因式分解培優(yōu)題(超全面、詳細(xì)分類)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上因式分解專題 培優(yōu)把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下：因式分解的一般方法及考慮順序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、配方法、待定系數(shù)法3、考慮順序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分組分解法一、運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2b2=(a+b)(ab)；(2)a2±2ab+b2=(a

2、77;b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)；(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)，其中n為正整數(shù)；(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系

3、數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例題1 分解因式：(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2)x38y3z36xyz；(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab；(4)a7a5b2+a2b5b7例題2 分解因式：a3+b3+c33abc例題3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：(2) x10+x52(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2x5(5) 9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6) (a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1xy)1二、分組分解法（一）分組后能直接提公因式例題1 分解因式：分析

4、：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系.此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提.例題2 分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：1、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式例題3 分解因式： 例題4 分解因式： 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：3、 4、綜合練習(xí)題 分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12） （13） （14）（15） （16）（17）

5、三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解. 特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和.例題1 分解因式：例題2 分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例題3 分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例題4 分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解. 1 8b 1 16b 8b+(16b)= 8

6、b對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：(1) (2) (3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例題5 分解因式： 例題6 分解因式： 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)題 分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）思考：分解因式：2、雙十字相乘法定義：雙十字相乘法用于對(duì)型多項(xiàng)式的分解因式.條件：（1），（2），即： ，則例題7 分解因式： （1） （2）解：（1）應(yīng)用雙十字相乘法： ，原式= （2）應(yīng)用雙十字相乘法： ，原式=對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：（1） （2）3、十字相乘法進(jìn)階例題8 分解因式：例題9 分解因式：四、主元法例題 分解因式： 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解

7、因式： (1) (2) (3) (4)五、換元法 換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例題1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12例題2 分解因式：例題3 分解因式： 分析：型如的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘.例題4 分解因式：.例題5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90例題6 分解因式：提示:可設(shè)，則. 例題7 分解因式：例題8 分解因式：例題9 分解因式：例題9對(duì)應(yīng)練習(xí) 分解因式：例題10 分解因式：(x2+xy+y2)24xy(x2+y2)分析：本題含有兩個(gè)字母，且

8、當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式例題11 分解因式：分析：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”.這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法.例題11對(duì)應(yīng)練習(xí) 分解因式：6x4+7x336x27x+6例題11對(duì)應(yīng)練習(xí) 分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1 （2）（3） （4）（5） （6） （7） （8）(x+3)(x21)(x+5)20（9） （10） (2x23x+1)22

9、2x2+33x1（11） （12） （13）六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解說(shuō)明 用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例題1 分解因式：x39x+8例題2

10、分解因式：(1)x9+x6+x33；(2)(m21)(n21)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3bab3+a2+b2+1 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）x3+3x24 （8）x411x2y2+y2（9）x3+9x2+26x+24 （10）x412x+323（11）x4x21； （12）x311x20； （13）a5a1 (14) (15)七、待定系數(shù)法例題1 分解因式：分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式：（1） （2）2x23xy9y214x3y20（3） （4）例題2 （1）當(dāng)為何值時(shí)，

11、多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式. （2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值.（3）已知：能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式.（4）為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式.八、余式定理（試根法）1、的意義：已知多項(xiàng)式，若把用帶入所得到的值，即稱為在=的多項(xiàng)式值，用表示.2、被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系：設(shè)多項(xiàng)式除以所得的商式為，余式為，則：=×+3、余式定理：多項(xiàng)式除以之余式為；多項(xiàng)式除以之余式.例如：當(dāng) f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 時(shí)，則=f(1)=12+1+2=4.當(dāng)除以時(shí)，則=.4、因式定理：設(shè)，為關(guān)于的多項(xiàng)式，則為的因式；為的因式.整系數(shù)一

12、次因式檢驗(yàn)法：設(shè)f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式，若axb為f(x)之因式(其中a , b 為整數(shù) , a0 , 且a , b互質(zhì))，則（1）（2）( ab )例題1 設(shè)，試問(wèn)下列何者是f(x)的因式？ (1)2x1 ，(2) x2，(3) 3x1，(4) 4x1，(5) x1，(6) 3x4例題2 把下列多項(xiàng)式分解因式：(1) (2) (3) （4）（5）課后作業(yè)分解因式：（1）x44（2）4x331x15 （3）3x37x10 （4）x341x30（5）x34x29 （6）x35x218（7）x36x211x6（8）x33x23x7（9）x311x231x21（10）x41987x21986x198

13、7 （11）（12）（13）x33x2y3xy22y3 （1412）x39ax227a2x26a3 （15）（16）（17）（18）（19）x4x2y2y4 （20）x423x2y2y4 （21）a3b33(a2b2)3(ab)2（22）（23）.（24）（25）（26）（27）（28）x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz（29）因式分解的應(yīng)用1、證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的的乘積加1是整數(shù)的平方.2、2n1和2n+1表示兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)(n是整數(shù))，證明這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除3、已知可以被60與70之間的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)整數(shù).4、已知7241可被40至50之間的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)整數(shù).5、求證：能被45整除.6、求證：14+1能被197整除7、設(shè)4xy為3的倍數(shù)，求證：4x+7xy2y能被9整除8、已知=7，求整數(shù)x、y的值9、求方程的整數(shù)解.10、求方程xyxy1=3的整數(shù)解11、求方程4x24xy3y2=5的整數(shù)解12、兩個(gè)小朋友的年齡分別為a和b，已知a2ab=99，則a=_，b=_ . 13、 計(jì)算下列各題： (1)23