第二章導數(shù)與微分教案

1、第二章導數(shù)與微分知識點： 教學目的要求：（1）理解導數(shù)的概念；熟記導數(shù)符號；理解導數(shù)的幾何意義；了解函數(shù)可導與連續(xù)的關系。（2）熟記導數(shù)的基本公式；掌握導數(shù)的四則運算求導法則；掌握復合函數(shù)的求導法則；掌握隱函數(shù)與對數(shù)法的求導方法；了解高階導數(shù)的概念；掌握高階導數(shù)的求導方法。（3）理解微分的概念及其幾何意義；熟記微分的基本公式與運算法則。教學重點：1導數(shù)的概念2導數(shù)的幾何意義3導數(shù)的基本公式4四則運算求導法則5復合函數(shù)求導法則6隱函數(shù)的求導法則7一階微分的形式不變性教學難點：1導數(shù)的概念2復合函數(shù)的求導法則3隱函數(shù)的求導法則4微分的形式不變性第一節(jié)導數(shù)的概念【教學內(nèi)容】兩個引例；導數(shù)的定義；導數(shù)

2、的幾何意義；函數(shù)可導與連續(xù)的關系?！窘虒W目的】使學生理解導數(shù)的定義，掌握導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程與法線方程，了解函數(shù)可導與連續(xù)的關系?！窘虒W重點】1導數(shù)的定義；2用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點的導數(shù)；3導數(shù)的幾何意義?！窘虒W難點】1導數(shù)的定義；2函數(shù)可導與連續(xù)的關系?！窘虒W時數(shù)】2學時【教學進程】一、兩個引例引例1 自由落體運動的瞬時速度。提問：1自由落體運動的位移公式；2自由落體運動的瞬時速度公式；3自由落體運動的瞬時速度公式的推導過程（適當討論）。 由學生回答可知自由落體運動的位移公式為，由于物體的位移是隨時間連續(xù)變化的，因此在很短的時間間隔內(nèi)（從到）內(nèi)，速度變化不大，可以用平均速度作

3、為時的瞬時速度的近似值，即=顯然，越小，與越接近，當無限變小時，平均速度就無限接近時的瞬時速度由此，令，如果平均速度的極限存在，就把它定義為物體在時刻的瞬時速度，即=總結規(guī)律：對于一般的變速直線運動的瞬時速度可由以下式子求得：引例2 平面曲線的切線斜率 提問：1什么叫做圓的切線？2一般的平面曲線的切線怎么定義？（適當討論）定義 設點是曲線上的一個定點，在曲線上另取一點，作割線，當動點沿曲線向點移動時，割線繞點旋轉，設其極限位置為，則直線稱為曲線在點的切線如右圖所示設曲線的方程是，記點的橫坐標為，點的橫坐標為（可正可負），平行軸，設的傾角為，則的斜率為顯然當點沿曲線無限趨近于點時（這時，也趨近于

4、的傾角，這時切線的斜率綜上兩個引例的結論可知，雖然這兩個問題所涉及到的背景知識不同，但是它們可以用相同的方法求得所需結果，由此引出導數(shù)的定義。二、導數(shù)的定義1導數(shù)的定義。定義 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處有增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)有增量如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)記作，也可記作， 或 即=這時就稱函數(shù)在點的導數(shù)存在，或稱函數(shù)在點可導；如果極限不存在，則稱函數(shù)在點不可導。2由導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)。設函數(shù)，求該函數(shù)在處的導數(shù)的步驟：l 在處給定l 求增量l 算比值 l 取極限例1 已知函數(shù)，求。解 在處給定（1）求增量（2）算比值（3

