第11講.全等三角形中的倍長類中線.學(xué)生版

1、板塊考試要求A級要求B級要求C級要求全等三角形 的性質(zhì)及判 士 7E會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)， 會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡 單問題會運(yùn)用全等三角形的性 質(zhì)和判定解決有關(guān)問題知識點(diǎn)睛）三角形中線的定義： 三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一 （底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義： 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理： 經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊.中線中位線相關(guān)問

2、題（涉及中點(diǎn)的問題）見到中線（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理（以后還要學(xué)習(xí)中線長公式 ），尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見.,*駢p * 丁 卷重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后 證明三角形問題的基礎(chǔ)，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時(shí)全等三角形的判定也是 本章的重點(diǎn)，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時(shí)，HL的判定是整個直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理以及中線的靈活應(yīng)用。為了能熟練 的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾 個是條件，決定哪個結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)

3、符號表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化.djr*TmW工* *山* q *4* *奪* *版塊一、倍長中線i【例1】 已知： ABC中，AM是中線.求證： AM (AB AC).2【鞏固】(2002年通化市中考題)在 ABC中，AB 5,AC 9,則BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【例2】如圖， ABC中，ABAC , AD是中線.求證：DAC DAB.【例3】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點(diǎn)，延長 BE交AC于F, AF EF , 求證：AC BE.例4 如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF / AD交CA的延長線于點(diǎn) F

4、,交EF 于點(diǎn)G ,若BG CF ,求證：AD為 ABC的角平分線.例5 已知 ABC, /B=/C, D, E分別是 AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且 BD=CE,連接DE交底BC于 G,求證 GD=GE.例6 已知 AM為 ABC的中線，AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交 AC于F .求證:BE CF EF .AM例7 在Rt ABC中， A 90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED FD .以 線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角 三角形？【鞏固】如圖所示，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DM垂直于DN ,如果

5、BM 2 CN2 DM 2 DN 2,求證2122AD - AB AC .4例8 （2008年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試）已知：如圖，梯形 ABCD中，AD II BC ,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BE的延長線與 AD的延長線相交于點(diǎn) F .求證： BCE FDE .A DF【例9 （浙江省2008年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試（湖州市 激學(xué)t卷）如圖，在 ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn) , E分別是AD及其延長線上的點(diǎn)，CF II BE.求證： BDE CDF .【例10 （2008年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽 初二組）在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿足 DFE 90 .若

6、AD 3, BE 4,則線段DE的長度為.【例11如圖所示，在 ABC和 ABC中，AD、AD分別是BC、BC上的中線，且AB AB , AC AC , AD AD ,求證 ABC ABC .【例12如圖所示， BAC DAE 90, M是BE的中點(diǎn)， AB AC , AD AE ,求證 AM CD .DBF交版塊二、中位線的應(yīng)用【例13】AD是 ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF的延長線交AC于E .求證：AE3ac【鞏固】已知在 ABC中，AD是中線，P是AD上的任意一點(diǎn)， CF / AB且交BP的延長線于點(diǎn)F2AC 于 F ,求證 PB PEgPF .【例14如圖所示，在 ABC中，AB

7、 AC,延長AB至iJ D ,使BD AB , E為AB的中點(diǎn)，連接 CE、CD , 求證CD 2EC .【鞏固】已知 ABC中，AB=AC, BD為AB的延長線，且 BD=AB, CE為 ABC的AB邊上的中線.求證CD=2CEEB【例15 已知：ABCD是凸四邊形，且 于N, AC和BD交于G點(diǎn).AC/ GNM .1【例16在 ABC中， ACB 90 , AC BC ,以BC為底作等腰直角BCD, E是CD的中點(diǎn)，求證:2AE EB 且 AE BE .【例17 如圖，在五邊形 ABCDE中，ABC AED 90 , BAC EAD,F為CD的中點(diǎn).求證：BF EF .【例18】（祖沖之杯

8、”數(shù)學(xué)競賽試題，中國國家集訓(xùn)隊(duì)試題）如圖所示，P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PAC PBC,過P作PM AC于M, PL BC于L, D為AB的中點(diǎn)，求證 DM DL .D【例19（全國數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題）如圖所示，在 ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA、CB到點(diǎn)E、F, 使DE DF .過E、F分別作直線CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P,設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為 M、 N .求證：（1） DEM 色 FDN ;（2） PAE PBF .CBDANMEEFP【例20 已知：在4ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形 ABM ,和CAN, P是邊BC的中點(diǎn).求 證：PM=PN（1991年泉州

9、市初二數(shù)學(xué)雙基賽題 ）N【例21已知，如圖四邊形 ABCD中，AD BC , E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，AD、EF、BC的延長 線分別交于 M、N兩點(diǎn). 求證： AME BNE .【鞏固】（2009年大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試）已知：在 ABC中，BC AC ,動點(diǎn)D繞 ABC 的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且 AD BC ,連結(jié)DC .過AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線 AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N .M如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn) N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H ,連結(jié)HE、 HF ,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論AMFBNE （不需證明）. 當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)

10、到圖2或圖3中的位置時(shí)，AMF與 BNE有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明.【例 22如圖，AEXAB, BCXCD,且 AE=AB, BC=CD , F 為 DE 的中點(diǎn)，F(xiàn)M AC.證明：FM=- AC2,EH【鞏固】（2004全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖，梯形 ABCD中，AD/BC,分別以兩腰 AB、CD為邊向兩邊作正方 形ABGE和正方形DCHF .設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點(diǎn)M .求證：點(diǎn)M為EF的中八、l服藜一家庭作業(yè)）【習(xí)題1】如圖，在等腰 ABC中，AB AC, D是BC的中點(diǎn)，過 A作AE DE , AF DF ,且AE AF . 求證： EDB FDC .【習(xí)題2】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE AC,延長BE交AC于 F, AF與EF相等嗎？為什么？【習(xí)題3】如右下圖，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E為BC邊的中點(diǎn).求證： AB 2DE .D