變系數(shù)常微分方程的解法探討

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目 錄變系數(shù)常微分方程的解法探討數(shù)學計算機學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2013屆 余小艷摘 要：求變系數(shù)常微分方程的解，迄今為止沒有一種確定的方法. 本文通過尋找特解和變量代換等方法得到了一些新的求解一類二階變系數(shù)線性微分方程通解的方法，并討論了一階變系數(shù)線性微分方程和三階變系數(shù)線性微分方程化為常系數(shù)方程的幾個充要條件. 又舉例說明了這些方法的可行性，有效擴充了變系數(shù)微分方程可解范圍. 關鍵詞：變系數(shù)常微分方程；二階變系數(shù)微分方程；通解；變量變換中圖分類號：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential E

2、quation with Variable CoefficientAbstract: So far, there hasnt been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special

3、solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate t

4、he feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations. Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transfor

5、mation專心-專注-專業(yè)變系數(shù)常微分方程的解法探討1 引言常微分方程已經(jīng)成為數(shù)學領域中一項十分重要的學科,并且在求解問題,模型,指導實踐中有著極為廣泛的應用. 二階變系數(shù)線性常微分方程是常微分方程中一類常見的方程，但迄今為止，二階變系數(shù)常微分方程的通解問題在數(shù)學領域內(nèi)并沒有解決. 變系數(shù)線性微分方程在自然科學與工程技術中有著廣泛的應用，因此，研究變系數(shù)線性微分方程的求解方法，具有重要的理論意義和應用價值. 眾所周知，變系數(shù)一階微分方程具有一般的解法，由于在理論研究和實際應用中出現(xiàn)有大量的二階及三階以上的高階變系數(shù)線性微分方程，因此，近年來數(shù)學領域內(nèi)對高階變系數(shù)線性微分方程求解方程的研究，并

6、取得了一些成果. 本文在總結變系數(shù)一階常微分方程解法的同時，著重就二階及三階變系數(shù)線性微分方程的求法進行了探討，最后又給出了這些解法的應用及推廣. 2一階變系數(shù)常微分方程的解法探討 2.1變系數(shù)一階微分方程的幾個可積類型對于一階常微分方程我們常用解法有：分離變量法，變量替換法，積分因子法 ，常數(shù)變易法等.在此，主要討論變系數(shù)一階微分方程的幾個可積類型. 為確定起見，在以下討論中規(guī)定一般的變系數(shù)一階微分方程的標準形式為：y'+P(x)y=Q(x) (2.1)定理2.12 設P,Q,FC',V(x)0,xI,為常數(shù)(0). 如果等式 V'+PV=kQV (2.2) 在I上成

7、立（k為常數(shù)），則方程 y'+Pxy=QxVxFyV (2.3)是可積的. 證明 令 y=u1V,則y'=1u1-1u'V+u1V' (2.4)將（2.2），（2.4）代入（2.3），得1u1-1Vu'+u1-PV+kQV+Pu1=QVFu,u'=QxV-1xu1-1Fu-ku. 屬于可分離變量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可積的. 推論2.1 設P,Q,FC,為常數(shù)（0），則方程y'+Pxy=Qx(e-Fdx)Fye-Fdx (2.5)是可積的.在定理2.1中，令k=0,則V=e-Fdz,即得推論2.1. 利用推論2.

8、1，可以用化歸為可分離變量型的求解方法，統(tǒng)一處理有關類型的一階方程.(1) 奇次方程 y' =fyx (2.6)是（2.5）式，當Px=-1x,=1,Qxx=1時的特例.由定理2.1知，可令y=xu,將（2.6）式化歸為可分離變量型dufu-u=dxx來求解. (2) 線性一階方程 y'+Pxy=Rx (2.7)是(2.5)式，當F=1,=0時的特例.由定理2.1，可令y=ue-Pdx,將（2.7）化歸為du=Rxepdxdx來求解，其中Rx=Qxe-pdx. (3) Bernoulli 方程 y'+Pxy=Qxyn，n0,1. (2.8)這是（2.5）式，在Fu=un

9、n0,1,=1,=n時的特例.由定理2.1知，可令y=ue-pdx,將（2.8）化歸為可分離變量型duun=Qxe1-npdxdx來求解. 推論2.2 設P,Q,RC,Px0,xI.如果存在常數(shù)a,b,c(b0),使得Rce-Qdx+ae-QdxeQdxdx2=bP (2.9)成立，則Riccati方程y'=Pxy2+Qxy+Rx (2.10)是可積的. 證明 將（2.9）式變形為RbP=1e-Qdxc+Pedxdx2令 G=1e-Qdxc+Pedxdx它是Brinoulli方程G'=QG-PG2的通解.顯然，GC',Gx0. 在定理2.1中，令=1,k=-1,Fu=u

