用數(shù)學(xué)建模方法解決哥尼斯堡七橋問題

1、標(biāo)簽:標(biāo)題篇一：哥尼斯堡七橋問題教學(xué)實(shí)錄“哥尼斯堡七橋問題”教學(xué)實(shí)錄一、 創(chuàng)設(shè)情境，激趣引思1 .故事引入師：這節(jié)課，我們先來聽一個(gè)數(shù)學(xué)小故事吧。（課件播放，如圖1,教師相機(jī)板書課題）師：這個(gè)問題困擾了當(dāng)?shù)鼐用窈荛L時(shí) 司，大家紛紛來到小島上試圖找到答案，但都無功而返。因?yàn)楦鶕?jù)計(jì)算，每次都走完七座橋的所有走法共有5040種，這么多怎么走得完呢 ？后來有人寫信向當(dāng)時(shí)公認(rèn)的“天才數(shù)學(xué)家”歐拉請(qǐng)教。歐拉親自來到小島上實(shí)地考察，也未找到答案。但他是一個(gè)不向困難低頭的人，經(jīng)過一年的研究，終于解決了這個(gè)問題。原來他將七橋問題題轉(zhuǎn)化為一筆畫問題，才順利找到答案的。（教師板書：一筆畫）2 .釋疑。師：誰能根據(jù)你

2、的理解，來說一說什么是一筆畫？（教師請(qǐng)一個(gè)學(xué)生上臺(tái)畫圖說明 ）師：（利用課件動(dòng)態(tài)演示）像長方形、正方形、三角形等都能夠一筆畫出。（并結(jié)合長方形介紹：兩條線相交的點(diǎn)，叫做交點(diǎn)。如圖2）交點(diǎn)師：哥尼斯堡七橋問題，大家可能覺得有點(diǎn)復(fù)雜。我們先從簡單的圖形人手，來探究一筆畫中的學(xué)問。二、自主探究，合作交流交點(diǎn)（一）探究活動(dòng)一。1.探究。 圖2師：下面請(qǐng)二人小組合作，共同完成探究記錄單，首先請(qǐng)看活動(dòng)要求。（課件出示記錄單和活動(dòng)要求）活動(dòng)要求：（1）試一試，在空白處畫一畫，判斷圖形能否一筆畫出，并在相應(yīng)的口里打。（2）對(duì)于能夠一筆畫出的圖形，請(qǐng)沿不同交點(diǎn)出發(fā)，探索它有幾種不同的畫法。（學(xué)生探究，教師巡視指

3、導(dǎo)）3 .交流。師：很多小組都已經(jīng)有答案了，誰來匯報(bào)一下你們探究的結(jié)果？生1: 1號(hào)圖是不能一筆畫出的，因?yàn)樗鼈兪欠珠_的。師：誰聽懂了他的意思？生2:他是說1號(hào)圖中的三個(gè)“口”沒有連通起來。師：是啊，像1號(hào)圖這樣，各個(gè)部分沒有連通起來，就不可能一筆畫出。這說明要能夠一筆畫出，它各個(gè)部分之間必須是連通的。畫出。（板書：必須是連通圖）接下來，誰繼續(xù)匯報(bào)？生3: 2號(hào)圖是可以一筆畫出的。師：是嗎？你能到黑板上畫一下嗎 ？（學(xué)生上臺(tái)畫圖，教師提示他在起點(diǎn)處標(biāo)上字母“ A”,如圖3）圖3師：很好！他剛才是從A點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了這個(gè)平行四邊形。 那么，只能從A點(diǎn)出發(fā)嗎？生4:從其他交點(diǎn)出發(fā)也可以。（大家紛

4、紛贊同）師：你們都實(shí)驗(yàn)過嗎？的確，這個(gè)平行四邊形無論從哪個(gè)交點(diǎn)出發(fā)，都可以一筆畫出來。那么3號(hào)圖可以一筆畫出來嗎 ？生5:可以的。（教師請(qǐng)生5上臺(tái)畫圖，教師給生 5畫的圖各交點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖 4）師：真厲害，他的確是一筆畫出的。我發(fā)現(xiàn)他是從E點(diǎn)出發(fā)畫的。那么這幅圖還能從其他交點(diǎn)出發(fā)畫出來嗎？B生6:我還可以從 F點(diǎn)出發(fā)，也可以一筆畫出。F師：還有其他畫法嗎？生7:我還可以從 A點(diǎn)出發(fā)。（教師請(qǐng)生7上臺(tái)畫，生7嘗試了多種路徑，均未成功 ）師：（摸著生7的頭）我很佩服他，雖然他最后沒有成功，但是他這種執(zhí)著探索的勇氣還是可嘉的。從A點(diǎn)出發(fā)不可以，還有哪些點(diǎn)也會(huì)出現(xiàn)這樣的狀況呢？生8:我認(rèn)為，從B、C

