簡單迭代法-文檔資料

1、15.1.2 簡單迭代法 已知根 的存在區(qū)間a,b,自然可取中點c作為根 的精略近似值x0。為求逐次逼近 的近似值x1,x2, ,自然希望使用相同公式xk+1= (xk),k=0,1,2, (5-3)利用此式求根近似值的方法稱為簡單迭代法。 Xk 稱為迭代序列， (x)稱為迭代函數(shù)，上式稱為迭代格式。顯然，如果迭代序列收斂于 ,且 (x)連續(xù)，則2 = = = （ ）=1limkkx即根 滿足方程 x= (x) (5-4)因此，為保證迭代序列逐次逼近方程f(x)=0的根，應當選取迭代函數(shù) (x),使方程(5-4)與(5-1)同解。例5-1 用簡單迭代法求區(qū)間(2,3)內方程x3-2x-5=0的

2、根解一 將方程兩邊同加2x+5,再開三次方，得式(5-4)型同解方程 x=作迭代格式 xk+1= ,k=0,1,取x0=2.5,迭代得 x1=2.154434690,x2=2.103612029,x3=2.095927410 1limkkx)(limkkxkkxlim 352 x352kx3X4=2.094760545,x5=2.094583250,x6=2.094556309X7=2.094552215,x8=2.094551593,x9=2.094551498X10=2.094551484,x11=2.094551482=x12由于x12=x11,再迭代已無變化，可見 x11解二 將方程x

3、3-2x-5=0兩邊同加2x3+5,再同除3x2-2,得同解方程 x=(2x3+5)/(3x2-2)作迭代格式 xk+1=(2xk3+5)/(3xk2-2)取x0=2.5,得迭代序列:x1=2.164179104,x2=2.097135356,x3=2.094555232,X4=2.094551482=x5,故 x44 作迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2令x0=2.5,得迭代序列:x1=5.3125,x2=72.46643066,X3=190272.0118,x4=3.444250536 1016,x5=2.042933398 1046,計算x6時溢出簡單迭代收斂定理簡單迭代收斂定理 設

4、迭代函數(shù) (x)滿足條件： 1 當x a,b時 (x) a,b 2 存在正數(shù)L1,使對任意x a,b有 L1則對任意初值x0 a,b,迭代序列(5-3)收斂于方程x= (x)在a,b上的唯一根)(x5證: 先證x= (x)在a,b上有唯一根。因 存在,故 (x)連續(xù)。令g(x)=x- (x),則g(x)連續(xù)。由條件1知g(a)=a- (a) 0,g(b)=b- (b) 0,故存在 a,b,使g( )=0,即 = ( ),證明了方程x= (x)有根。假定還有根 ,則由拉格朗日中值定理及條件2得 0 = =即正數(shù) 小于其自身。這是不可能的。這說明方程(5-4)只有一根。最后證明xk收斂于 。由條件

5、2知)(x*)(*)()(* L *6 = = L L2因為0 L1, 可見k 時， 。證畢。定理中條件2最重要。實際上，假定在根 的某鄰域 上 ，則對此鄰域上任意x說明 (x)也在此鄰域，條件1自然成立。實際問題中滿足條件2的區(qū)間a,b難以求得。但若 連續(xù)，則在根 鄰域 。因此， 1時稱稱超線性收斂；p=2時稱平方收斂。在迭代函數(shù) 充分可導時，由泰勒公式知)(x)()()(1kkkxxx1)1(2)()!1()()(! 21 pkpkxpx11之間與在kpkpxxp,)(!1)(可見 時線性收斂，0)()()()()1( p0 但 時p階收斂。對例5-1前兩種解法， 0)()(p, 0)(, 0)(21 故解法一迭代序列線性收斂，解法二迭代序列超線性收斂。進一步可證0366771471. 1