二階非線性光學效應石順祥

1、第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 第章二階非線性光學效應石順祥第章二階非線性光學效應石順祥第一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.1 線性電光效應線性電光效應 線性電光效應也叫做普克爾（Pockler）效應。 當沒有反演中心的晶體受到直流電場或低頻電場作用時, 其折射率發(fā)生與外加電場成線性關系的變化。 應當指出的是, 這里所說的低頻電場是與光頻比較而言, 所以微波頻率也包括在內。 第二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 線性電光效應是一種特殊的二階非線性光學效應。 在這里, 作用于介質的兩個電場， 一個是光電場,

2、另一個是低頻場或直流場, 在這兩個電場的作用下產生了二階非線性極化。 現在假定作用于介質的直流場為E0、 光電場為E exp(-it)+c.c., 則根據極化強度的一般表示式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有.: ),(.: )0 ,(2: ),(2: )0 , 0()(.)()0()(20)2(00)2(0)2(000)2(0)2(00)1(0)1(cceEEcceEEEEEEtPccEeEtPtititi(4.1-1) (4.1-2) 第三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 因此, 相應于頻率為的極化強度分量表示式為 .)0 ,(2)(.)0 ,(2

3、.)(),(0)2()1(00)2(0)1(0cceEEcceEEcceEtPtititi(4.1-3) 由此可見, 直流電場的作用使得介質對頻率為的極化率張量改變了 。 在這種情況下, 電位移矢量為 D=0E+PL+PNL=E+PNL0)2()0 ,(2E第四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 或用分量形式表示為 EEEPEDeff)()0 ,(2(00)2(00(4.1-4)這里的是相對介電常數張量元素。 因此, 由于直流電場的作用, 使頻率為的相對介電常數張量產生了一個變化量 : 0)2()0 ,(2E)(第五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二

4、階非線性光學效應 1. 折射率橢球幾何法描述 在第三章, 我們利用折射率橢球詳細地討論了光波在介質中的傳播特性。 在主軸坐標系中的折射率橢球表示式為1222222xxxzzyynx第六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 由上面的討論已知, 由于直流電場E0的存在, 引起了介電常數張量的變化, 也就引起了折射率橢球方程的系數1/n2x、 1/n2y、 1/n2z發(fā)生變化。 因此, 在有直流電場存在時, 應將折射率橢球方程寫成如下一般的形式: 1121212 111625242232222212xynzxnyznznynxn(4.1-6) 第七頁，共112頁。第第4章

5、章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 當直流電場為零, 且x、 y、 z軸分別平行于三個介電主軸時, 有01,1101,1101,11062203205220220422012000000EzEEyEExEnnnnnnnnn(4.1-7) 第八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 1） KDP（KH2PO4）晶體中的線性電光效應 KDP晶體屬于42m對稱群, 其光軸取為z軸, 另外兩個對稱軸為x軸和y軸。 根據表4.1-1, 它的線性電光張量的非零元素只有41=52和63, 其矩陣形式為634141000000000000000(4.1-20) 第九頁，共112

6、頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 當外加直流電場E0=0時, KDP晶體的折射率橢球方程為 1222222eoonznynx(4.1-21) 晶體外加直流電場E0時, 折射率橢球方程應為1222262524232222212nxynzxnyznznynx(4.1-22) 第十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 由（4.1-19）式關系, 有 3636232241522214142121, 011, 011, 01EnnEnnEnn所以, E00時, KDP晶體的折射率橢球方程為 1222063041041222222xyEzxEyzEnxnyn

7、xxyxeoo(4.1-23) 第十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.1-1 坐標變換關系 xxyz,zyO45 45 第十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2) 43m類晶體的線性電光效應（橫向運用） 43m類晶體為立方晶系類, 屬于這類晶系的晶體有CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。 這類晶體未加電場時, 光學性質是各向同性的, 其折射率橢球為旋轉球面, 方程式為 x2+y2+z2=n20 (4.1-30) 式中, x、 y、 z取晶軸方向, 它們的線性電光張量矩陣為第十三頁，共112頁。第第4章章 二階

