線性規(guī)劃化問題的簡單解法

1、簡單線性規(guī)劃問題的幾種簡單解法依不拉音。司馬義（吐魯番市三堡中學，838009）“簡單的線性規(guī)劃問題”屬于高中數(shù)學新課程必修5，進入了高考試題，并且保持了較大的考察比例，幾乎是每年高考的必考內(nèi)容，也是高中數(shù)學教學的一個難點。簡單的線性規(guī)劃是指目標函數(shù)只含兩個自變量的線性規(guī)劃。簡單線性規(guī)劃問題的標準型為：，下面介紹簡單線性規(guī)劃問題的幾種簡單解法。1. 圖解法第一步、畫出約束條件表示的可行區(qū)域，這里有兩種畫可行區(qū)域的方法。代點法：直線Ax+By+C=0（c不為0）的某側(cè)任取一點，把它的坐標代入不等式，若不等式成立，則不等式表示的區(qū)域在該點的那一側(cè)；若不成立，則在另一側(cè)。B判別法：若0（），則不等式

2、Ax+By+C0（）表示的區(qū)域在直線Ax+By+C0的上方；若（），則不等式Ax+By+C(0)表示的區(qū)域在直線Ax+By+C0的下方。（即若B與0的大小方向跟不等式的方向相同，則可行區(qū)域是邊界線的上方；若B與0的大小方向與不等式的方向相反，則可信分區(qū)域是邊界線的下方）用上面的兩種方法畫出可行區(qū)域是很簡單，所以這里不必舉例說明。第二步、在畫出的可行區(qū)域內(nèi)求最優(yōu)解（使目標函數(shù)取最大值或最小值的點），這個可以用下面的兩種辦法解決。y軸上的截距法：若，直線所經(jīng)過可行域上的點使其y軸上的截距最大（最?。r，便是z取得最大值（最小值）的點；若，直線所經(jīng)過可行域上的點使其y軸上的截距最大（最?。r，是z取

3、得最小值（最小值）的點（提醒：截距不是距離，截距可以取正負）。例1設(shè)x,y滿足約束條件求的最大值、最小值。解：如圖1作出可行域，因為y的系數(shù)1大于0，目標函數(shù)表示直線在y軸上的截距，當直線過A（1，0）時，截距值最大，當直線過點O（0，0）時，截距值最小。圖1例2若變量滿足約束條件，求的最大值和最小值。解：如圖作出可行域，y的系數(shù)-2小于0，過點A(1,-1)時在y軸上的距最小，目標函數(shù)取得最大值，所以；過點B（-1,1）時在y軸上的截距最大，目標函數(shù)取得最，所以。法向量法：目標函數(shù)的法向量為（A，B），它垂直于目標函數(shù)直線的向量。當目標函數(shù)的值線沿目標函數(shù)法向量方向平移時，目標函數(shù)值逐步增加

4、，與可行區(qū)域最后（最先）相交的點上取最大值（最小值）；當?shù)戎稻€沿目標函數(shù)法向量反方向平行移動時，目標函數(shù)值逐步減少，與可行區(qū)域最后（最先）相交的點上取最小值（最大值）。例3點P(x, y)在以A(2, 1)、B(1, 6)、C(3, 2)為頂點的三角形區(qū)域（包括邊界）內(nèi)，求z= 4x3y的最大值與最小值。解：目標函數(shù)z= 4x3y的法向量為（4，-3），目標函數(shù)的直線沿法向量的方向平移時，最先與可行域在C點上相交，最后在B點上相交（因為目標函數(shù)的等值線從左上角平移過來）。所以目標函數(shù)在點C（-3,2）上取最小值，在點B（-1，-6）上取最大值。圖解法雖然直觀、形象，它容易使人具體地認識線性規(guī)劃

5、模型的求解過程，但是，這里難點至少有二；一是必要考慮y的系數(shù)b的正負，否則容易得出反相的結(jié)論；二是要注意直線束的傾斜程度，尤其，要注意與約束條件中的一條或兩條只想的傾斜程度的關(guān)系，即斜率大小對直線傾斜程度的影響。其中，當斜率為負值時，是學生最感頭疼的，也是學生最易出錯的。為此，下面介紹通過向量數(shù)量積解決線性規(guī)劃問題的方法，這種方法盡量避開以上兩個難點，使解法更直觀，更簡單，更不易出錯。2. 向量的數(shù)量積法把看成平面內(nèi)的向量與的數(shù)量積，即。因為為定值，所以當且僅當取最大值（最小值）時，z取最大值（最小值），即當且僅當在上的射影取最大值（最小值）時，z取最大值（最小值）（注意：在正方向上的射影是正

6、值，在負方向上的射影是負值）。這樣目標函數(shù)在約束條件下的最大值（最小值）問題，就轉(zhuǎn)化為研究點O與可行域內(nèi)的任意一點N所組成的向量在上的射影的最大值（最小值）問題。即線性規(guī)劃最大值（最小值）問題就轉(zhuǎn)化為一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）問題。例4若實數(shù)，滿足，求的最小值。解：設(shè)是向量與的數(shù)量積。因為，所以當且僅當取最小值時z取最小值，即當且僅當在上的射影OP取最小值時，取得最小值。如圖，當點N與點B（4，-2）重合時，在負方向上的射影OP取最小值，所以最小值為。3. 頂點法目標函數(shù)的最優(yōu)解肯定在可行區(qū)域的頂點上（這個命題可以證明）。因此，首先求約束表示的可行區(qū)域頂點的坐標，代入目標函數(shù)，然后從計算出來的幾個函數(shù)值里面選最大（或最?。┑募纯?。把約束條件中的每兩個不等式組成一個方程組，方程組的解是兩條邊界線的交點。有些交點肯能不屬于可行區(qū)域，所以每個交點必須代入約束條件檢驗不等式是否成立。若不成立排除這個交點（它不屬于可行區(qū)域）；若成立它是可行區(qū)域的頂點。例5.求滿足線性約束條件的目標函數(shù)的最大值和最小值。解：先找出約束條件表示的可行區(qū)域的頂點。，的解分別為A（1,1），B（0,3），C（，0），D（0，），E（3,0），F(xiàn)（0,0）。其中B和E不滿足約束條件，所以排除?？尚袇^(qū)域是以點