10、2+b,應用定理2.1（此時定理中的P=-Q，Q=P，=2），知方程y'-Qy=PG2y2G2+b即（2.10）是可積的. 推論2.3 Q,fC,VC',Vx0,xI, 為常數(shù)0，則一階微分方程 y'-V'Vy=QVf2yV+bfyV+c是可積的，其中a,b,c 為常數(shù)a0. 在定理2.1中，令Px=-V'V,Fu=af2u+bfu+c,即可得推論2.3.定理2.2 設P，Q，F(xiàn)C，fC'，f0，為常數(shù)0，則方程f'yy'+Pxfy=QxFfye-pdx. （2.11）是可積的. 證明 令u=fy，則（2.11）可變形為u'

11、;+Pxu=QxFue-pdx.由定理2.1推論2.1，知（2.11）是可積的. 推論2.4 設P，Q，F(xiàn)C， 為常數(shù)，0，則下列方程都是可積的. y'+Pylny=QyFue-pdx；y'+Py=1Qy1-Fye-pdx；y'+P=Qe-yFe2y+pdx.在（2.11）中，令fy分別等于lny，y，ey 即得結論. 2.2 應用舉例例2.1 解方程 xy'+ay2-by+cx2b=0 (2.12)解 將（2.11）變形為y'-bxy=-x2b-1ay2x2b+c,e-pdx=ebxdx=xb. 由定理2.1，推論2.1知，可令y=uxb,y'

12、=xbu'+bxb-1u.(2.12)可化為u'=-xb-1au2+c，duau2+c=-xb-1dx.兩邊積分，得1acarctgacu=-xbb+c.(2.12)的通解為1acarctgacyxb=-xbb+c. 例2.2 解方程 y'=xy2-yx-20x3 (2.13)解 取a0,b=-20a2,c=0，容易驗證條件（2.9）是滿足的. -20x20x+axx1xdx2=bx ,由定理2.1，推論2.2知G=1ax2，故（2.13）可積. 令 y=uax2，u=ax2 y，,（2.13）變形為u'=1axu+5au-4a，duu+5au-4a=dxax

13、.兩邊積分，得u-4au+5a=Dx9，D為任意常數(shù). u=5aDx9+4a1-Dx9，y=5aDx9+4aax2-aDx11.令a=c1，aD=c2，則y=4c1-5c2x9c1x2+c2x11，y=4-5c'x9x2+c'x11，c'為任意常數(shù)為（2.13）的通解. 3 二階變系數(shù)線性微分方程的解法探討3.1 用求特解的方法求二階變系數(shù)線性微分方程的解眾所周知，Ly=0的通解為y=c1y1x+c2y2x其中，Ly=p0xy''+p1xy'+p2xy,且y1x，y2x線性獨立. 引理3.13 若y1x，y2x為Ly=0之解，則c1y1x+c2y

14、2x仍為Ly=0之解，且y1x/y2xc時，為Ly=0的通解. 引理3.2 若y*x為Ly=fx之一特解，則c1y1x+c2y2x+y*x為Ly=fx之通解. 關鍵性的問題是如何找Ly=0的兩線性無關的解y1x，y2x和Ly=fx的特解y*x. 3.1.1 對變系數(shù)線性二階微分方程 p0xy''+p1xy'+p2xy=0 特解的探索關于變系數(shù)線性二階微分方程 p0xy''+p1xy'+p2xy=0 如何視查其特解，有如下的探索.（1）若 2p0x+p1x+p2x=0，則y=ex為其特解. 特殊地：當=1，即p0x+p1x+p2x=0時，y=ex為

15、其特解. 當=-1，即p0x-p1x+p2x=0時，y=e-x為其特解. 例： xy''+21-xy'+x-2y=0, y=ex為其特解； xy''+1+xy'+y=0, y=e-x為其特解； xy''+1+xy'-6x+2y=0, y=e2x為其特解；（2）若y1xy2x-x,則y=x為其特解；（3）科西-尤拉方程a0x2y''+a1xy'+a2y=0，(a0,a1, a2為常數(shù))令y=e去試探例： 解方程 x2y''+xy'-y=0 令 y=x,a得 -1+-1x=02-