8、非線性光學效應二階非線性光學效應 因此, 外加直流電場E0后的折射率橢球方程為414141000000000000000(4.1-31) 1)(200041202202202xyEzxEyzEnznynxzyx(4.1-32) 第十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2. 麥克斯韋方程解析法描述 如前所述, 線性電光效應是一種二階非線性光學效應, 由于直流電場的作用, 使介質對頻率為光波的相對介電常數張量變?yōu)?)2(2)(Eeff(4.1-40) 將變化后的介電常數張量代入描述晶體光學性質的基本方程（3.1-9）式, 得EEkkEcnDeff)(202(4.1-

9、41) 第十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 1） KDP晶體的線性電光效應 假定外加直流電場平行于光軸（z軸）, 并且根據 42m類晶體的二階極化率張量形式zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000KDP晶體的有效相對介電張量元素可表示為 ozzozeffEE)2()2(22)(第十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 寫成矩陣的形式為 zzxxozxyzozxyzxxeffrEE000202)()2()2(將(r)eff代入（4.1-41）式, 得 )()()(000000)()()(000

10、2022222)2()2(zyxzyxzzzzxxozxyzozxyzxxEEEnnnEEEnkkEE (4.1-42) 第十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2） 43m類晶體的電光效應（橫向運用） 43m類晶體的二階非線性極化率張量的形式為 zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000這里的二階非線性極化率張量元素有如下的對稱性: )2()2()2()2()2()2(yxzyzxzyxzxyxzyxyz第十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 假設外加直流電場的方向為z方向, 光波在xOy平面

11、內沿著x、 y軸的對角線方向傳播, 因而有2/245sin2/245coskkkkyx 式中, k表示光波傳播方向的單位矢量, 所以有效相對介電張量為rrzxyzzxyzreffrEE000202)(0)2(0)2(第十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.1-2 4 43m晶體橫向運用時的本征矢示意 zykxO本征矢E2本征矢E1第二十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.2 光光 整整 流流 效效 應應 若令光波電場的空間變化部分為 rkcniaeEE0(4.2-1) 式中, E0為光波電場的振幅, a為光振動方向的單位

12、矢量, k為光波傳播方向的單位矢量, 則由于二次非線性效應產生的直流極化強度為aaEEEP: ),(2: ),(2)2(200)2(00(4.2-2) 第二十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 根據上面的假定, 光波在KDP晶體中傳播時, 其尋常光分量有ax0, ay0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az0。 又根據KDP晶體(2)的空間對稱性, 只有 中三個腳標都不相同的元素才不為零。 所以, 如對于尋常光和非常光分別按（4.2-2）式展開, 就可以得到它們的P0 x和P0y分量皆為零, 但對P0z分量兩者不同: 非常光的P0z=0, 尋常光的P

13、0z0。 對于尋常光來說, ),()2(yxzxyyxzyxyxzxyzaaEaaaaEP),(4),(),(2)2(200)2()2(2000(4.2-3) 第二十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 這表示在z方向有一個恒定的極化強度分量P0z。 假設光波的傳播方向k與晶軸x之間的夾角為, 則有cos,sinyxa將其代入（4.2-3）式, 便得 2sin),(2)2(2000zxyzEP(4.2-4) 第二十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.3 三波混頻及和頻、三波混頻及和頻、 差頻產生差頻產生 4.3.1 三波混頻的耦

14、合方程組 由二階非線性極化強度的一般表示式（1.2-36）式, 可以得到三波混頻中任何一對光波所感應的非線性極化強度復振幅為第二十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 根據（3.3-23）式, 三個頻率1、 2和3的光電場標量復振幅E(1,z)， E(2,z)和E(3,z)滿足的微分方程分別為),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(2121)2(03)2(1*313)2(02)2(2*323)2(01)2(zEzEPzEzEPzEzEP(4.3 - 1)(4.3 - 2)(4.3 - 3)第二十五頁，共112頁。第第4章