5、、D點(diǎn)出發(fā)也是不能一筆畫成的，因?yàn)樗鼈兒虯點(diǎn)所處的位置是相似的。師：很好，你真是善于觀察！那你們有沒有想過，雖然 2號(hào)圖和3號(hào)圖都能一筆畫成，但是2號(hào)圖可以從任意一點(diǎn)出發(fā)，而 3號(hào)圖只能從E點(diǎn)和F點(diǎn)出發(fā)才可以一筆畫出，這里面有沒有什么奧秘呢？（學(xué)生陷入沉思。片刻之后，漸漸地有幾只小手舉起來）生9:因?yàn)槟莻€(gè)“日"字形狀的圖形里面多了一橫。師：（裝糊涂）什么意思？你能具體解釋一下嗎 ？生9:就是說本來畫那個(gè)“日”字周圍邊框的時(shí)候，是可以一筆成功的：但是中間多了那個(gè)一橫，就必須從這一橫出發(fā)才可以成功。師：你很有數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)！你的發(fā)現(xiàn)對(duì)我們接下來的研究意義重大。大數(shù)學(xué)家歐拉就是這樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的

6、，連通圖能否一筆畫出。與圖中各個(gè)交點(diǎn)的連線條數(shù)有關(guān)。（二）探究活動(dòng)二：1.介紹。師：（出示課件，如圖5）像下面的A點(diǎn)和B點(diǎn)，連線條數(shù)是1、3、5、7等奇數(shù)的點(diǎn)，叫作奇點(diǎn)；像下面的 C點(diǎn)和D點(diǎn)，連線條數(shù)是2、4、6、8等偶數(shù)的點(diǎn)，叫作偶點(diǎn)。D奇點(diǎn)偶點(diǎn)2.研究。師：大家回過頭來觀察 2號(hào)、3號(hào)圖形，看看各點(diǎn)的情況。生：2號(hào)圖形全部是偶點(diǎn)：師：歐拉發(fā)現(xiàn)，像三號(hào)圖中全是偶點(diǎn)，不僅可以一筆畫，而且沿著任意一點(diǎn)都可以畫出。這里的“任意”是什么意思 ？生：就是隨便從哪個(gè)點(diǎn)出發(fā)都可以。師：是的，例如我們很多人都會(huì)畫的五角星圖案（課件出示圖6）,它的各交點(diǎn)也都是偶點(diǎn)，所以也可以從任意一點(diǎn)出發(fā)一筆畫出：你們不妨試

7、一試。（學(xué)生嘗試）師：那3號(hào)圖形呢？生：它有兩個(gè)交點(diǎn)的連線條數(shù)是3,其余各交點(diǎn)都是偶點(diǎn)。師：3號(hào)圖形中只有兩個(gè)奇點(diǎn)，其他都是偶點(diǎn)，歐拉發(fā)現(xiàn)這樣的圖形雖然能夠一筆畫出，但是一一生：必須，從奇點(diǎn)出發(fā)。師：你和歐拉真是心有靈犀！的確必須從奇點(diǎn)出發(fā)。那么大家看，這個(gè)圖形能不能一筆畫出呢？（課件出示圖7）生：它也可以一筆畫出，但是必須從那兩個(gè)奇點(diǎn)出發(fā)才行。師：你們都能學(xué)以致用了，真好 ?。ㄈ┧季S訓(xùn)練，學(xué)以致用。師：下面我們來輕松一下，玩一次智慧大闖關(guān)好不好？1.奪寶小奇兵：藏寶莊園里有10個(gè)百寶箱（如圖8）,每次可以打開寶盒取寶 1個(gè)。但是不能走重復(fù)路線， 否則就會(huì)觸動(dòng)機(jī)關(guān)取寶失敗?，F(xiàn)在螞蟻寶寶和貝貝