16、1=0，=-1，1故有通解y=c1x-1+c2x. 3.1.2 確定 p0xy''+p1xy'+p2xy=0 的通解定理3.1 若方程 p0xy''+p1xy'+p2xy=0，已知一個特解y1x，則可用公式ux=1y12xe-p1xp0xdxdx確立其另一個特解：y2x=uxy1x,且y2x，y1x線性獨立. 證明 令 y2=y1u, 則 y2'=y1'u+y1u，y2''=y1''u+2y1'u'+y1u''帶入方程整理：p0y1''+p1y'

17、;+p2y1u+2p0y1'+p1y1u'+p0y1u''=0由 p0y1''+p1y'+p2y1=0有 2p0y1'+p1y1u'+p0y1u''=0u''u'=-p1p0-2y1'y1積分 lnu'=-p1p0dx-2lny u'=1y12e-p1p0dx從而 ux=1y12e-p1p0dxdx只要ux不是常數(shù)。則y1，y2線性獨立. 3.1.3 用常數(shù)變易法確定 Ly=fx 的特解 y*x定理3.2 設 p0xy''+p1xy'+

18、p2xy=fx 的特解為y*=c1xy1+c2xy2其中 c1'xy1+c2'xy2=0，c1'xy1'+c2'xy2'=fxp0x y1x，y2x為對應奇次方程Ly=0之特解，且線性獨立，當p0，p1，p2為常系數(shù)仍可用此法求解. 3.1.4 應用舉例例3.1 求 x2y''-2xy'+2y=x3sinx 的通解解 p0x=x2，p1x=-2x，p2x=2p1x/p2x=-xy1=x 是其特解，由公式 y2=y11y12xe-p1xp0xdxdx 有y2=x1x2e2xdxdxx2y''-2xy'

19、+2y=x3sinx 的通解為 y=c1x+c2x2設 x2y''-2xy'+2y=x3sinx 的特解為y*x=c1xx+c2xx2由 c1'xx+c2'xx2 =0，c1'x+2xc2'x=xsinx解出c1x=xcosx-sinx，c2x=-cosx y*=-xsinx x2y''-2xy'+2y=x3sinx 的 通解為 y=c1x+c2x2-xsinx3.2 二階變系數(shù)線性微分方程的積分因子解法43.2.1 關于二階變系數(shù)線性微分方程的積分因子的一些結論定義3.1 對于一階線性微分方程 y'+px

20、y=gx (3.1)若存在非零可微函數(shù)fx,使得方程（3.1）兩端同乘fx后可化為fxy'=fx gx (3.2)則稱 fx 為方程（3.1）的積分因子. 引理3.3 非零可微函數(shù)fx是方程（3.1）的積分因子的充分必要條件是fx=epxdx，此時，方程（3.1）的通解為y=e-pxdxgxepxdxdx+c定義3.2 對于二階線性微分方程 y''+p1xy'+p2xy=gx (3.3) 若存在二階非零可微函數(shù) fx，方程（3.3）兩端同乘 fx 后可化為 fxy''=fx gx (3.4)則稱 fx 為方程（3.3）的積分因子. 定理3.3 二

21、階非零可微函數(shù)fx是方程（3.3）的積分因子的充分必要條件是f'xfx=p1x2，f''xfx=p2x (3.5)此時可取fx=ep1x2dx，方程（3.3）的通解為 y=fxgxdxdx+C1x+C2fx. 證明 必要性 若方程（3.3）存在積分因子fx，則有 fxy''=fx gx. 即y''fx+2y'f'x+yf''x=y''fx+p1xy'fx+p2xyfx,因而，fx必滿足（3.5）. 充分性 由式（3.5），p1x=2f'xfx, p2x=f''

22、xfx,帶入方程 (3.3)，得 y''+2f'xfxy'+f''xfxy=gx，所以有y''fx+2yf'x+f''x= fx gx，即 fxy''=fx gx，故fx為方程（3.3）的積分因子. 定義3.3 若存在二階非零可微函數(shù)f1x，f2x,方程（3.3）兩端同乘f1xf2x后可化為f2xf1xy''=f1xf2xgx (3.6)稱f1x為方程（3.3）的第一積分因子，f2x為方程（3.4）的第二積分因子. 類似引理，定理3.2的討論可得出定理3.3. 定理3.4 若

23、存在二階非零可微函數(shù)f1x，f2x滿足2f1'xf1x+f2'xf2x=p1x，f1'xf1xf2'xf2x+f1''xf1x=p2x （3.7）則 f1xf2x 為方程（3.3）的積分因子.此時方程（3.3）的通解為y=1f2xf1xf2xgxdxdx+C1dx+C2f1x. 3.2.2 討論如何求出 f1x，f2x記 G1x=f1'xf1x，G2x=f2'xf2x ，則 G1'=f1''xf1x-f1'xf1x2，于是 f1''xf1x=G1'x+G12x，帶入（3.7）