15、章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 zikNLzikNLzikNLezPakidzzdEezPakidzzdEezPakidzzdE321),()(2),(),()(2),(),()(2),(333023322202221110211(4.3-4) (4.3-5) (4.3-6) 第二十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 式中的PNL (,z)為zkkiNLzkkiNLzkkiNLezEzEaazPezEzEaazPezEzEaazP)(212121)2(01)(131313)2(02)(232323)2(01231323),(),()()(: ),(2)

16、,(),(),()()(: ),(2),(),(),()()(: ),(2),(將（4.3-7）式（4.3-9）式分別代入（4.3-4）式（4.3-6）式, 并令第二十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 kziezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(2121321)2(23233kzikziezEzEaaackidztdEezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(),(),()()()(: ),(),(1313213)2(222222323123)2(21211 (4.3-11) (4.3-12) (

17、4.3-13) 第二十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.3.2 曼利-羅關系 現將（4.3-16）式乘 , （4.3-17）式乘 , （4.3-18）式的復數共軛乘 , 再將所得三式相加, 可得),(111zEk),(222zEk),(333zEk0),(),( ),(),(),(),(323322221111dzzdEzEkdzzdEzEkdzzdEzEk(4.3-19) 第二十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 在得到上式時已利用了關系1+2=3。 現再?。?.3-19）式的復數共軛并與（4.3-19）式相加, 有常數2

18、33322222111233322222111),(),(),(0),(),(),(zEkzEkzEdzdkzEdzdkzEdzdkzEdzdk對該式積分, 得 (4.3-20) 第三十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 因為能流密度S的表示式為202)(2)(221EkES所以（4.3-20）式可表示為 常數321SSS(4.3-21) 第三十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.3.3 和頻產生 上面給出的方程組（4.3-16）（4.3-18）是討論非線性介質中三波(1,2,3=1+2)混頻的基本耦合波方程組。 現在我們首先討

19、論和頻產生的情況。 第三十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 1. 小信號近似理論處理 在滿足相位匹配條件下, 即k=0時, 方程（4.3-18）式的解為zEEckizEeff)0 ,()0 ,(),(21)2(23233(4.3-31) 這就是在小信號近似和滿足相位匹配條件下所得到的和頻光電場E(3,z)的變化規(guī)律。 第三十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2. 大信號理論處理 在1和2入射光電場振幅為E0(1,0)和E0(2,0)的情況下, （4.3-16）式（4.3-18）式的一般解為3)0 ,()0 ,()0 ,(21)

20、,()0 ,(),(10202112222110)2(213223222202122323230EEkkkZEkkcukusnEkkzEeff(4.3-35) (4.3-36) (4.3-37) 式中 第三十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 在這里, 頻率為2的光場分量已表示為入射光頻率為1 和2兩個分量中強度較弱的一個。 sn(u,k)是以u和k為參變量的雅可比橢圓函數, 它是由第一類橢圓積分逆變換得來的。 已知第一類橢圓積分為ukdkF022sin1),(第三十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 該橢圓積分的逆變換sin是u

21、和k的函數, 用sn(u,k)表示, 即為雅可比橢圓函數, 所以有 sn(u,k)=sin (4.3-38) 因為sin是周期函數, 所以sn(u,k)也是周期函數, 而且最大值等于1。 第三十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.3-1 在相位匹配條件下, N隨z變化規(guī)律 N0p/2pz)0(2 N)0(1 N第三十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.3.4 差頻產生 1. 小信號近似理論處理 在z很小的情況下, 可以將E(3,z)和E(1,z)看作常數, 在完全相位匹配條件下直接積分（4.3-17）式, 可得zEEc