8、站在不同的起點(diǎn)準(zhǔn)備出發(fā)了，你認(rèn)為誰能全部取寶成功？為什么？2、小設(shè)計(jì)師。（如圖9）小朋友，妙妙游樂園即將開放了。要讓游客一次不重復(fù)地沿著路線走，游完每一個(gè)游樂項(xiàng)目，游樂場的出口和入口應(yīng)該設(shè)在A、B、C哪兩個(gè)點(diǎn)上？3.生活中的應(yīng)用。以游樂園出口和入口的設(shè)置以及快遞叔叔送快件的例子，說明一筆畫能夠解決生活中的實(shí) 際問題。（四）探究活動(dòng)三。師：那么，是不是所有的連通圖都能一筆畫呢？我們繼續(xù)探究。請(qǐng)大家看這幅圖（課件出示圖10）,數(shù)一數(shù)，標(biāo)出它的奇點(diǎn)和偶點(diǎn)，并判斷它能否一筆畫出。生：我試了好多次，它不能一筆畫出。師：其他同學(xué)有沒有不同的看法？生：我也試了很多次，不能一筆畫出。我猜想可能和它的奇點(diǎn)多了有

9、關(guān)系。師：你很善于推理，歐拉花了一年多時(shí)間發(fā)現(xiàn)的秘密，你們居然圖10很快能領(lǐng)悟。歐拉發(fā)現(xiàn)，連通圖中，如果奇點(diǎn)超過了 2個(gè)，它就不能一筆畫出了。三、文化滲透，深刻理解師：現(xiàn)在我們回到之前的“哥尼斯堡七橋問題”,它跟一筆畫知識(shí)有什么關(guān)系呢？讓我們來了解一下。（教師利用課件動(dòng)態(tài)演示由“七橋圖”變成“抽象圖”的過程，如圖11）師：歐拉認(rèn)為：能否一次不重復(fù)地走過這七座橋，與橋的長短、島的大小無關(guān)，所以島和 岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋可以看作連接這些點(diǎn)的線。所以他將七橋問題抽象成這樣的一筆 畫圖形?，F(xiàn)在你能用今天學(xué)到的知識(shí)來解釋為什么不能不重復(fù)地一次走遍這七座橋嗎？生：因?yàn)榘阉兂蛇@樣的圖形后，這個(gè)連通圖中

10、有4個(gè)奇點(diǎn)，就不可能一筆畫出了。師：是啊，就在“山重水復(fù)疑無路”的時(shí)候，歐拉是怎樣實(shí)現(xiàn)“柳暗花明又一村”的？生：他將復(fù)雜的問題簡單化了。師：的確，歐拉是將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成了一筆畫問題。（板書：轉(zhuǎn)化）轉(zhuǎn)化是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)好方法。（利用課件介紹歐拉生平，如圖12）師：想想看，歐拉能夠發(fā)現(xiàn)這一重要規(guī)律，是因?yàn)樗苄疫\(yùn)嗎？還是有別的原因？生：我認(rèn)為他很執(zhí)著，堅(jiān)持不懈，并用科學(xué)的方法找到結(jié)果。師：是啊，這里面有他對(duì)真理的執(zhí)著追求，更有化難為易的“轉(zhuǎn)化”思想。師：今天我們只是初步了解了一筆畫知識(shí)，以后我們升人七年級(jí)還將繼續(xù)深篇二：關(guān)于哥尼斯堡七橋問題的綜述關(guān)于哥尼斯堡七橋問題的綜述學(xué)生姓名：趙鋒學(xué)生學(xué)號(hào)

11、：090741132聯(lián)系方式要：隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，圖論的理論和方法已經(jīng)滲透到物理、化學(xué)、通訊科學(xué)、 運(yùn)籌學(xué)、遺傳學(xué)、管理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等各門學(xué)科中，而且延伸出了超圖理論、代數(shù)圖 論、隨機(jī)圖論、網(wǎng)絡(luò)圖論等分支，大大豐富了圖論學(xué)科內(nèi)容，促進(jìn)了圖論研究和應(yīng)用。由于 計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，圖論作為計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究的基本工具和理論基礎(chǔ)，會(huì)越來越受到人們的重視，不斷推動(dòng)圖論學(xué)科繼續(xù)向前蓬勃發(fā)展。本文通過閱讀大量文獻(xiàn)，總結(jié)出了圖論的來源、應(yīng)用及其未來的發(fā)展趨勢(shì)。關(guān)鍵詞：哥尼斯堡七橋、圖論、一筆畫關(guān)于哥尼斯堡七橋問題的綜述引言經(jīng)典問題往往以深入淺出