5、）取極限因此，=23幾點說明。1）函數(shù)在點處的導數(shù)也稱為函數(shù)在點處對自變量的變化率。2）當極限與存在時，分別稱它們?yōu)榈淖髮?shù)與右導數(shù)，記為與。且存在當且僅當與都存在且相等。（利用極限存在的充要條件理解）3）函數(shù)在點處的導數(shù)，就是導函數(shù)在點處的函數(shù)值，即=。（通過例1中改變值的改變進行說明）4）如果函數(shù)在，內(nèi)每一點處可導，則稱函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)可導顯然導數(shù)值也是的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)的導函數(shù)，今后在不會發(fā)生混淆的情況下，也簡稱導數(shù)記作，或，即=討論：函數(shù)的導數(shù)是什么？（結論：）思考：函數(shù)的導數(shù)是什么？（結論：）拓展：函數(shù)的導數(shù)是什么？（結論：）如，等。5）如果函數(shù)在，內(nèi)可導，且在點右導數(shù)存在，在點右

6、導數(shù)存在，則稱函數(shù)在閉區(qū)間，上可導。三、導數(shù)的幾何意義由引例2的分析可知導數(shù)的幾何意義為：函數(shù)在點的導數(shù) 表示曲線在點，的切線的斜率。因此有l(wèi) 當函數(shù)在點處可導時，曲線在點，的切線方程為l 曲線在點，的法線方程為l 如果在點連續(xù)且導數(shù)為無窮大，則曲線在點，的切線方程為；法線方程為例2 求曲線在點(1，1)處的切線和法線方程。解 因為，所以于是曲線在點(1，1)處的切線方程為即曲線在點(1，1)處的法線方程為即四、可導與連續(xù)的關系定理如果函數(shù)在點處可導，則在點處必連續(xù)注：如果函數(shù)在點處連續(xù)，在點處未必可導。*例3 證明函數(shù)|在點連續(xù)，但不可導。證明在處，|-|，因此|=0所以函數(shù) |在點連續(xù)。又

7、xyo而因此 不存在，所以函數(shù)|在點不可導。注：出現(xiàn)尖點不可導。 本堂課小結：主要內(nèi)容：兩個引例；導數(shù)的定義；導數(shù)的幾何意義；函數(shù)可導與連續(xù)的關系。重點：1導數(shù)的定義；2用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點的導數(shù)；3導數(shù)的幾何意義。難點：1導數(shù)的定義；2函數(shù)可導與連續(xù)的關系。第二節(jié) 導數(shù)的基本公式與運算法則【教學內(nèi)容】導數(shù)的基本公式；四則運算求導法則；求導法則應用舉例?！窘虒W目的】使學生熟記與理解導數(shù)的基本公式與四則運算求導法則并能熟練應用?！窘虒W重點】1導數(shù)的基本公式；2四則運算求導法則。 【教學難點】公式的應用。 【教學時數(shù)】2學時【教學進程】 一、導數(shù)的基本公式提問：1導數(shù)可以由哪一個極限式子表示？

8、 2根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)有哪幾步？ 3導函數(shù)與函數(shù)在某點導數(shù)之間有什么關系？例1 求函數(shù)且的導數(shù)。解 由此得到特別1羅列導數(shù)基本公式。 （為任意常數(shù)）； （為實數(shù)）；，特別：；，特別：； ； ； ； ； 。注：要求學生默記約5分鐘。2分析部分基本公式特征。課堂練習：在下列空格處填上適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立：1）= ； （答案：0）2）= ； （答案：）3）= ； （答案：0）4）= ； （答案：）5）= ； （答案：0）6）= ； （答案：）7）= 。 （答案：）二、導數(shù)的四則運算法則定理 設函數(shù)與在點處可導，則它們的和（差）函數(shù)在處也可導，且也就是說：兩個可導函數(shù)代數(shù)和的導數(shù)等于各個函數(shù)導

