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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上因式分解專題 培優(yōu)把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下:因式分解的一般方法及考慮順序:1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法2、常用方法與技巧:換元法、主元法、拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、配方法、待定系數(shù)法3、考慮順序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分組分解法一、運(yùn)用公式法在整式的乘、除中,我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式,現(xiàn)將其反向使用,即為因式分解中常用的公式,例如:(1)a2b2=(a+b)(ab);(2)a2±2ab+b2=(a

2、77;b)2;(3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2);(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca);(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1),其中n為正整數(shù);(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2+abn2bn1),其中n為偶數(shù);(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2abn2+bn1),其中n為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí),要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn),根據(jù)字母、系

3、數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例題1 分解因式:(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4;(2)x38y3z36xyz;(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab;(4)a7a5b2+a2b5b7例題2 分解因式:a3+b3+c33abc例題3 分解因式:x15+x14+x13+x2+x+1對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(2) x10+x52(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2x5(5) 9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6) (a-b)2-4(a-b-1)(7)(x+y)3+2xy(1xy)1二、分組分解法(一)分組后能直接提公因式例題1 分解因式:分析

4、:從“整體”看,這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提,也不能運(yùn)用公式分解,但從“局部”看,這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都含有b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組,后兩項(xiàng)分為一組先分解,然后再考慮兩組之間的聯(lián)系.此類型分組的關(guān)鍵:分組后,每組內(nèi)可以提公因式,且各組分解后,組與組之間又有公因式可以提.例題2 分解因式:對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:1、 2、(二)分組后能直接運(yùn)用公式例題3 分解因式: 例題4 分解因式: 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:3、 4、綜合練習(xí)題 分解因式:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) (13) (14)(15) (16)(17)

5、三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解. 特點(diǎn):(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1; (2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積;(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和.例題1 分解因式:例題2 分解因式:對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2) (3) (4) (5) (6)(二)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件:(1) (2) (3) 分解結(jié)果:=例題3 分解因式:對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2) (3) (4)(三)二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例題4 分解因式:分析:將看成常數(shù),把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式,利用十字相乘法進(jìn)行分解. 1 8b 1 16b 8b+(16b)= 8

6、b對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2) (3)(四)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例題5 分解因式: 例題6 分解因式: 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2)綜合練習(xí)題 分解因式:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)思考:分解因式:2、雙十字相乘法定義:雙十字相乘法用于對(duì)型多項(xiàng)式的分解因式.條件:(1),(2),即: ,則例題7 分解因式: (1) (2)解:(1)應(yīng)用雙十字相乘法: ,原式= (2)應(yīng)用雙十字相乘法: ,原式=對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2)3、十字相乘法進(jìn)階例題8 分解因式:例題9 分解因式:四、主元法例題 分解因式: 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解

7、因式: (1) (2) (3) (4)五、換元法 換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體,并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算,從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例題1 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)12例題2 分解因式:例題3 分解因式: 分析:型如的多項(xiàng)式,分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘.例題4 分解因式:.例題5 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90例題6 分解因式:提示:可設(shè),則. 例題7 分解因式:例題8 分解因式:例題9 分解因式:例題9對(duì)應(yīng)練習(xí) 分解因式:例題10 分解因式:(x2+xy+y2)24xy(x2+y2)分析:本題含有兩個(gè)字母,且

8、當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí),多項(xiàng)式保持不變,這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式,經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式例題11 分解因式:分析:此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列,每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1,并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”.這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”方法:提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù),保留系數(shù),然后再用換元法.例題11對(duì)應(yīng)練習(xí) 分解因式:6x4+7x336x27x+6例題11對(duì)應(yīng)練習(xí) 分解因式:對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1)x4+7x3+14x2+7x+1 (2)(3) (4)(5) (6) (7) (8)(x+3)(x21)(x+5)20(9) (10) (2x23x+1)22

9、2x2+33x1(11) (12) (13)六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí),整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí),需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng),即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng),前者稱為拆項(xiàng),后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解說(shuō)明 用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí),要拆哪些項(xiàng),添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī),主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察,靈活變換,因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例題1 分解因式:x39x+8例題2

10、分解因式:(1)x9+x6+x33;(2)(m21)(n21)+4mn;(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4;(4)a3bab3+a2+b2+1 對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)x3+3x24 (8)x411x2y2+y2(9)x3+9x2+26x+24 (10)x412x+323(11)x4x21; (12)x311x20; (13)a5a1 (14) (15)七、待定系數(shù)法例題1 分解因式:分析:原式的前3項(xiàng)可以分為,則原多項(xiàng)式必定可分為對(duì)應(yīng)練習(xí)題 分解因式:(1) (2)2x23xy9y214x3y20(3) (4)例題2 (1)當(dāng)為何值時(shí),

11、多項(xiàng)式能分解因式,并分解此多項(xiàng)式. (2)如果有兩個(gè)因式為和,求的值.(3)已知:能分解成兩個(gè)一次因式之積,求常數(shù)并且分解因式.(4)為何值時(shí),能分解成兩個(gè)一次因式的乘積,并分解此多項(xiàng)式.八、余式定理(試根法)1、的意義:已知多項(xiàng)式,若把用帶入所得到的值,即稱為在=的多項(xiàng)式值,用表示.2、被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系:設(shè)多項(xiàng)式除以所得的商式為,余式為,則:=×+3、余式定理:多項(xiàng)式除以之余式為;多項(xiàng)式除以之余式.例如:當(dāng) f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 時(shí),則=f(1)=12+1+2=4.當(dāng)除以時(shí),則=.4、因式定理:設(shè),為關(guān)于的多項(xiàng)式,則為的因式;為的因式.整系數(shù)一

12、次因式檢驗(yàn)法:設(shè)f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式,若axb為f(x)之因式(其中a , b 為整數(shù) , a0 , 且a , b互質(zhì)),則(1)(2)( ab )例題1 設(shè),試問(wèn)下列何者是f(x)的因式? (1)2x1 ,(2) x2,(3) 3x1,(4) 4x1,(5) x1,(6) 3x4例題2 把下列多項(xiàng)式分解因式:(1) (2) (3) (4)(5)課后作業(yè)分解因式:(1)x44(2)4x331x15 (3)3x37x10 (4)x341x30(5)x34x29 (6)x35x218(7)x36x211x6(8)x33x23x7(9)x311x231x21(10)x41987x21986x198

13、7 (11)(12)(13)x33x2y3xy22y3 (1412)x39ax227a2x26a3 (15)(16)(17)(18)(19)x4x2y2y4 (20)x423x2y2y4 (21)a3b33(a2b2)3(ab)2(22)(23).(24)(25)(26)(27)(28)x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz(29)因式分解的應(yīng)用1、證明:四個(gè)連續(xù)整數(shù)的的乘積加1是整數(shù)的平方.2、2n1和2n+1表示兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)(n是整數(shù)),證明這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除3、已知可以被60與70之間的兩個(gè)整數(shù)整除,求這兩個(gè)整數(shù).4、已知7241可被40至50之間的兩個(gè)整數(shù)整除,求這兩個(gè)整數(shù).5、求證:能被45整除.6、求證:14+1能被197整除7、設(shè)4xy為3的倍數(shù),求證:4x+7xy2y能被9整除8、已知=7,求整數(shù)x、y的值9、求方程的整數(shù)解.10、求方程xyxy1=3的整數(shù)解11、求方程4x24xy3y2=5的整數(shù)解12、兩個(gè)小朋友的年齡分別為a和b,已知a2ab=99,則a=_,b=_ . 13、 計(jì)算下列各題: (1)23

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