綜合法證明不等式

1、不等式的證明教案教學(xué)目標(一)教學(xué)知識點綜合法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標掌握綜合法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴謹周密的邏輯思維習(xí)慣,加強學(xué)生實踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實提高學(xué)生的思想道德品質(zhì).教學(xué)重點1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)B1B2BnB(結(jié)論).運用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等

2、式時,要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有:(1)a20或(a±b)20.(2)a2+b22ab,a2+b2-2ab即a2+b22|ab|.(3),對a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.(4)當(dāng)a,b同號時有2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.(5) (a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.(6)a3+b3+c33abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.教學(xué)難點“由因?qū)Ч睍r,從哪個不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點.教學(xué)

3、方法引導(dǎo)、探索、綜合、歸納四步教學(xué)法.教具準備投影片三張第一張：記作§6.3.3 A綜合法證明不等式的常用關(guān)系1.a20或(a±b)20;2.a2+b22ab,a2+b2-2ab,即a2+b22|ab|;3. ,(a,bR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;4.ab,(a,bR);ab()2,(a,bR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;5.2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;6. ,(a,b,cR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號;7.a3+b3+c33abc,(a,b,cR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.第二張：記作§6.3.3 B例2(1

4、)設(shè)a,b,cR+,且a+b+c=1,求證:8abc(1-a)(1-b)(1-c).(2)設(shè)a,b,c為一個不等邊三角形的三邊,求證:abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)(3)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1+)(1+)25.(4)設(shè)x>0,y>0,求證:(x2+y2)>(x3+y3).第三張：記作§6.3.3 C課后練習(xí)：1.證明下列不等式:(1)a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2(2)(a+b)(b+c)(c+a)8abc(a,b,cR+)(3)(a+b+c)()9(a,b,cR+)2.制造一個容積為V(定值)

5、的圓柱形容器,試分別就容器有蓋及無蓋兩種情形,求:怎樣選取底半徑與高的比,使用料最省?教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a20,或(a±b)20;(2)a2+b22ab,a2+b2-2ab,即a2+b22|ab|;(3),(a,bR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;(4)ab,(a,bR);ab()2,(a,bR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;(5)

6、2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號；（6）,(a,b,cR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號；（7)a3+b3+c33abc,(a,b,cR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.今天，我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“公式法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法綜合法.講授新課（簡述“綜合法”證明不等式的基本思想）師有時我們可以利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立.這種證明不等式的方法，我們通常叫做綜合法.（關(guān)于“綜合法”證明不等式，在后面“備課資料”中有較詳細的說明）下面，我們探索研究用“綜合法”證明

7、不等式.例1已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.師觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運用基本不等式：a2+b22ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運用重要不等式：a3+b3+c33abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）生甲（證法一）a>0,b2+c22bc由不等式的性質(zhì)定理4，得a(b2+c2)2abc. 同理b(c2+a2)2abc, c(a2+b2)2abc. 因為a,b,c為不全

8、相等的正數(shù)，所以b2+c22bc,c2+a22ca,a2+b22ab三式不能全取“=”號，從而,三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論，,三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.生乙（證法二）a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)a,b,c為不全相等的正數(shù).a2b+b2c+c2a>3=3abcab2+bc2+ca2>3=3abc由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)&g

9、t;6abc.師生共析1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進行不等式證明時，要善于直接運用或創(chuàng)設(shè)條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.（打出投影片§6.3.3 B，教師把握好課堂教學(xué)時間，合理安排，選講例2中的部分題目，其余留給學(xué)生完成）.例2（1）設(shè)a,b,cR+且a+b+c=1,求證：8abc(1-a)(1-b)(1-c).(2)設(shè)a,b,c為一個不等邊三角形的三邊，求證：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).(3)已知a>0,

10、b>0,a+b=1,求證：（1+）(1+)25(4)設(shè)x>0,y>0,求證：（x2+y2）>(x3+y3)師仿照例1，我們用綜合法證明不等式.生（1）a,b,cR+且a+b+c=1 1-a=b+c>0同理，1-b=a+c>0,1-c=a+b>0(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c)a+b2>0,b+c2>0,a+c2>0由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得(a+b)(b+c)(a+c)2·2·2=8abc又(1-a)(1-b)(1-c)3=()3=故8abc(1-a)(1-b)(1-c).(2)

11、a,b,c為一個不等邊三角形的三邊a>0,b>0,c>0且a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0.由于三角形是不等邊三角形，上述三式不能同時取“=”號由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(3)設(shè)y=(1+)(1+)a>0,b>0,a+b=1a2+2ab+b2=1a2+b2=1-2aby=1+令t=, 則y=2t2-2t+1.即0<ab4,即t4,+)由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：（對稱軸t=)y=2t2-2t+1,在t4,+)上是增函數(shù).當(dāng)t=4時，y取最小值25.故（1+)(1+)25.