9、數(shù)的代數(shù)和。推廣 有限個可導函數(shù)代數(shù)和的導數(shù)等于和個函數(shù)導數(shù)的代數(shù)和，即例2 已知，求。解 例3 已知，求及。解 定理 設函數(shù)與在點處可導，則它們的積函數(shù)在處也可導，且。此結論也可以推廣到有限個函數(shù)的積的情形如推廣到三個函數(shù)乘積的情況為推論 （為常數(shù)）例4 已知，求。解 。例5 已知，求解 例6 已知，求。解 定理 設函數(shù)與在點處可導，且，則它們的商函數(shù)在處也可導，且推論 。例7 已知，求。解 例8 設，求。解 。即 例9 設，求。解 即 例10求的導數(shù)。解例11求的導數(shù)。解例12求的導數(shù)。解因為，所以例13求的導數(shù)。解因為，所以說明：四則運算的求導法則除了直接應用公式外，有時需要將表達適當變

10、形后再應用公式。課堂練習：1推導公式與。2求下列函數(shù)的導數(shù)： （答案：） （答案：） （答案：） （答案：） （答案：）本堂課小結：主要內(nèi)容：導數(shù)的基本公式；四則運算的求導法則。重點：1導數(shù)的基本公式；2四則運算的求導法則及其應用。難點：1四則運算求法則的應用作業(yè)：第三節(jié) 復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法則【教學內(nèi)容】復合函數(shù)的求導法則；隱函數(shù)的求導法則；對數(shù)法求導?！窘虒W目的】使學生掌握復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法則，會熟練地求復合函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù)，會用對數(shù)法求導?！窘虒W重點】1復合函數(shù)的求導法則；2隱函數(shù)求導法則?！窘虒W難點】1復合函數(shù)的求導法則；2隱函數(shù)求導法則?！窘虒W時數(shù)】3學時【教學進程】一、

11、復合函數(shù)的求導法則引入：引例1 設，求。解法一 =解法二 可看作是由與構成的復合函數(shù)。（通過提問寫出復合函數(shù)的分解）因此引例2 設，求。解法一 解法二 可看作是由與構成的復合函數(shù)。（通過提問寫出復合函數(shù)的分解）因此=分析：上面兩個引例雖然所求導數(shù)的函數(shù)不同，但他們具有共同點。解法一是應用我們已學的四則運算求導法則，而解法二是通過復合函數(shù)分解以后進行求導，并且兩個解法的結果是相同的，由此我們聯(lián)想是否復合函數(shù)都可以用解法二的方法進行求導。我們的回答是肯定的，下面給出復合函數(shù)求導法則。定理設函數(shù)由與復合而成，如果函數(shù)在點處可導，函數(shù)在對應點處可導，則復合函數(shù)點處可導，且或 即：復合函數(shù)關于自變量的導

12、數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)，該法則可以推廣到有多個中間變量的情形例如：,均是可導函數(shù)，則復合函數(shù)可導，且例1 設，求。解 可看作是由與構成的復合函數(shù)。因此 例2 設，求。解 可看作是由與構成的復合函數(shù)。因此 注：如果計算熟練，可以不設中間變量，直接求復合函數(shù)的導數(shù)，如例2的另一種解法，以后復合函數(shù)求導我們常用下面的方法。另解 課堂練習：1 （答案：）2 （答案：）3 （答案：）4 （答案：）例3 求函數(shù)的導數(shù)。解 = 。例4 設，求。解 課堂練習： 1 （答案：） 2 （答案：） 3 （答案：）二、隱函數(shù)的導數(shù)1隱函數(shù)的概念。通過圖象分析表達式與中與的對應關系，可以

13、看出都是關于的相同函數(shù)，但表現(xiàn)的形式不同。把因變量寫成自變量的顯式表達式，這樣的函數(shù)稱作顯函數(shù)。把一個由二元方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。2介紹隱函數(shù)的求導法則的原因l 不是任何隱函數(shù)都可以轉化為顯函數(shù)l 有些隱函數(shù)轉化為顯函數(shù)后求導反而更復雜l 有些顯函數(shù)轉化為隱函數(shù)后求導更簡捷3隱函數(shù)的求導法則把由所確定的隱函數(shù)代入原方程，得到恒等式在等式兩端對求導，把其中的看作中間變量，運用復合函數(shù)求導法，得到一個含的方程，解出，即為所求隱函數(shù)的導數(shù)。例5 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)。解 對方程兩端同時關于求導，得于是得例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)。解 對方程兩端同時關于求導，得于是得例7 求曲線

