基本不等式完整版(非常全面)

1、實用標準基本不等式專題輔導文檔(2)若 a,b w R ,則 ab w1a;b2一、知識點總結1、基本不等式原始形式(1)若 a,b w R ,則 a2 +b2 之2ab2 八2(2)若 a,b w R,則 ab 十a(chǎn)2、已知a, b, c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 b2 c2 ab bc ca3、已知 a+b+c = 1,求證：a2+b2+c2134、已知 a,b,cw R* ,且 a+b + c = 1 ,求證：(1-a)(1 -b)(1 -c) _8a b c5、已知 a,b,c R+ ,且 a+b + c = 1 ,求證：6、(2013年新課 標n卷數(shù)學(理)選修45:不等式選.講

2、2,22a b c (n ) - - 1.b c a4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結論1(1)若x A0 ,則x +之2 (當且僅當x=1時取“二”) x1 .(2)若x04Ug+b殳2 (當且僅當 a=b時取=”) b a.2. 2(4)若 a,b w R,則 ab (-ab)2 a2 2(5)若 a,bWR*,貝U，E7abwW a2 +b21 122a b特別說明：以上不等式中，當且僅當 a=b時取“二”6、柯西不等式1-1 -1-1 .1 a b c設a,b,c均為正數(shù)，且a+b + c = 1,證明:1(I) ab + bc+ca 0 ,求證：2a3 b3 2 2a

3、b2 a2b(1)若 abed R ，則(a24b2(c2 右2) 4ac 出)2 若 a1,a2，a3)b1，b2，b3 eR ,則有: (a； a22 a32)(1b12 b22 b32) 一 g a2b2 徭4)2(3)設研e2, 14與b1,b2, 1bn是兩組實數(shù)，則有題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域21(1) y=3x +-2(2)y = x(4 x)2x(a12a22, an2)(b12b22，bn2)一(ag,a2b2，)2-11 .(3) y=x+-(x0)(4) y=x + -(x0)xx一， 52、已知x 2 ,求函數(shù)y =2x -4+的最小值;2x-4題

4、型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）1、當0M力4時，求y = x（8 - 2x）的最大值；變式1：當口 木2,求函數(shù)y=2x+的最小值;2x -44變式2：已知x2,求函數(shù)y=2x+的最大值;2x -43變式2：設0 x 一 ,求函數(shù)y = 4x（3 一 2x）的最大值。22、若 0x,求函數(shù)y =4x-2 +1 的取小值;44x -5法二:變式：若0x4,求y = x(82x)的最大值;3、求函數(shù)y = %2x -1 +中52x(2x 0, a +2b = 2,求t= 十 的最小值;a b2 8.一一變式2：已知x, yA0, +=1,求xy的最小值;x y變式：求函數(shù)y =44x-3

5、+*,11-4x(3 x 0,且一+ = 9,求x + y的最小值。x y題型五：巧用“ 1”的代換求最值問題一 . 八 ,111、已知a, b 0, a + 2b =1 ,求t = 十的最小值;a b19變式4：已知x, y 0 ,且一+ = 4 ,求x + y的最小值;x y法一:、,-x 8, 八變式：求函數(shù)y =8 (x 1)的值域;x -1變式5:11(1)若x, y A0且2x + y =1 ,求+的最小值；x y(2)若a,b, x, y w R +且a +P =1,求 x + y 的最小值;x y2、求函數(shù)y=x12的最大值；(提示：換元法)2x 5變式6：已知正項等比數(shù)列 Q

6、n滿足：a7=a6+2a5,若14存在兩項am,an,使得JamHn =4百，求一十一的最小值；m nx 1變式： 求函數(shù)y =的最大值;4x 9題型六：分離換元法求最值(了解)2，一一 x2 7x 10 ,1、求函數(shù) y =(x #-1)的值域;x 1題型七：基本不等式的綜合應用1、已知log2 a+ log2 b之1,求3a +9b的最小值2、（2009天津）已知a,b 0,求1 +1 +2 JOB的最小值;a b變式1:已知a,b 0 ,滿足ab = a+ b + 3,求ab范圍;變式1 ： （2010四川）如果a b 0 ,求關于a,b的表達,、211 一 一式a +的最小值；ab a

7、（a -b）11變式2: （2010山東）已知x, y 0 , +2 x 2 y求xy最大值；（提示：通分或三角換元）變式2： （2012湖北武漢診斷）已知，當 a0, a#1時,函數(shù)y =loga（x-1）+1的圖像恒過定點 A ,若點A在直變式3： （2011浙江）已知 x, y A0, x2 + y2+xy = 1,求xy最大值;線mx y +n =0上，求4m +2n的最小值;3、已知 x, y 0 , x+2y+2xy=8,求 x+2y 最小值;4、（ 2013 年山東2 一2x -3xy 4y（理）設正實數(shù)x, y,z滿足z = 0 ,則當&取得最大值z-,212時，一* 一 一的

8、最大值為（）x y zA. 0 B. 1 C .9 D . 34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）11 n2、已知 XAyZA0且+之恒成立,x - y y-z x - z如果nW N 求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）2變式：設x, y, z是正數(shù)，滿足x2y+3z=0,求y的 xz最小值；1 4變式：已知a,b 0滿則十？ = 2 ,右a + b之c恒成立,a b求c的取值范圍；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1 a, 一1、（2012 沈陽檢測）已知 x,y A0,且（x +y）（+a）之9x y恒成立，求正實數(shù) a的最小值；題型九：利用柯西不等式求最值1

9、、二維柯西不等式 .a b（a, b, c, d二R,當且僅當一=一；即ad =bc時等萬成立）c d若 a,b,c,d w R,則（a2+b2）（c2 + d2）之（ac+ bd）2此“-2x 二32、二維形式的柯西不等式的變式(1)0,當且僅當一=一；即ad =bc時等可成立)c d析：(x - 2y 2z)2 三(x2 y2 z2)12 (-2)2 22=4 9 = 36，x2y+2z最小值為-6-234-4，y = 一, z =332222、設 x,y, z=R, 2x y2z = 6,求 x+y +z 的最小彳t m ,并求此時x, y,z之值。.,、，424、Ans ： m =4;

10、(x,y,z) =(-, , )3333、二維形式的柯西不等式的向量形式支 a P（當且僅當百=0,或存在實數(shù)卜,使7=卜7時，等號成立）4、三維柯西不等式若 a,a2,a3,h,b2,b3 WR,則有：(a； a22 232)(心2 b22 b32) 一 (劣匕 a2b2 %b3)2(ai ,bi w R,當且僅當a1 = % = a3時等號成立) b1132b35、一般n維柯西不等式設為色，與b也，,bn是兩組實數(shù)，則有：,222、 2222(ai a2 an ) (bi b2 bn)_(aib , a2b2 , anbn)3、設 x, y,zw R , 2x3y + z = 3,求 x2 + (y 1)2 + z2之最小值為,此時y=(析：2x 3y+z = 3u 2x 3( y 1) + z = 0 )（a”bi wr,當且僅當曳=生士一員時等號成立） bib2bn題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設 x, y,zw R ,若 x2 +y2 +z2 = 4,則 x2y+2z 的最小值為 時，（x, y, z） = 4、(2013 年湖南卷(理)已知 a,b,cw,a+2b +3c = 6,222貝U a +4b +9c的最小值是( Ans:12 )5、（2013年湖北卷（理）設