運(yùn)動(dòng)變化中的折疊問(wèn)題

1、運(yùn)動(dòng)變化中的折疊問(wèn)題由于動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致動(dòng)直線的位移，使圖形在折疊中的重疊部分的面積也發(fā)生變化，在這一變化過(guò)程中需要對(duì)不同情況加以分類討論。解決這類折疊中的重疊部分面積問(wèn)題的試題，關(guān)鍵是找出折痕及全等圖形，抓住運(yùn)動(dòng)中的不變量，然后利用全等圖形和相似圖形的性質(zhì)及相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行分類求解，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。下面舉例說(shuō)明如下：例1、(2007年廣西南寧市中考題)如圖，在銳角中，于點(diǎn)，且，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)設(shè)的高為，以為折線將翻折，所得的與梯形重疊部分的面積記為（點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在所在的直線上）（1）分別求出當(dāng)與時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)取何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？解：（1）當(dāng)時(shí)

2、，由折疊得到的落在內(nèi)部如圖（1），重疊部分為，即 又圖（1）圖（2）當(dāng)時(shí)，由折疊得到的有一部分落在外，如圖（2），重疊部分為梯形 , 又, （2）當(dāng)時(shí)，的最大值：； 當(dāng)時(shí)，由 可知：當(dāng)時(shí)，的最大值：，當(dāng)時(shí)，有最大值：【評(píng)析】這一道以折疊為背景的綜合性壓軸題，利用圖形的折疊建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解問(wèn)題。在本題的解答中側(cè)重對(duì)相似三角形的面積比和相似比之間的關(guān)系及利用二次函數(shù)求最值等知識(shí)的考查，該試題一定程度上考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合等例2、（2008年山東省東營(yíng)市中考題）（）在ABC中，A90°，AB4，AC3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)M點(diǎn)作MNBC交AC于點(diǎn)N以MN為直徑作O，

3、并在O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN令A(yù)Mx（1）用含x的代數(shù)式表示NP的面積S；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，O與直線BC相切？（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記NP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？ABCMNP圖 1O解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） （2）如圖2，設(shè)直線BC與O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO=OD =MNABCMND圖 2OQ在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 過(guò)M點(diǎn)作MQBC 于Q，則 在RtBMQ與RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x

4、 當(dāng)x時(shí)，O與直線BC相切 （3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn) MNBC， AMN=B，AOMAPCABCMNP圖 3O AMO ABP AMMB2 故以下分兩種情況討論： ABCMNP圖 4OEF 當(dāng)02時(shí)， 當(dāng)2時(shí)， 當(dāng)24時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn) 四邊形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四邊形MBFN是平行四邊形 FNBM4x 又PEF ACB 當(dāng)24時(shí)， 當(dāng)時(shí)，滿足24， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，值最大，最大值是2【評(píng)析】本題以三角形與圓相結(jié)合為背景的綜合性壓軸題，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，圓的知識(shí)與相似三角形的性質(zhì)的有機(jī)綜合運(yùn)用，

5、環(huán)環(huán)相扣，步步為營(yíng)，循序漸進(jìn)，區(qū)分度強(qiáng)。第（3）小題要運(yùn)用分類討論思想來(lái)解決問(wèn)題，解題中關(guān)鍵是抓住在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的量，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出等量關(guān)系，從而構(gòu)建一個(gè)二次函數(shù)使問(wèn)題得以解決。例3、（2008年浙江省臺(tái)州市中考題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PQBD，交CD邊于Q點(diǎn)，再把PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x，PQR與矩形ABCD重疊部的面積為y（1）求CQP的度數(shù)；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的AB邊上？（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時(shí)，重疊部分的面積等

6、于矩形面積的？解：（1）如圖，四邊形是矩形，DQCBPRA又，DQCBPRA（圖1），（2）如圖1，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，由（1）知，DQCBPRA（圖2）FE，在中，根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得：（3）當(dāng)點(diǎn)在矩形的內(nèi)部或邊上時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)在矩形的外部時(shí)（如圖2），在中，又，在中，當(dāng)時(shí)，綜上所述，與之間的函數(shù)解析式是：矩形面積，當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨自變量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面積的的值，而，所以，當(dāng)時(shí)，的值不可能是矩形面積的；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，得：，解這個(gè)方程，得，因?yàn)椋圆缓项}意，舍去所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，與矩形重疊部分的面積等于矩形面積的【評(píng)析】這一道以折疊為背景的綜合性壓軸題，綜合性較強(qiáng)。解決折疊問(wèn)題的試題，關(guān)鍵是找出折痕及全等圖形，然后利用全等圖形的性質(zhì)及相關(guān)的知識(shí)，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。本題中的第（1）（2）小題只需要根據(jù)折疊的基本性質(zhì)結(jié)合相似三角形的知