14、在點處的切線方程。解 對方程兩端同時關于求導，得于是得因而切線的斜率為所以切線方程為 即 課堂練習： 求下列隱函數(shù)的導數(shù)： 1 （答案：） 2 （答案：） 3 （答案：）三、取對數(shù)求導法由于有些顯函數(shù)直接求導比較復雜甚至無法用顯函數(shù)的求導方法，我們可以對其兩邊取對數(shù)轉化為隱函數(shù)后再求導。為了求導方便一般采用自然對數(shù)。例8 設，求。解先對兩端同時取自然對數(shù)，得兩端同時對求導，得于是得例9 設，求。解 對兩端取自然對數(shù)，得 兩端同時對求導，得即 思考：具有什么特征的顯函數(shù)用取對數(shù)法求導較方便？本堂課小結：主要內(nèi)容：復合函數(shù)的求導法則；隱函數(shù)的求導法則；對數(shù)法求導。重點：1復合函數(shù)的求導法則；2隱函

15、數(shù)求導法則。難點：1復合函數(shù)的求導法則；2隱函數(shù)求導法則。作業(yè)：第四節(jié)高階導數(shù)【教學內(nèi)容】高階導數(shù)的概念、表示符號及其求法?！窘虒W目的】使學生理解高階導數(shù)的概念，掌握高階導數(shù)的表示符號及其求法?！窘虒W重點】高階導數(shù)的求法。 【教學難點】1階導數(shù)的求法；隱函數(shù)的高階導數(shù)?！窘虒W時數(shù)】0.5學時【教學進程】一、高階導數(shù)的概念討論：在變速直線運動中已知物體的位移函數(shù)，怎樣求物體的加速度？經(jīng)討論后得出結論求加速度可以對求兩次導數(shù)得到。象這樣的問題在實際中會經(jīng)常遇到，需要多次對一個函數(shù)求導數(shù)，我們把連續(xù)兩次或兩次以上對某一個函數(shù)求導數(shù)，所得的結果，稱為這個函數(shù)的高階導數(shù)。如果函數(shù)的導數(shù)仍是的可導函數(shù)，則

16、稱的導數(shù)為的二階導數(shù)，記作：，或類似地，可以定義函數(shù)的三階，四階，階導數(shù)，它們分別記作：，或 ，等等。二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。二、高階導數(shù)的求法對函數(shù)求高階導數(shù)，只需用前面學過的求導方法，對函數(shù)多次接連地求導，即得所求高階導數(shù)。例1 設函數(shù)，求。解 ； 例2 設函數(shù)，求。解 ； ； ；所以，。例3 設，求(為正整數(shù))解 ；由此推得，。*例4 設，求。解 ； ； ； 由此推得，*例5 求由方程 所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)。解 對方程兩邊同時求導，得于是得對上式的兩端同時關于求導，得將代入，得因為，將代入，得。說明：求隱函數(shù)的二階導數(shù)，只需要在用隱函數(shù)求導方法求出隱函數(shù)的一階導數(shù)后，繼續(xù)

17、用隱函數(shù)求導方法對求導即可，此時需注意與都是的函數(shù) 本堂課小結：主要內(nèi)容：高階導數(shù)的概念、表示符號及其求法。重點：高階導數(shù)的求法。難點：1階導數(shù)的求法；隱函數(shù)的高階導數(shù)。作業(yè)：第五節(jié) 函數(shù)的微分【教學內(nèi)容】微分的概念；微分的幾何意義；可導與可微的關系；微分的基本公式與運算法則；一階函數(shù)微分的形式不變性?！窘虒W目的】使學生理解函數(shù)微分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可導與可微之間的關系，掌握微分的基本公式與運算法則，理解一階函數(shù)微分的形式不變性?！窘虒W重點】1微分的概念；2微分的基本公式與運算法則；3一階函數(shù)微分的形式不變性?！窘虒W難點】1微分的概念；2可導與可微的關系；3一階函數(shù)微分的形式不變性。