12、的形式表達(dá)學(xué)科深?yuàn)W的科學(xué)規(guī)律和本質(zhì)內(nèi)容，在學(xué)科研究中常常 用來輔助說明思想、原理、方法和技術(shù)。出生于瑞士的偉大數(shù)學(xué)家歐拉( Leonhard Euler, 17071783)于1736年發(fā)表了論文 與位置幾何有關(guān)的一個(gè)問題的解，文中提出并解決了七橋問題，為圖論的形成奠定了基礎(chǔ)。今天，圖論已廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)學(xué)科、運(yùn)籌學(xué)、控制 論、信息論等學(xué)科中，成為對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行抽象的一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。一、哥尼斯堡七橋問題的由來哥尼斯堡就是現(xiàn)在的俄羅斯的加里寧格勒。哥尼斯堡在第二次世界大戰(zhàn)前屬于德國，是東 普魯士的首府，在歷史上，哥尼斯堡的歸屬曾發(fā)生過幾次變化。二戰(zhàn)結(jié)束后，根據(jù)雅爾塔和 波斯坦協(xié)議，東普魯士

13、部分領(lǐng)土劃歸蘇聯(lián)，是蘇聯(lián)作為戰(zhàn)勝國享受的戰(zhàn)利品。蘇聯(lián)把哥尼斯堡更名為加里寧格勒， 斯大林沒有把加里寧格勒劃入剛剛并如蘇聯(lián)的立陶宛，而是劃入俄羅斯聯(lián)邦。加里寧格勒風(fēng)景秀麗，氣候宜人這里有著豐富的自然資源，是重要的軍事基地，也是重要的海運(yùn)港口。 1991年蘇聯(lián)解體，波羅的海周邊三國的立陶宛，拉脫維亞和愛沙尼亞 獨(dú)立，加里寧格勒就變成了俄羅斯的一塊飛地。普萊格爾河穿過美麗的哥尼斯堡城。普萊格爾河有兩個(gè)支流，在城市中心匯成大河，中間 是島區(qū)，人們?cè)诤由辖ㄆ鹆似咦鶚颍惯@里成為風(fēng)景優(yōu)美的人間仙境，如圖1所示。由于島上有古老的哥尼斯堡大學(xué)，有知名的教堂，有大哲學(xué)家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大

14、學(xué)生們經(jīng)常到河岸和上橋散步。在十八世紀(jì)初，有一天，有人突發(fā)奇想：如何才能走過七座橋， 而每座橋都只能經(jīng)過一次， 最后又回到原來的出發(fā)點(diǎn)？當(dāng)?shù)氐娜藗冮_ 始沉迷于這個(gè)問題，在橋上來來回回不知走了多少次，然而卻始終不得其解，這就是著名的哥尼斯堡七橋問題的由來。二、相應(yīng)理論的開創(chuàng)一一圖論通過數(shù)學(xué)建模，已經(jīng)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題。這時(shí)歐拉注意到，如果一個(gè)圖形能一筆畫成那么除去起點(diǎn)和終點(diǎn)外，其他的點(diǎn)都是經(jīng)過點(diǎn)。而經(jīng)過點(diǎn)是有進(jìn)有出的點(diǎn)，即有一條線進(jìn)這個(gè)點(diǎn)，就一定有一條線出這個(gè)點(diǎn)，不可能有進(jìn)無出，如果有進(jìn)無出，它就是終點(diǎn)；也 不可能有出無進(jìn)，如果有出無進(jìn)它就是起點(diǎn)。因此，在經(jīng)過點(diǎn)進(jìn)出的線總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)。我

