等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)

1、2.3.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .熟練掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)以及其與二次函數(shù)的關(guān)系；2 .在學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的同時感受數(shù)形結(jié)合的基本思想，會由等差數(shù) 列前n項(xiàng)和公式求其通項(xiàng)公式.【自學(xué)園地】1 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，0是其前n項(xiàng)和.(1)若 m, n, p, q, k是正整數(shù)，且 m + n=p+q=2k,則 am+ an= ap+ aq = 2ak.(2)am, am+k, am+2k, am+3k,仍是等差數(shù)列，公差為 kd.(3) Sn,S2n Sn,S3n Szn ,L仍成等差，且公差為 Nd.(4)若

2、項(xiàng)數(shù)為2n ,則S奇與S偶中項(xiàng)數(shù)相等，且S偶& nd；看淮朔三S禺：(a2 a2n)an 1若項(xiàng)數(shù)為2n 1 ,則S奇 S偶(n 1)( d) a2n 1 a2n 1 (n 1)dan ; Sw nan，S禺(n 1他； S2n1(2n 1注；n星 2(q a2n1)nS 號 a2n2) n V(5)兩個等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和Sn, Tn之間的關(guān)系為=.(6)若數(shù)列an, bn是公差分別為d1, d2的等差數(shù)列,則數(shù)列pan, an+p,pan+qbn都是等差數(shù)列(p, q都是常數(shù))，且公差分別為 pd1，d，pd+qd2.3成等差.2 . an為等差數(shù)列 其前n項(xiàng)和Sn An

3、2 Bn .3 .若數(shù)列an為等差數(shù)列4 .等差數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用a° 0(1)當(dāng)ai 0,d 0時，&有最大值，n是不等式n的正整數(shù)解時取得；an 10a° 0 (2)當(dāng)ai 0,d 0時，&有最大值，n是不等式n的正整數(shù)解時取得.an 10(II)當(dāng)數(shù)列中有某項(xiàng)值為0時，n應(yīng)有兩解.Sm Sm 1ami 0.5 .知三求二問題：等差數(shù)列數(shù)列前 n項(xiàng)和公式中各含有4個元素：Sn,n,a1,an與&,n,a1,d ,已知其中3個量，即可求出另外1個；綜合通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，已知其中3個量即可求出另外2個量.【典例精析】1 .(1)已知等差數(shù)列an

4、, aa4a8a12a152,求§5.(2)等差數(shù)列an前m項(xiàng)和為30,且前2m項(xiàng)和為100,求其前3m項(xiàng)和.(3)有一個項(xiàng)數(shù)為2n 1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比.(4)有一個項(xiàng)數(shù)為2n 1的等差數(shù)列中，若所有的奇數(shù)項(xiàng)的和是165,所有偶數(shù)項(xiàng)的和是150,則項(xiàng)數(shù)n等于(5)等差數(shù)列an前12項(xiàng)之和為354,其中奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為 27:32,求公差d .(6)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,Snm,Smn,(m,n N且m n),求Smn2 .等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn ,Tn之比為Sn 電/，求肥及包 Tn 2n 3b15bn3 .等差數(shù)列an中

5、，Sn為前n項(xiàng)和，a1 13, S3 Si1 ,問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？4 .在等差數(shù)列 an中，a3 12,&2 0 ,&3 0.(1)求公差d的范圍；(2)問G,S2,S3,L ,§2中哪個值最大？5 .已知數(shù)列an中,a1= 60, an+1=an+3,則 |a1|+|a2|+|a3|+ |a30|等于()6 .等差數(shù)列an中，S3 21, S6 24,求數(shù)列an|的前n項(xiàng)和為Tn . 1，、一7 .已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an ,求&ng(n 1)8.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且anng(n2)求Sn【鞏固練習(xí)】1 . 一個有11

6、項(xiàng)的的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和是 30,則它的中間項(xiàng)是A.8B.7C.6D.52 .設(shè)&是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若2 L則包 （）S6 3S12A.-B.1C.1D.1103893 .等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若d=2, S3=12,則26等（）A. 8B. 10C. 12D.144 .下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個命題：P1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；P2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3:數(shù)列是遞增數(shù)列；P4:數(shù)列an + 3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為（）A. P1, P2B.P3, P4C. P2, P3D.P1, P45 .已知等差數(shù)列an中，a7 + a9=16,

7、Sn=,則為2的值是（）A. 15B.30C. 31D.646 .在遞減等差數(shù)列an中，若a + a5= 0,則S取最大值時n等于（）A. 2B.3C. 4D.2 或 37 .在等差數(shù)列an中，若 a+ a4 + ae+a&+a0= 80,則a7 a8的值為（）A. 4 B.6C. 8D.108 .已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和是15,偶數(shù)項(xiàng)之和為 30,則其公差為（）A.2B.3C.4D.59 .已知等差數(shù)列an中，a5|,公差d>0,則使得前n項(xiàng)和Sn取得最小值時的正整數(shù)n的值是()A.4 和 5B.5 和 6C.6 和 7D.7 和 810 .已知等差數(shù)列an的前n

8、項(xiàng)和Sn滿足&= 0, S5=-5.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.11 .等差數(shù)列an中,S 21,S6 24,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn?！菊n后作業(yè)】1 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S8=4a3, ay=-2,則a9=()A. 6 B.-4C. -2D.22 .在等差數(shù)列an中，a9 = a12+6,則數(shù)列an的前11項(xiàng)和2尸()A. 24B.48C. 66D.1323 .設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,若a6=2且S5= 30,則S8等于()A. 31B.32C. 33D.344 .設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=3, a6=11,則S7等于()A. 13B.35C. 49D.635 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,滿足a13=S13=13,則a1的值等于.6 .在等差數(shù)列an中，a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時Sn取得最大值， 則d的取值范圍為.