22、kzEeff)0 ,()0 ,(21),(1030)2(222220以及 02321(4.3-44) (4.3-45) 第三十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 式中, lM就是由（4.3-）式定義的用來表征混頻過程速率的特征長度, 用lM表示（4.3-44）式時, 有2)0()(32MlzNzN(4.3 - 46)MlzzEkkzE),(),(30212322230(4.3-47) 第三十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2. 大信號理論處理 差頻光波的光子通量 的一般解形式為2N,)0()0()0(,)0()0()0()0(

23、)0()0()0()(2121231313131312MMlzNNNlzNNNfNNNNzN(4.3-48) 式中, 函數f(u,k)是雅可比橢圓函數sn(u,k)和dn(u,k)之比, 即),(1),(),(),(),(22kusnkkudnkudnkusnkuf(4.3-49) (4.3-50) 第四十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.3-2 在相位匹配條件下N隨z的變化規(guī)律 N0p/2pz)0(1 N)0(3 N第四十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.4 二次諧波產生二次諧波產生 4.4.1 理想均勻平面波的二

24、次諧波產生 1. 二次諧波產生 二次諧波產生是和頻產生的特殊情況, 但不能簡單地將1=2代入上節(jié)對和頻產生討論所得到的結果中, 這是因為當1=2時, 除由1和2產生和頻外, 還分別有1和2的二次諧波產生的過程, 但在上節(jié)討論和頻產生規(guī)律時, 并沒有考慮這些二次諧波產生過程。 第四十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 對于二次諧波產生過程, 假設k2和k分別表示頻率為2和的光波傳播常數, 則按（3.3-23）式, 二次諧波產生過程中的耦合方程為kzikziezEzEaaackidzzdEezEaaackidzzdE),(),2()()2()(),2(),(),()

25、()()2(),(2),2()2(222)2(222(4.4-1) (4.4-2) 式中 22kkk(4.4-3) 第四十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 方括號中點乘的定義見（4.3-14）式。 和論證（4.3-15）式類似, 如果介質在頻率和2處是無耗的, 則張量(2)(,)是實數, 就有 ),2(),2(),()2()2()2(4.4-4) 第四十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 上式中最后一個等式已利用了極化率張量的時間反演對稱性。 因此, （4.4-1）式和（4.4-2）式中方括號相等, 并令其等于 , 即有)2(e

26、ffkzieffkzieffezEzEckidzzdEezEckidzzdE),(),2(),(),(2),2()2(222)2(222(4.4-5) (4.4-6) 第四十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 在上二式中消去 , 可以得到 )2(eff常數222),(),2(21zEkzEk(4.4-7) 或用能流密度表示時, 可得如下關系式 常數SS2(4.4-8) 第四十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-1 相位匹配條件下二次諧波產生規(guī)律00.51.012E0(2, z) / E0(, 0)基波二次諧波SHlz第

27、四十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2. 有效非線性光學系數 1) 有效非線性極化率 在前面求解三波混頻的耦合波方程時, 引入了有效非線性極化率 。 例如, 對于頻率為3的光電場有)2(eff)()()(),()()(: ),()(21321)2(2121)2(3)2(aaaaaaeff(4.4-26) 第四十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-2 o光與e光偏振在各晶軸上的投影 zko偏振e偏振yxO第四十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2） 有效非線性光學系數 在非線性光學中

28、, 除了采用非線性極化率張量(2)描述非線性作用外, 習慣上, 特別是實驗工作者, 更常采用非線性光學系數d描述非線性相互作用。 d與(2)有如下關系6: ),(2),(),(),()2(2121)2(dd(4.4-30) (4.4-31) 第五十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 若用d替代三波混頻耦合波方程中的(2), 同樣可以得到有效非線性光學系數deff: )()(: ),()(21213aadadeff(4.4-32) 它是一個標量, 同樣表征了光混頻中的光波耦合。 表 4.4-1 某些晶類的dl(2)獨立分量數目( 略）. 第五十一頁，共112頁。第第