15、們稱在一個(gè)點(diǎn)進(jìn)出線的總數(shù)是偶數(shù)的點(diǎn)為偶點(diǎn)；總數(shù)為奇數(shù)的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，那么它也屬于有進(jìn)有出的點(diǎn)， 它也是偶點(diǎn)這樣圖上的點(diǎn)全是偶點(diǎn)。 如果起點(diǎn) 和終點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)， 那么它們必定是奇點(diǎn)。 因此，能夠一筆畫的圖形最多只有兩個(gè)奇點(diǎn)年 歐拉證明了自己的猜想，一次不重復(fù)。1936年，歐拉證明了自己的猜想，一次不重復(fù)走完七座橋是根本不可能的。隨即他發(fā)表了 “一筆畫定理”：一個(gè)圖形要能一筆畫完，必須符合以下兩個(gè)條件：（1）圖形是封閉連通的；（2）圖形中的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為 0或1;七橋問題中的四個(gè)點(diǎn)全是奇點(diǎn)（如圖2）,當(dāng)然不能一筆畫，即不可能一次無重復(fù)地走完七座橋。一般地說如果圖中的點(diǎn)全是偶點(diǎn)

16、，那么可以任意選擇一個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，當(dāng)然終點(diǎn)與起點(diǎn)重合能一筆畫成，如果圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)， 那么可以任意選一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)可以一筆畫成。歐拉的這個(gè)研究成果，開創(chuàng)了圖論這門新的學(xué)科，這門學(xué)科在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng) 用。三、圖論的應(yīng)用1、一個(gè)部門中有 25人，由于糾紛而使得關(guān)系十分緊張，是否可便每個(gè)人與5個(gè)人相處融洽？這看起來是社會(huì)學(xué)領(lǐng)域的間題，我們可以嘗試多種方法， 而其中的一種方法就是將其化為圖。建立一個(gè)圖的模型， 最基本的問題是如何描述它一什么是結(jié)點(diǎn)，什么是邊？在本問題中，沒有太多的選擇，只有人和糾紛。我們可試著用結(jié)點(diǎn)來代表人。用邊來代表圖中結(jié)點(diǎn)之 間的關(guān)系，這是很常見的。在

17、這里結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系是“關(guān)系是否融洽”，因此，若兩個(gè)結(jié)點(diǎn)（人）關(guān)系融洽，那么就在它們之間加上一條邊。現(xiàn)在假設(shè)每個(gè)人與其他 5個(gè)人關(guān)系融洽。例如，在圖一上顯示出我們所描述的圖的一部分， 小張與小王、小李、小趙、小黃和小吳關(guān)系融洽，再?zèng)]有其他人。個(gè)人均是這種情況。這是 否可能在圖論中，一個(gè)重要的推論在任意圖中，具有奇數(shù)度的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)?，F(xiàn)在出現(xiàn)了矛盾：有25 （奇數(shù)）個(gè)具有5 （奇數(shù)）度的結(jié)點(diǎn)。因此，該間題是不可能實(shí)現(xiàn)的。2、舉行一個(gè)國際會(huì)議，有 a, b, c, d, e, f, g等7個(gè)人。已知下列事實(shí)： a會(huì)講英語；b會(huì)講英語和漢語；c會(huì)講英語、意大利語和俄語；d會(huì)講日語和漢語；e會(huì)講德語

18、和意大利語；f會(huì)講法語、日語和俄語；g會(huì)講法語和德語。試問這7個(gè)人應(yīng)如何排座位，才能使每個(gè)人都能和他身邊的人交談？這個(gè)問題看起來很熟悉。我們還是用圖解這個(gè)問題。依然是建立一個(gè)圖的模型，確定結(jié)點(diǎn)和邊。這里有“人和語言 ”，那么我們用結(jié)點(diǎn)來代表人，于是結(jié)點(diǎn)集合 V=a、b、c、d、e、 f、g。對(duì)于任意的兩點(diǎn)，若有共同語言，就在它們之間連一條無向邊， 可得邊集 巳圖G=（V , E）,如圖二：如何排座位使每個(gè)人都能和他身邊的人交談？問題轉(zhuǎn)化為在圖G中找到一條哈密頓回路的問題（哈密頓回路即是通過每個(gè)結(jié)點(diǎn)一次且僅一次的回路。而即是圖中的一條哈密頓回路）。照此順序排座位即可。3、有三座城市C1、C2、C