24、式 p1x=2G1x+G2x，p2x=G1xG2x+G1'x+G12x，于是G2x=p1x-2G1x （3.8）G1'x=G12x-p1xG1x+p2x （3.9）若能從方程（3.9）中解出G1x，帶入式（3.8）得到 G2x，則f1x=eG1xdx，f2x=eG2xdx. 3.2.3 應用舉例例3.2 解方程 y''+2x2y'+x2+2xy=e-13x解 p1x=2x2，p2x=x4+2x，gx=e-13x取 fx=ex2dx=e13x3，因為 f'xfx=x2=p1x2，f''xfx=x2+2x=p2x,所以fx=e13x3

25、是原方程的積分因子，由定理3.2可知，方程 y''+2x2y'+x2+2xy=e-13x 的解為y=fxgxdxdx+C1x+C2fx=e-13x312x2C1x+C2. 3.3 二階線性變系數(shù)常微分方程的常系數(shù)化解法為確定起見，在以下討論中規(guī)定一般的二階線性齊次常微分方程的標準形式為d2ydx2+Pxdydx+Qxyx=0 (3.10)3.3.1 利用自變量的變換實現(xiàn)常系數(shù)化令x=t，方程（3.10）化為d2ydx2+P1dydx+Q1y=0 P1=P-，Q1=p2，=ddt，=d2dt2 (3.11)可見方程（3.10）關于自變量代換保線性齊次性. 若變換能使方程（

26、3.10）常系數(shù)化，則在式（3.11）中同時有P1=P-=c1 （常數(shù)） (3.12)Q1=p2=c2 (常數(shù)) (2.13)從式（3.13）解得 =c2/Q 并代入（3.12）可得出. 結論1：若方程（3.10）的系數(shù)滿足判別式1=c2QP+Q'2Q=c1 （常數(shù)），Q'=dQdx (3.14)則作變換t=Qc2dx=-1x (3.15)方程（3.10）可常系數(shù)化為d2ydt2+c1dydt+c2y=0 (3.16)注意：(1) 1=常數(shù)，方程（3.10）可常系數(shù)化，變換系數(shù)x=t僅通過式（3.15）由Q確定.若1常數(shù)，方程雖不能經(jīng)自變量代換常系數(shù)化，但變換式（3.15）可使

27、Q1化為常數(shù). (2) 若Q已為常數(shù)，從式（3.14）可知，由于p常數(shù)（若P也是常數(shù)，則式（3.10）已為常系數(shù)方程），p1=1常數(shù)，即經(jīng)自變量的代換不能使式（3.10）常系數(shù)化. (3) 通常選取c2使式（3.15）最簡單. 3.3.2 利用未知函數(shù)的齊次線性變換實現(xiàn)常系數(shù)化5 令yx=hxzx (3.17) 其中hx為x的已知函數(shù)，zx為新的未知函數(shù)，方程（3.10）可化為d2zdx2+p2dzdx+Q2z=0 (3.18)p2=p+2h'h，Q2=Q+ph'h+h''h.h'=dhdx，h''=d2hdx2可見方程（3.10）可變換

28、為式（3.16）保線性齊次性. 若變換式（3.16）能使方程（3.10）常系數(shù)化，則在式（3.17）中同時有p2=p+2h'h=d1 (常數(shù)) (3.19) Q2=Q+ph'h+h''h=d2(常數(shù)) (2.20)從式（3.19）解得hx=e12d2-pdx (3.21)代入式（3.20）可得出結論2:若方程（3.10）的系數(shù)滿足判別式2=Q-12dPdx-14p2=c(常數(shù)) (3.22)則經(jīng)變換式（3.17），（3.11），方程（3.10）可常系數(shù)化為d2zdx2+d1dzdx+d2z=0 (3.23)d2=2-d124 (3.24)注意：(1) 2=常數(shù)，

29、方程（3.10）可經(jīng)未知函數(shù)的線性變換常系數(shù)化，從式（3.21）可知，hx僅由px確定.若2常數(shù)，方程（3.10）雖不能經(jīng)未知函數(shù)的變換常系數(shù)化，但總可根據(jù)式（3.21）選擇 hx，通過變換 y=hx 使式（3.18）的系數(shù) p2 為常數(shù). (2) 若原方程中P已為常數(shù)，從式（3.22）可知2一定不是常數(shù)，（若2為常數(shù)，則Q也是常數(shù)，原方程已是常系數(shù)方程）；即通過未知函數(shù)的線性變換不能使方程（3.10）常系數(shù)化. (3) 通過選取d1使hx得表達式（3.22）最簡單（詳見例題），d2由式（3.22）（3.24）確定. 3.3.3 應用舉例例3.3 將Euler型方程常系數(shù)化x2d2ydx2+a