29、4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.4.2 高斯光束的二次諧波產生 假設基波TEM00模高斯光束的電場由下式表示: .)(21),(1011ccerEtrEti(4.4-42) 式中 )1()arctan(2110)1(110011121111121111),(ibrkzkiibrkzikeeiEeeiEzyxE(4.4-43) 第五十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-3 高斯光束 光束軸光軸xzf晶體lmo第五十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 1) 近場(11)、 不考慮走離效應此時, TEM00

30、模高斯光束電場表達式可簡化為zikbrkeeEzyxE11211001),(4.4-44) 該式表明, 在近場區(qū)高斯光束的波陣面為平面, 因此可以利用平面波情況下的耦合波方程（4.4-1）進行討論, 只是在這里應以 代替方程中的E(1,z), 以2deff代替 。 于是, 耦合波方程為)2(eff12110brkeEkzibrkeffeeEdcnidzdE1212210202(4.4-45) 第五十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 在小信號近似情況下可得 2/)2/sin(2222101202121klkleeEnldiEklibrkeff(4.4-46) 基

31、波高斯光束功率為 222)(22101021021001201020011IEcnrdrdrEcnP(4.4-47) 第五十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2221021021221222202020022)2/()2/(sin82klklPcnndlrdrdEcnPeff(4.4-48) 因此, 二次諧波產生效率為 2221012122122212)2/()2/(sin8klklPcnndlPPeff(4.4-49) 第五十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 由（4.4-46）式可以看出, 二次諧波也是高斯光束, 它的束腰半

32、徑w20為22101120kb(4.4-50) 第五十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2) 近場(11)、 考慮走離效應7 為討論簡單起見, 假定滿足相位匹配條件(k=0), 并假定走離發(fā)生在xOz平面內（見圖4.4-4）, 走離角為。 我們仍只討論小信號近似。 由于考慮的是近場情況, 所以仍可采用平面波耦合方程（4.4-45）, 但是在計算晶體輸出面上的總諧波場時, 積分路徑必須沿著能量傳播方向（與z軸夾角為）。 在這種情況下, 晶體輸出面上某點B(x,y,l)的二次諧波場幅度E02(x,y,l), 應是虛線AB上各點的非線性極化發(fā)射的二次諧波場的疊加。

33、因此, 對方程（4.4-45）式的積分為第五十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-4 考慮走離效應時諧波場的積分路線 OlzAx2B(x,y,l )(x , y , z )第五十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 式中, x, y, z是積分路徑AB上各點的坐標, zdeEdcnilyxElyxbkeff0)(22102022211),(4.4-51) yyzlxx)( (4.4-52) 將（4.4-52）式代入（4.4-51）, 可得 zdeEdcnilyxElybkzlxbkeff02)(2210202211211

34、),(4.4-53) 第六十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 引入歸一化坐標8 allbkltbkzbklxu222)(2111111(4.4-54) 第六十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 式中, la是高斯光束的走離長度, 定義為 1011kbla(4.4-55) 并且定義積分deltuFtu0)(21),(4.4-56) 則（4.4-53）式可表示為 ),(),(2112210202tulFeEdcnilyxEybkeff(4.4-57) 第六十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 3) 一般

35、情況 對于既包括雙折射引起的走離效應, 又包括高斯光束發(fā)散影響的一般情況, 不能直接采用平面波耦合波方程求解。 博伊德(Boyd)和克萊曼(Kleinman)經過詳細證明9, 給出了遠場情況下高斯光束二次諧波產生的效率表示式為),(811021221212BhlkPcnndPPmeff(4.4 - 62)第六十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 式中, B是雙折射參量, 其表示式為211)(21lkB(4.4-63) 是聚焦參數, 表示式為 1bl (4.4-64) 第六十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-5 不同t