19、3以，要修建高速公路與另外三座城市 C4, C5, C6直接相連通。 能否設(shè)計(jì)一個(gè)公路網(wǎng)使任意兩個(gè)高速公路之間彼此不交叉？這是一個(gè)涉及交通方面的問題。很顯然我們用結(jié)點(diǎn)代表城市，兩城市之間修建高速公路， 則在它們之間連一條無向邊。圖三所示是一個(gè)存在交叉的設(shè)計(jì)方案。當(dāng)你試著找出一個(gè)不存在交叉的設(shè)計(jì)方案時(shí)，很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)不可能做到這一點(diǎn)。我們給出一個(gè)定義：如果一個(gè)圖能夠在平面中畫出來，且任意兩條邊不相交，則該圖就是 平面圖。在設(shè)計(jì)電路時(shí)要求相交的線盡可能的少，因此，電路設(shè)計(jì)者面臨的主要問題就是平面性問 題。當(dāng)在一個(gè)平面上畫出一個(gè)連通的平面圖時(shí)，該平面被分成幾個(gè)連續(xù)的區(qū)域，這樣的區(qū)域被 稱為面，我們稱圖

20、G=(V, E),點(diǎn)集V的個(gè)數(shù)為v,邊集E的個(gè)數(shù)為e,若G是平面圖，面的個(gè) 數(shù)為fo早在1752年，歐拉證明了對(duì)于任何連通的平面圖均滿足等式：f=e-v+2。圖三被我們稱作k3.3,現(xiàn)在我們用來證明 k3.3不是平面圖。假設(shè)k3.3是平面圖，面數(shù)為f,因?yàn)槊恳粭l回路最少有四條邊，所以每個(gè)面的邊界至少有 四條邊圍成，所有邊界所含的邊的總數(shù)至少等于4f。在平面圖中，每一條邊最多屬于兩個(gè)面的邊界回路，所以有所以，在這里無法設(shè)計(jì)一個(gè)公路網(wǎng)，使任意兩個(gè)高速公路彼此不交叉。四、總結(jié)從諸多具體實(shí)例可以看出，圖論之所以得到迅猛發(fā)展在于它獨(dú)特的解題思想：將繁瑣的問 題抽象成圖論模型，通過直觀的圖形來論證。 也正

21、因此，圖論的理論和方法已經(jīng)滲透到物理、 化學(xué)、通訊科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、遺傳學(xué)、管理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科中，進(jìn)而延伸出了超圖 理論、代數(shù)圖論、隨機(jī)圖論、網(wǎng)絡(luò)圖論等分支，大大豐富了圖論學(xué)科內(nèi)容，促進(jìn)了圖論研究 和應(yīng)用。目前，由于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，圖論作為計(jì)算 篇三：從哥尼斯堡七橋問題看數(shù)學(xué)抽象性從哥尼斯堡七橋問題看數(shù)學(xué)的抽象摘要：由哥尼斯堡七橋問題出發(fā)，分析其蘊(yùn)含的思想、方法，并引出數(shù)學(xué)抽象方法的概念，定義，特點(diǎn)及運(yùn)用.關(guān)鍵字：七橋問題；抽象；特點(diǎn)；方法數(shù)學(xué)無論是在內(nèi)容上還是方法上都呈現(xiàn)出極其高度的抽象性.數(shù)學(xué)的抽象有兩個(gè)基本特征 ：概括性和深刻性.用數(shù)學(xué)方法思考事物時(shí)，

22、往往把這些事物的物理屬性、化學(xué)屬性和生物屬 性等全撇開，而只考慮其量的特征、形的特征.以下以哥尼斯堡七橋問題為例談數(shù)學(xué)的抽象.一、哥尼斯堡七橋問題簡介哥尼斯堡七橋問題是歐拉用抽象的方法探究并解決實(shí)際問題的一個(gè)典型實(shí)例，對(duì)開創(chuàng)圖論 與拓?fù)鋵W(xué)的研究具有重大意義 .18世紀(jì)的哥尼斯堡是德國的一個(gè)美麗的城市(現(xiàn)屬于俄羅斯)，布勒爾河穿城而過，它有兩個(gè)支流，在哥尼斯堡城中心匯成大河，河中心有一個(gè)小島，河上有七座橋，如圖1(1)島上有一座古老的大學(xué)，還有哲學(xué)家康德的墓地及塑像.當(dāng)?shù)氐木用瘢貏e是大學(xué)生們常常到七橋附近散步，漸漸地大家熱衷于一個(gè)問題：一個(gè)人是否能不重復(fù)地一次走遍這七座橋而返回出發(fā)點(diǎn)？很多人做