12、(4)x>0,y>0(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)x6+y6+6x3y3>x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2由不等式的性質(zhì)，兩邊同時開6次方，得（x2+y2)>(x3+y3).師生共析1.具有對稱輪換性質(zhì)的不等式證明，可就其一項或一個因式先處理，其他可同理得到，如（1）、（2）.2.若給出形如a>0,b>0且a+b=1類型的題目，一般都經(jīng)過恒等變形，把其他式子都化歸成與ab有關(guān)系的式子，然后根據(jù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去證明或探究，這種方法特別在這種條件下的最值很有效.3.用“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理（稱均值不等式）”證明題時，要注意為

13、達目標可先宏觀，而后微觀.4.均值不等式在運用時，常需先湊形后運用，變形后的不等式：ab()2,(a,bR+）經(jīng)常用到.課堂練習(xí)1.已知xy>0,求證xy+4.分析：根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，我們可直接運用重要不等式：2,(a,b同號，即ab>0).證明：xy>0,都大于零xy+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)xy=1時取“=”號.2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=1時取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理的推論，得xy+4注意：利用ab,cd推出a+cb+d時，必須強調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d時取“=”號.如果找不到a=b與c=d同時成立的條件，說明a+c=b+d的條件不具備，即得a+c>b+d.例如：由x>

14、;0時，得x+2,此時，x+0.5>0, >0,可得x+0.5+2,但x+ +(x+0.5)+ 2+2,其中“=”號不成立，即x+ +(x+0.5)+ >4.同樣，由ab>0,cd>0acbd時，也要注意當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d時取“=”號，無此條件，只能得ac>bd.2.已知a>b>0,0<c<d,求證.分析：本題根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，可創(chuàng)設(shè)運用不等式的基本性質(zhì)，最后得證.證法一：a>b>0,c>0 又0<c<d,b>0,<,且>0, 由和可知：.證法二：a>b>0,d>c&

15、gt;0ad>bc又cd>0 .注意：本題的結(jié)論可作為不等式的性質(zhì)直接應(yīng)用.即不等式各字母均為正數(shù)，異向不等式相除，得與被除式同向的不等式.3.已知a,b是不相等的兩個正數(shù)，求證(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.分析：不等式左端（a+b)(a3+b3)=a4+b4+ab3+a3b,右端=a4+b4+2a2b2,從而所證不等式即ab3+a3b>2a2b2,又a>0,b>0且ab,也就是證a2+b2>2ab.這顯然是成立的，證法可任選比較、綜合、分析（后面即將要學(xué)）之一.證明：（用綜合法證明）a>0,b>0且aba2+b2>2a

16、b,ab(a2+b2)>2a2b2a4+ab(a2+b2)+b4>a4+b4+2a2b2即(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.課時小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了“綜合法”證明不等式，其核心是引導(dǎo)我們運用已有知識（已知或已知成立的不等式或定理），進行符合邏輯的思考和推理，啟發(fā)大家從不同角度去思考問題，去主動獲取新的知識，鼓勵我們敢于創(chuàng)造獨特、新穎的思想方法和見解.同時也注意培養(yǎng)了我們堅持實事求是的良好思維品質(zhì).課后作業(yè)（一）（打出投影片§6.3.3 C，讓學(xué)生記錄下題目，做為課后練習(xí)，完成證明或解答）1.證明下列不等式：（1）a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a

17、2.(2)(a+b)(b+c)(c+a)8abc(a,b,cR+)(3)(a+b+c)()9(a,b,cR+)證明：（1）a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2將上面三個不等式相加，得2（a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2)故a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.(2)a,b,cR+a+b2>0,b+c=2>0,c+a2>0將上面三個同向不等式相乘，得(a+b)(b+c)(c+a)8···=8abc故（a+b)(b+c)(c+a)8abc.(3)a,b,cR+a+b+c3>0>0將上面兩個不等式相乘，得（a+b+c）=9故(a+b+c)( )9.2.制造一個容積為V（定值）的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無蓋兩種情況，求：怎樣選取底半徑與高的比，使用料最省？分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征，考慮運用“基本不等式”來證明.對于2題，抓住容積為定值，建立面積目標函數(shù)，求解最值，是本題的思路.解：設(shè)容器