36、值下, 函數F2(u,t)的變化曲線 1.00.80.60.40.2010 8 6 4 20 2t =1052.51t =0.5F 2(u, t)u第六十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-6 函數G(t)變化曲線7 10.001.000.100.010.11.010.0100.0G(t)a21/)2(llt第六十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-7 函數hm(B,)在各種B值下與的關系曲線 1.39168421B02.841010210310 110 2110 30.010.11.010hm(B, )第

37、六十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.4-8 函數hmm(B)與B的關系曲線 1.00.80.60.40.20021345678hmm(B)B第六十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 最后, 我們列出各種極限情況下的效率公式: )()()()(),(75. 4482222101021221212fafaafaffaffafaeffllllllllllllllllllllllPcnndPP(4.4-65) 式中, lf稱為高斯光束的有效焦長, 12blf(4.4-66) 第六十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效

38、應二階非線性光學效應 4.5 參參 量量 轉轉 換換 4.5.1 參量轉換的理論分析 在實際情況中, 起頻率轉換作用的強光波E(1)（有時稱為泵浦光）通常都比弱光波（有時稱為信號光）強得多, 所以在頻率轉換過程中, 泵浦光所損失或得到的功率與其總功率相比很小, 因此可忽略其強度的變化, 認為E(1)為常數。 這種近似不僅適用于小的z值, 對所有的z值都適用。 第七十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 根據上面所給出的近似, 我們可以一般地求解 （4.3-17）式和（4.3-18）式。 將（4.3-17）式對z求導, 得kzieffkzieffkeEzEckeEdz

39、zdEckidzzEd)(),()(),(),(13)2(222213)2(2222222(4.5-1) 由（4.3-17）式可以求得 kzieffedzzdEEickzE),()(),(21)2(22223(4.5-2) 式中, lM是由（4.3-41）式定義的特征長度。 第七十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.5.2 參量上轉換 參量上轉換實驗裝置的示意圖如圖4.5-1所示。 第一個觀察到參量上轉換的實驗所利用的非線性晶體是KDP, 紅寶石激光器發(fā)出的激光作為泵浦光, 光脈沖的平均功率為1 kW, 信號光是用水銀燈發(fā)出的譜線, 每條譜線的功率大約為10

40、 mW量級, 所以信號光的強度比泵浦光強度小得多（相差約105倍）。 在實驗中盡可能使之達到相位匹配條件, 得到大約10-9 W的產生波功率, 可見其上轉換效率是很低的。 在這樣小的轉換輸出強度情況下, 上轉換輸出強度與輸入信號強度之間存在著線性關系, 這種關系也正是（4.5-8）式所預示的情況。 第七十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.5-1 參量上轉換實驗示意圖 非線性晶體輸入信號21，211，2，33部分反射鏡濾波器第七十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.5-2 參量上轉換過程的波矢關系 kIRvkLkI

41、RkvIR第七十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.6 參量放大與參量振蕩參量放大與參量振蕩 4.6.1 參量放大 首先應當明確, 在激光放大器和激光振蕩器中, 增益是由原子或分子能級之間的粒子數反轉提供的, 而在參量放大器和參量振蕩器中, 增益則是由非線性介質中光波之間的相互作用產生的。 第七十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 在4.5節(jié)中我們已經知道, 參量上轉換過程中, 原來信號光(2)的強度 限制了從泵浦光(1)輸送到轉換光(3)的功率 。 但是在參量放大的情況下, 限制功率輸送的是泵浦光強度, 因而在參量放大中,

42、有可能輸送更大的能量。 )0(2N)(3zN第七十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 根據以上的說明可以看到, 在耦合波方程(4.3-16)(4.3-18)中的任何一個光電場振幅E(1,z)、 E(2,z)和E(3,z)都不能認為是不變的, 即使是泵浦光E(3,z)， 原則上也可以減小到零, 而同時信號光E(1)和空閑光E(2)得到不斷地增大。但是, 如果只限定討論z值足夠小的情況, 這時雖然信號光和空閑光已可能發(fā)生了顯著的變化, 但泵浦光還未發(fā)生顯著的減小, 則此時仍可把泵浦光E(3)看作常數。 利用這種近似, 我們可以求解方程(4.3-17)式和(4.3-1