23、過嘗試，但都未能實(shí)現(xiàn)，這便產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上著名的“七橋問題”，1735年，一群大學(xué)生寫信將這個(gè)難題交給了著名的數(shù)學(xué)家歐拉.圖1歐拉首先從千百人次的失敗中猜想，也許根本不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋，但如何 來證明它呢？歐拉是這樣想這個(gè)問題的：既然島與兩岸無非是橋的連接地點(diǎn)，兩岸陸地也是橋通往的地點(diǎn)，那么就不妨把這四處地 點(diǎn)抽象成四個(gè)點(diǎn)，并把七座橋抽象成七條線，這樣在不改變問題的實(shí)質(zhì)的前提下，問題就轉(zhuǎn)化成了一個(gè)有關(guān)幾何圖形的問題，如圖1(2)所示，即人們步行走過兩岸和七座橋時(shí)，就相當(dāng)于用筆畫出此圖.于是問題轉(zhuǎn)化為：能否用筆不重復(fù)地一筆畫出此圖.接著歐拉進(jìn)一步研究了一筆畫問題的結(jié)構(gòu)和特征：一筆畫有一

24、個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，當(dāng)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合時(shí)， 稱該圖形為封閉圖形，否則稱為開放圖形 .除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，一筆畫中間可能出現(xiàn)一些曲線的交點(diǎn)， 在這些交點(diǎn)處曲線一進(jìn)一出，因此其連結(jié)的曲線總是偶數(shù)條，這些交點(diǎn)就稱為“偶點(diǎn)”，由此看來，只有起點(diǎn)和終點(diǎn)通過的曲線可能是奇 數(shù)條，稱通過曲線是奇數(shù)條的起點(diǎn)和終點(diǎn)為“奇點(diǎn)”，特別地，當(dāng)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合時(shí)，便成為一個(gè)偶點(diǎn)，不再是奇點(diǎn).正是通過上述研究， 歐拉斷言：任何一個(gè)一筆畫， 要么沒有“奇點(diǎn)”，要么恰有兩個(gè)“奇點(diǎn)”， 而在“七橋問題”所對(duì)應(yīng)的圖形中，四個(gè)點(diǎn)都是“奇點(diǎn)”，因此它不能一筆畫成，從而說明人們不可能不重復(fù)地一次走過哥尼斯堡的七座橋歐拉沒有滿足于“七橋問題”的解

25、決，而是繼續(xù)深入研究，終于用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言證明了 一個(gè)可鑒別任一圖形能否一筆畫出的“一筆畫定理”：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)（任意一個(gè)有限條弧線構(gòu)成的圖形，且每條弧線都有兩個(gè)相異的端點(diǎn)）是一筆畫，當(dāng)且僅當(dāng)該網(wǎng)絡(luò)是連通的，并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0或2.歐拉解決這一問題所用的思維方法，就是抽象方法，即從感性認(rèn)識(shí)上升到理性抽象，再由 理性抽象升華為理性認(rèn)識(shí)，這也是人們認(rèn)識(shí)事物常用的一種抽象思維方式.“七橋問題”有力地說明，數(shù)學(xué)抽象將實(shí)際問題中許多無關(guān)緊要的東西（如橋的大小、形狀之類）舍去，而緊緊抓住其中帶有本質(zhì)特征的東西，從而構(gòu)造出一些在邏輯上無矛盾的“純粹”的數(shù)學(xué)關(guān)系.二、數(shù)學(xué)抽象的概念數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實(shí)世界的，它產(chǎn)生于人

26、類的實(shí)際需要.數(shù)學(xué)最初概念與原理的建立，是以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的長期歷史發(fā)展的結(jié)果 .對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，想要研究其存在的規(guī)律，這需要人們對(duì)現(xiàn) 實(shí)問題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí).比如實(shí)際問題中有許多因素，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，不可能，也沒有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮， 只需考慮其中的最主要的因素即可.根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，通過抽象、簡化、引進(jìn)變量等處理過程，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，即用 數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)，圖形，代數(shù)方程，微分方程，積分方程等）來描述（表達(dá)，模擬）所研 究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的規(guī)律