18、【教學時數(shù)】2學時【教學進程】一、微分的概念及其幾何意義1微分的概念引例 一個正方形金屬薄片受熱膨脹，其邊長由變到(如圖所示)，面積相應地有一個改變量 分析：含有兩項，第一項是的線性函數(shù)（圖中斜線部分），第二項是當時比高階的無窮小量因此，當很小時，面積的改變量可以近似地用來代替。一般地，對于函數(shù)，當自變量在有一個改變量時，函數(shù)相應的改變量為：如果可以表示成兩部分：第一部分是的線性函數(shù)（與無關），第二部分是的高階無窮??；當時，我們將函數(shù)增量的線性主部定義為函數(shù)的微分。定義 設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及均在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在點處的增量可以表示為其中與無關，是的高階無窮小，則稱函數(shù)在點處是可微的，稱

19、為函數(shù)在處的微分，記作，即=說明：1）如果在點處可微，則有，于是，所以即函數(shù)在點處可導，且,。2）在中，；因此對于任何，這個函數(shù)的微分是，所以函數(shù)的增量與微分相等，即=，因此，因而有，因此，導數(shù)我們也稱之為微商。3）如果若函數(shù)在點處可導，則有根據(jù)極限與無窮小量的關系可知（其中是當?shù)臒o窮小量），于是，因為，則有，因此函數(shù)在點處可微，且。由1）與3）可得以下定理。定理 如果函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處可導，且；反之，如果若函數(shù)在點處可導，則在點處可微例1 求函數(shù)在處的微分解 由，得。4）由微分的概念可知（此關系是微分用于近似計算的根據(jù)）5）如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點都可微，則稱是該區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)。

20、函數(shù)在任意點的微分記為或即。例2 設函數(shù)，求、與。解 ；。例3 求函數(shù)的微分。解 2微分的幾何意義在函數(shù)的圖象上取兩點與 (如右圖所示)，并分別過點與點作平行與軸與軸的直線，它們相交于；從圖中可以得到，；再過點作曲線的切線與交于，設的傾角為，則所以函數(shù)在點的微分的幾何意義是曲線在點處切線縱坐標的改變量。 （講授方法：邊提問，邊作圖，邊分析）二、微分的基本公式與運算法則根據(jù)函數(shù)的導數(shù)與微分之間的關系，我們可以得到微分的基本公式與運算法則1基本初等函數(shù)的微分公式（為常數(shù)）；（為實數(shù)）；，特別；，特別； ； ；*； *； ； 。2函數(shù)的微分的四則運算法則（1）；（2），特別(為常數(shù))；（3）3復合函

21、數(shù)的微分法則設函數(shù)與復合而成的函數(shù)為，則復合函數(shù)的微分為其實，因而有=說明：上式表示，不論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式總是，這個性質(zhì)叫做一階微分形式的不變性。例4 設，求。解 例5 設，求。解 例6 設，求。解 例7 設，求。解 例8 設，求。解 例9 設，求。解 例10 設，求。解 例11 求方程確定的隱函數(shù)的微分及導數(shù)。解 對方程兩端求微分，得應用微分的運算法則，得化簡，得于是，所求微分為所求導數(shù)為本堂課小結：主要內(nèi)容：微分的概念；微分的幾何意義；可導與可微的關系；微分的基本公式與運算法則；一階函數(shù)微分的形式不變性。重點：1微分的概念；2微分的基本公式與運算法則；3一階函數(shù)微分的形式不變性。難點：1微分的概念；2可導與可微的關系；3一階函數(shù)微分的形式不變性。作業(yè)：第2章 導數(shù)與微分復習【