30、xdydx+by=0,a,b為常數(shù)解 將方程化為標準形式（3.10），P=a/x ，P=b/x2,利用判別式（3.14）1=c2QP+Q'2Q=c2ba-1=常數(shù)c1可以經(jīng)自變量的代換常系數(shù)化，根據(jù)式（3.15）需作變換t=bc2dxx=lnx (取c2=b)當c2=b，c1=a-1,因此，原Euler方程常系數(shù)化為d2ydt2+a-1dydt+by=0例3.4 解 1+x22d2ydx2+2x1+x2dydx+y=0解 方程化為標準形式后P=2x1+x2 ，Q=11+x22根據(jù)式（3.14）檢驗判別式1=0，即 c1=0，方程可以常系數(shù)化，根據(jù)式（3.15）作變換t=1c21+x22

31、dx=tg-1x 或 x=tgt上列運算中已取c2=1.因此，方程常系數(shù)化為d2ydt2+y=0解之得y=acost+bsint, a,b為任意常數(shù). 回到原來的變量xy=acostg-1x+bsintg-1x4 三階變系數(shù)線性微分方程的解法探討為確定起見，在以下討論中規(guī)定一般的變系數(shù)三階微分方程的標準形式為：y'''+pxy''+qxy'+rxy=0 (4.1)下面將給出方程（4.1）經(jīng)自變量代換化為三階常系數(shù)方程的充要條件. 為行文方便，先給出一個引理. 引理3.1 三階線性方程（4.1）經(jīng)自變量代換t=x (4.2)這里函數(shù)x在所論區(qū)間上具

32、有三階連續(xù)導函數(shù)，且x0可化為方程d3ydt3+Atd2ydt2+Btdydt+rx'x-2y=0 (4.3)其中 At=x-23''x+px'x， （4.4） Bt=x-3'''x+px''x+qx'x (4.5)而 x 以t=x在所論區(qū)間上的反函數(shù)代人. 4.1方程（4.1）化為常系數(shù)方程的一種充要條件設在所論區(qū)間上，rx0. 由引理4.1立即可得下述引理4.2. 引理4.2 自變量代換（4.2）將方程（4.1）化為三階常系數(shù)線性方程的必要條件是t=x=3Crxdx (4.6)(這里C為適當選取的非零函數(shù)，以使

33、代換最簡單). 在此帶換下，方程（4.1）化為d3ydt3+Atd2ydt2+Btdydt+1Cy=0, (4.7)其中 At=c-13r-43xr'x+pxrx， （4.8）Bt=13c-23r-53r''x+pxr'x+3qxrx-2r'2x3rx (4.9)而 x 以（4.6）之反函數(shù)代人. 定理4.16三級線性方程（4.1）經(jīng)自變量代換（4.6）化為三階常系數(shù)方程d3ydt3+A3Cd2ydt2+B3C2dydt+1Cy=0 (4.10)的充分必要條件是 px 連續(xù)可微且rx=e-pxdxC1-A3e-13pxdxdx-3 (4.11)qx=13

34、p'x+29p2x+B-29A2r23x (4.12)同時成立，其中C1是任意給定的常數(shù). 證明 必要性 設在方程（4.7）中有At=AC-13，Bt=BC-23，則由（4.8）（4.9）兩式分別得r'x+pxrx=Ar43x (4.13)r''x+pxr'x+3qxrx-2r'2x3rx=3Br53x (4.14)(4.13)是關于rx的貝努利（Bernoulli）方程，由此即知（4.11）式成立，再由（4.14）式解出qx，并注意到可由（4.13）式得到r''x+pxr'x=-p'xrx+43Ar13xr

35、9;x 及 r'xrx=-px+Ar13x則又有13p'x-49Ar13xr'xrx+29r'xrx2+Br43x =13p'x+29r'xrxr'xrx-2Ar13x+ Br43x =13p'x+29-px+Ar13x-px-Ar13x+ Br43x =13p'x+29p2x+B-29A2r23x. 充分性證明從略，定理4.1證畢. 推論4.1 方程（4.1）經(jīng)代換（4.6）化為常系數(shù)方程d3ydt3+1cy=0的充分必要條件是rx=3e-pxdx0，qx=13p'x+29p2x此時，若取c=-3,則所用代換（4.6）也可表為t=e-13pxdxdx. (4.1