27、，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解數(shù)學(xué)抽象是抽象方法在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用，也就是利用抽象方法把大量生動(dòng)的關(guān)于現(xiàn)實(shí)世 界空間形式和數(shù)量關(guān)系的直觀背景材料進(jìn)行去偽存真，由此及彼，由表及里的加工和制作， 即提煉數(shù)學(xué)概念，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)理論 三、數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)抽象性在簡單的數(shù)字運(yùn)用中就得以體現(xiàn)，比如兩個(gè)抽象數(shù)字相乘，我們關(guān)心的并不是孩子 的數(shù)目乘以蘋果的數(shù)目， 還是蘋果的數(shù)目乘以蘋果的單價(jià).直線、 平面、空間都是抽象的概 念，n維空間乃至無窮維空間也都是抽象的概念.數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)在于以下幾個(gè)方面：第一，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切，這里量是抽象的，空間也是抽象的，如

28、圓的方程，數(shù)域F上的線性空間等概念，只剩下了變量之間的關(guān)系和運(yùn)算.第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過了其它學(xué)科中的抽象，首先，數(shù)學(xué)抽象往往是在其他學(xué)科抽象基礎(chǔ)上的再抽象.例如，正比例函數(shù)是物理學(xué)中勻速直線運(yùn)動(dòng)和簡諧運(yùn)動(dòng)的再抽象.其次，數(shù)學(xué)抽象具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn).更為重要的是，數(shù)學(xué)抽象的特殊性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中一些概念與真實(shí)世界的距離是如此遙遠(yuǎn)以致常常被看成“思維的自由想象物和創(chuàng)造物”，即數(shù)學(xué)中所謂的“理想元素”（如無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）.比如說，我們生活的這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界是個(gè)三維空間，人們對(duì)于一維、二維及三維空間很熟悉， 在這三種空間中任何兩點(diǎn)問的距離可以度量出來，很直觀，四維以上的

29、空間，我們就看不見模不著了，至于無限維空間是什么樣就很難理解.第三，數(shù)學(xué)本身幾乎全在處理抽象才念和它們的相互關(guān)系.自然科學(xué)家為了證明自己的論斷常常求助于實(shí)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)家證明定理只需用推理和計(jì)算總之，量和空間是抽象的，概念是抽象的，數(shù)學(xué)的方法也是抽象的.四、數(shù)學(xué)抽象的基本方法1 .理想化抽象在純粹理想的狀態(tài)下，對(duì)事物進(jìn)行簡單化與完善化的加工處理，撇開事物的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，融合事物的一般的本質(zhì)的屬性，抽象出相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的方法.例如:經(jīng)濟(jì)學(xué)上的多年度經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，年降雨量的年度曲線繪制2 .強(qiáng)抽象與弱抽象強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對(duì)某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即

30、通過擴(kuò)大原概念的內(nèi)涵縮小外延來建立新概念的抽象方法例如:從四邊形概念出發(fā)， 對(duì)兩組對(duì)邊給予適當(dāng)限制，則得平行四邊形和梯形的概念 .若從平行四邊形概念出發(fā)，再對(duì)邊或角分別進(jìn)行適當(dāng)限制，可得到菱形、矩形及正方形的概念.弱抽象是指在已知概念中，減弱對(duì)某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法，即通過縮小原概念的內(nèi)涵擴(kuò)大外延來建立新概念的抽象方法.例如:從全等三角形概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留 了 “形狀相同”與“面積相等”的特性 .3 .等置抽象從一類對(duì)象（具體的或抽象的個(gè)體）中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法例如：實(shí)數(shù)集上的全

31、體n階方陣，考慮的運(yùn)算為矩陣的加法； 實(shí)數(shù)集上的行列式為 1的全體n 階方陣，考慮的運(yùn)算為矩陣的乘法；模 n的剩余類，其運(yùn)算為規(guī)定的剩余類間的加法等等 . 這些集合既有有限集合，也有無限集合，運(yùn)算也各不相同，但卻具有相同的屬性，即：關(guān)于運(yùn)算封閉，結(jié)合律成立，每個(gè)集合都有單位元，每個(gè)元素有逆元，從而抽象出群的概念.4 .存在性抽象先用假設(shè)的方法對(duì)抽象出來的數(shù)學(xué)概念存在給予肯定，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性例如：自然數(shù)集合？n?是經(jīng)過三個(gè)層次抽象而成的，被稱為三度抽象物：古代人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中，用“結(jié)繩計(jì)數(shù)”的方法，由計(jì)算個(gè)別具體數(shù)量而得到個(gè)別自然數(shù)的概念.這是第一步抽象.第二步，人們從數(shù)個(gè)別自然數(shù)中發(fā)現(xiàn)進(jìn)行“加一”的運(yùn)算，可以得到后繼數(shù)，