43、6)式。 消去E(1,z)后, 可以得到E(2,z)的微分方程為第七十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 0),(1),(),(222222zEldzzdEkidzzEdPA(4.6-1) 式中 130)2(212122212)(21EkkcleffPA(4.6-2) 第七十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 zkleklEEckizEPAkziPAeff21222212231)2(2222221sin211)0 ,()0 ,(),(4.6-3) 和 PAPAPAlzlkshlkNzN212222121)0()(12(4.6-4)

44、 第七十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 再由曼利-羅關系得到 )0()0(2121NNNN常數(4.6-4) 假定開始時, , 則信號光的光子通量為 0)0(2N)0(212121)()0()(1211221222NlklzlkshlkzNNzNPAPAPAPA(4.6-6) 第八十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4.6.2 參量振蕩 圖4.6-1示出了一種對信號光和空閑光雙共振的參量振蕩器的原理結構。 圖中頻率為3的激光作為參量振蕩器的泵浦光, 總的增益將使1和2光波在含有非線性晶體的光學諧振腔內產生振蕩。 第八十一頁，共

45、112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.6-1 雙共振參量振蕩器示意圖 激光介質非線性晶體泵浦激光器振蕩器R1R21R3 0R1R21R3 0第八十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 1. 參量放大基本方程的另一種形式因為hEnhSNEnEnS200020002020)(21)(21)(21因而(n|E0()|2/)與頻率為的光子通量成正比。 令 2220)(4)(EnAEn第八十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 就有關系 AnE21)(4.6-10) 第八十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光

46、學效應二階非線性光學效應 2. 參量振蕩的自洽條件 分析參量振蕩的基本模型如圖4.6-2所示。 為簡單起見, 假定非線性晶體本身作為一個光學諧振腔, 其兩端對信號光和空閑光的反射率為R1,2=|r1,2|2, r為反射系數。 腔鏡對泵浦光是透明的。 第八十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.6-2 推導參量振蕩條件的模型 AaAbAcAdAe泵浦參考平面Aa第八十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 在腔中任一平面z處的信號光可以用下面的行“矢量” 描述: zikzikezAezAzA21)()()(21(4.6-21) 式

47、中, ki=ini/c, A上面的“”表示此矢量是人為假定的。 按(4.6-17)式、 (4.6-19)式和(4.6-21)式, 在非線性晶體內通過腔長l時的 (l)為A第八十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 )0()0()(2)()()()(2)()()()(21)2(0)2(0)2()2(21221121AAlshkilchelshielshielshkilcheelAelAlAlkkilkkilkkilkkiliklik(4.6-22) 如果 (z)在諧振腔內往返一周保持不變, 就表示信號光和空閑光處于穩(wěn)定的振蕩狀態(tài)。 現在就來推導參量振蕩器的振蕩條件。

48、 A第八十八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 3. 參量振蕩器的閾值條件 1) 雙共振參量振蕩器的閾值條件 所謂雙共振參量振蕩器, 就是對頻率為1的信號光和頻率為2的空閑光都有高Q值的振蕩器。 將(4.6-31)式和(4.6-30)式代入(4.6-29)式后, 便得到雙共振情況下的參量振蕩條件為 1)()()( 1)(1)(2102102210201RRlchRRlshRRlchRlchR即 (4.6-32) 第八十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 再利用泵浦強度表示式 )1)(1 ()(210RRlth(4.6-33) 230

