坐標系設拋物線頂點為P，則點M，N，P的坐標依次為M（0，0），N（4，0），P（2，4）由M，N，P三點坐標可得拋物線的解析式為設A點坐標為，則， 函數的自變量的取值范圍是，且若，即，則 或 且    的值不可能取8故截下的矩形周長不可能等于8分米解法2：如圖（c），以邊MN所在的直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標系。設拋物線的頂點為P，則點M，N，P的坐標依次為由M，N，P三點坐標可得拋物線的解析式為設A點坐

13、標為則， 函數的自變量的取值范圍是，且若，即    當時，則或當時，則或 ，且    的值不可能取8故截下的矩形周長不可能等于8分米例12：在青島市開展的創(chuàng)城活動中，某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園 abcd，花園的一邊靠墻，中間用柵欄隔開分別種兩種不同的花卉，柵欄總長為60m（如圖所示）。若設花園的 bc 邊長為 x (m)，花園的面積為  y (m  )。（1）求y 與 x之間的函數關系式，并寫出自變量 x 的取值范圍；（2）滿足條件的花園面積能達到300m 嗎？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由；（3）根據（1）中求得的函數關系式，描述其圖象的變化趨勢；并結合題意判斷當 x 取何值時，花園的面積最大？最大面積為多少？在教師的引導下，學生自主研究、解答題目