線性規(guī)劃化問題的簡(jiǎn)單解法

1、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的幾種簡(jiǎn)單解法依不拉音。司馬義（吐魯番市三堡中學(xué)，838009）“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5，進(jìn)入了高考試題，并且保持了較大的考察比例，幾乎是每年高考的必考內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃是指目標(biāo)函數(shù)只含兩個(gè)自變量的線性規(guī)劃。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型為：，下面介紹簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的幾種簡(jiǎn)單解法。1. 圖解法第一步、畫出約束條件表示的可行區(qū)域，這里有兩種畫可行區(qū)域的方法。代點(diǎn)法：直線Ax+By+C=0（c不為0）的某側(cè)任取一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入不等式，若不等式成立，則不等式表示的區(qū)域在該點(diǎn)的那一側(cè)；若不成立，則在另一側(cè)。B判別法：若0（），則不等式

2、Ax+By+C0（）表示的區(qū)域在直線Ax+By+C0的上方；若（），則不等式Ax+By+C(0)表示的區(qū)域在直線Ax+By+C0的下方。（即若B與0的大小方向跟不等式的方向相同，則可行區(qū)域是邊界線的上方；若B與0的大小方向與不等式的方向相反，則可信分區(qū)域是邊界線的下方）用上面的兩種方法畫出可行區(qū)域是很簡(jiǎn)單，所以這里不必舉例說明。第二步、在畫出的可行區(qū)域內(nèi)求最優(yōu)解（使目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的點(diǎn)），這個(gè)可以用下面的兩種辦法解決。y軸上的截距法：若，直線所經(jīng)過可行域上的點(diǎn)使其y軸上的截距最大（最小）時(shí)，便是z取得最大值（最小值）的點(diǎn)；若，直線所經(jīng)過可行域上的點(diǎn)使其y軸上的截距最大（最?。r(shí)，是z取

3、得最小值（最小值）的點(diǎn)（提醒：截距不是距離，截距可以取正負(fù)）。例1設(shè)x,y滿足約束條件求的最大值、最小值。解：如圖1作出可行域，因?yàn)閥的系數(shù)1大于0，目標(biāo)函數(shù)表示直線在y軸上的截距，當(dāng)直線過A（1，0）時(shí)，截距值最大，當(dāng)直線過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，截距值最小。圖1例2若變量滿足約束條件，求的最大值和最小值。解：如圖作出可行域，y的系數(shù)-2小于0，過點(diǎn)A(1,-1)時(shí)在y軸上的距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，所以；過點(diǎn)B（-1,1）時(shí)在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最，所以。法向量法：目標(biāo)函數(shù)的法向量為（A，B），它垂直于目標(biāo)函數(shù)直線的向量。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的值線沿目標(biāo)函數(shù)法向量方向平移時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值逐步增加

4、，與可行區(qū)域最后（最先）相交的點(diǎn)上取最大值（最小值）；當(dāng)?shù)戎稻€沿目標(biāo)函數(shù)法向量反方向平行移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值逐步減少，與可行區(qū)域最后（最先）相交的點(diǎn)上取最小值（最大值）。例3點(diǎn)P(x, y)在以A(2, 1)、B(1, 6)、C(3, 2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界）內(nèi)，求z= 4x3y的最大值與最小值。解：目標(biāo)函數(shù)z= 4x3y的法向量為（4，-3），目標(biāo)函數(shù)的直線沿法向量的方向平移時(shí)，最先與可行域在C點(diǎn)上相交，最后在B點(diǎn)上相交（因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的等值線從左上角平移過來）。所以目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C（-3,2）上取最小值，在點(diǎn)B（-1，-6）上取最大值。圖解法雖然直觀、形象，它容易使人具體地認(rèn)識(shí)線性規(guī)劃

5、模型的求解過程，但是，這里難點(diǎn)至少有二；一是必要考慮y的系數(shù)b的正負(fù)，否則容易得出反相的結(jié)論；二是要注意直線束的傾斜程度，尤其，要注意與約束條件中的一條或兩條只想的傾斜程度的關(guān)系，即斜率大小對(duì)直線傾斜程度的影響。其中，當(dāng)斜率為負(fù)值時(shí)，是學(xué)生最感頭疼的，也是學(xué)生最易出錯(cuò)的。為此，下面介紹通過向量數(shù)量積解決線性規(guī)劃問題的方法，這種方法盡量避開以上兩個(gè)難點(diǎn)，使解法更直觀，更簡(jiǎn)單，更不易出錯(cuò)。2. 向量的數(shù)量積法把看成平面內(nèi)的向量與的數(shù)量積，即。因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)且僅當(dāng)取最大值（最小值）時(shí)，z取最大值（最小值），即當(dāng)且僅當(dāng)在上的射影取最大值（最小值）時(shí)，z取最大值（最小值）（注意：在正方向上的射影是正

6、值，在負(fù)方向上的射影是負(fù)值）。這樣目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值（最小值）問題，就轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)O與可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)N所組成的向量在上的射影的最大值（最小值）問題。即線性規(guī)劃最大值（最小值）問題就轉(zhuǎn)化為一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）問題。例4若實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值。解：設(shè)是向量與的數(shù)量積。因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)取最小值時(shí)z取最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)在上的射影OP取最小值時(shí)，取得最小值。如圖，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B（4，-2）重合時(shí)，在負(fù)方向上的射影OP取最小值，所以最小值為。3. 頂點(diǎn)法目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解肯定在可行區(qū)域的頂點(diǎn)上（這個(gè)命題可以證明）。因此，首先求約束表示的可行區(qū)域頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，然后從計(jì)算出來的幾個(gè)函數(shù)值里面選最大（或最小）的即可。把約束條件中的每?jī)蓚€(gè)不等式組成一個(gè)方程組，方程組的解是兩條邊界線的交點(diǎn)。有些交點(diǎn)肯能不屬于可行區(qū)域，所以每個(gè)交點(diǎn)必須代入約束條件檢驗(yàn)不等式是否成立。若不成立排除這個(gè)交點(diǎn)（它不屬于可行區(qū)域）；若成立它是可行區(qū)域的頂點(diǎn)。例5.求滿足線性約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。解：先找出約束條件表示的可行區(qū)域的頂點(diǎn)。，的解分別為A（1,1），B（0,3），C（，0），D（0，），E（3,0），F(xiàn)（0,0）。其中B和E不滿足約束條件，所以排除。可行區(qū)域是以點(diǎn)