49、23003)(21EnS(4.6-34) 及0的定義(4.6-12)式, 可以得到雙共振參量振蕩器的閾值泵浦強度為)1)(1 ()(2)(212)2(022132123003RRlnnnSeffth(4.6-35) 第九十頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2) 單共振參量振蕩器的閾值條件 所謂單共振參量振蕩器， 是指只有一個頻率的光波（如頻率為1的信號光）在腔鏡處被反射返回形成振蕩, 而空閑光2只能在一個方向上傳播的振蕩器, 它的典型原理裝置如圖4.6-3所示。 這是一種非共線相位匹配的情況, 三個波的方向各不相同, 可以將信號光與空閑光分開來。 這樣的非共線相

50、位匹配條件要求213kkk(4.6-39) 第九十一頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.6-3 單共振參量振蕩器結構示意 M1(R1)M2(R2)k1k3k2非線性晶體棱鏡棱鏡泵浦第九十二頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 根據參量振蕩器的振蕩條件(4.6-29)式, 令r2=0, 就有 1)(12021lkielchr(4.6-40) 這就是單共振參量振蕩器的閾值條件。 考慮到(4.6-30)式, 我們又可以把(4.6 - 40)式分解為相位條件mlk2211(4.6-41) 和振幅條件 1)(01lchR(4.6-42)

51、第九十三頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 由此可見, 單共振參量振蕩器振蕩的相位條件(4.6-41)式與雙共振參量振蕩的相位條件(4.6-31)式是相同的, 只是對空閑光的相位2沒有限制。 對于R11的情況, 閾值條件(4.6-42)式又可寫成)1 (2)(10Rlth(4.6-43) 可見, 單共振參量振蕩器的閾值泵浦相對于雙共振參量振蕩器增大了, 且有 20012)()(Rllthth雙單(4.6-44) 第九十四頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 4. 參量振蕩器的頻率調諧 光參量振蕩器的最大特點是其輸出頻率可以在一定范圍內連

52、續(xù)改變, 不同的非線性介質和不同的泵浦源, 可以得到不同的調諧范圍。 當泵浦光頻率3固定時, 參量振蕩器的振蕩頻率應同時滿足頻率和相位匹配條件213213kkk(4.6-45) (4.6-46) 第九十五頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 若三波波矢共線, 則有 221133nnn(4.6-47) 將(4.6-45)式代入, 得 2211213)(nnn因而有 133221nnnn(4.6-48) 第九十六頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 1) 角度調諧 在共線相位匹配的情況下, 假定頻率為3的泵浦光是非常光, 1和2光波是尋常光,

53、 又假定晶體光軸與諧振腔軸之間的夾角為某一角度0時, 在10和20處發(fā)生振蕩, 其折射率分別為n1o和n2o, 則按(4.6-47)式應有 3n3e(0)=10n1o+20n2o (4.6-49) 第九十七頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 現轉動晶體使晶體相對原來的方向轉過角度, 就引起折射率n3e()變化。 為滿足相位匹配條件(4.6-47)式, 1和2必須稍有改變, 這又導致折射率n1o和n2o的改變。 這樣, 相對于0時的振蕩, 新舊振蕩之間有如下的改變: 33n3e(0)n3e(0)+n3n1on1o+n1n2on2o+n21010+12020+2第九十

54、八頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 并且, 根據能量守恒條件(4.6-45)式, 有 -2=1 因為現在要求新的一組頻率滿足(4.6-47)式, 故應有 3(n3e(0)+n3)=(20+2)(n2o+n2) +(10+1)(n1o+n1) 略去n的二階小量, 并利用(4.6-45)式, 可得oonnnnn21220110331(4.6-50) 第九十九頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 圖 4.6-4 信號光頻率1隨的變化曲線 450500600 70010001500波長 / nm024682.52.01.51.0光子能量 / eV0.60.40.200.2 0.4 0.6頻率偏移量 轉動角度/ 第一百頁，共112頁。第第4章章 二階非線性光學效應二階非線性光學效應 2) 溫度調諧 在非臨界相位匹配(m=90)的情況下, 可以通過改變溫度來改變光的折射率, 從而使振蕩頻率發(fā)生變化。 在這種