二重積分積分區(qū)域的對(duì)稱性

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上情形一：積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱定理4 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸對(duì)稱，則1)當(dāng)（即是關(guān)于的奇函數(shù)）時(shí)，有 .2)當(dāng)（即是關(guān)于的偶函數(shù)）時(shí)，有 . 其中是由軸分割所得到的一半?yún)^(qū)域。例5 計(jì)算，其中為由與圍成的區(qū)域。解：如圖所示，積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，且即是關(guān)于的奇函數(shù)，由定理1有.類似地，有：定理5 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸對(duì)稱，則其中是由軸分割所得到的一半?yún)^(qū)域。例6 計(jì)算其中為由所圍。解：如圖所示，關(guān)于軸對(duì)稱，并且，即被積分函數(shù)是關(guān)于軸的偶函數(shù)，由對(duì)稱性定理結(jié)論有：.定理6 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸和軸都對(duì)稱，則（1）當(dāng)或時(shí)，有 .（2）當(dāng)時(shí)

2、,有其中為由軸和軸分割所的到的1/4區(qū)域。9例7 計(jì)算二重積分，其中： .解：如圖所示，關(guān)于軸和軸均對(duì)稱，且被積分函數(shù)關(guān)于和是偶函數(shù)，即有，由定理2，得其中是的第一象限部分，由對(duì)稱性知,，故.情形二、積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定理7 設(shè)平面區(qū)域,且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則當(dāng)上連續(xù)函數(shù)滿足1)時(shí),有2)時(shí),有. 例8 計(jì)算二重積分,為與所圍區(qū)域.解:如圖所示,區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于被積函數(shù),有,有定理7,得.情形三、積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱定理8 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù),且,關(guān)于直線對(duì)稱,則1); .2)當(dāng)時(shí),有.3)當(dāng)時(shí),有.例9 求,為所圍.解:積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱,由定理8,得,故 .類似地，可得：定理9 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù),且,關(guān)于直線對(duì)稱,則 （1）當(dāng),則有；(2)當(dāng),則有.例10 計(jì)算,其中為區(qū)域:, .解:如圖所示,積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱,且滿足,由以上性質(zhì),得:.注：在進(jìn)行二重積分計(jì)算時(shí),善于觀察被積函數(shù)的積分區(qū)域的特點(diǎn),注意兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性,恰當(dāng)?shù)?/p>