浮點數(shù)的二進制表示

1、浮點數(shù)的二進制表示基礎(chǔ)知識：十進制轉(zhuǎn)十六進制；十六進制轉(zhuǎn)二進制；了解：目前C/C+編譯器標準都遵照IEEE制定的浮點數(shù)表示法來進行float,double運算。這種結(jié)構(gòu)是一種科學(xué)計數(shù)法，用符號、指數(shù)和尾數(shù)來表示，底數(shù)定為2即把一個浮點數(shù)表示為尾數(shù)乘以2的指數(shù)次方再添上符號。下面是具體的規(guī)格：             符號位     階碼      尾數(shù)   

2、  長度float           1          8        23      32double          1    

3、0;    11        52      64 以下通過幾個例子講解浮點數(shù)如何轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)例一：已知：double類型38414.4。求：其對應(yīng)的二進制表示。分析：double類型共計64位，折合8字節(jié)。由最高到最低位分別是第63、62、61、0位：    最高位63位是符號位，1表示該數(shù)為負，0表示該數(shù)為正；    62-52位，一共11位是指數(shù)位； 

4、60;  51-0位，一共52位是尾數(shù)位。     步驟：按照IEEE浮點數(shù)表示法，下面先把38414.4轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。     把整數(shù)部和小數(shù)部分開處理:整數(shù)部直接化十六進制：960E。小數(shù)的處理:0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+     實際上這永遠算不完！這就是著名的浮點數(shù)精度問題。所以直到加上前面的整數(shù)部分算夠53位就行了。隱藏位技術(shù)：最高位的1不寫入內(nèi)存（最終保留下來的還是52位）。   

5、; 如果你夠耐心，手工算到53位那么因該是：38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)科學(xué)記數(shù)法為：1.0010110000011100110101010101010101010101010101010101，右移了15位，所以指數(shù)為15?；蛘呖梢匀缦吕斫猓?.00101100000111001101010101010101010101010101010101012×215     于是來看階碼，按IEEE標準一共11位，可以表示范圍是-1024 1

6、023。因為指數(shù)可以為負，為了便于計算，規(guī)定都先加上1023(210-1)，在這里，階碼：15+1023=1038。二進制表示為：100 00001110；    符號位：因為38414.4為正對應(yīng) 為0；    合在一起（注：尾數(shù)二進制最高位的1不要）：01000000 11100010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101例二：已知：整數(shù)3490593(16進制表示為0x354321)。求：其對應(yīng)的浮點數(shù)3490593.0的二進制表示。解法如下：先求出整數(shù)349

7、0593的二進制表示： H:    3     5    4    3    2     1   （十六進制表示） B:   0011  0101 0100 0011 0010  0001 （二進制表示）      21 即：   

8、;             1.1010101000011001000012×221可見，從左算起第一個1后有21位，我們將這21為作為浮點數(shù)的小數(shù)表示，單精度浮點數(shù)float由符號位1位，指數(shù)域位k=8位，小數(shù)域位(尾數(shù))n=23位構(gòu)成，因此對上面得到的21位小數(shù)位我們還需要補上2個0，得到浮點數(shù)的小數(shù)域表示為：         1 0101 0100 0011 0010 0001 0

9、0float類型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127，但還要補上剛才因為右移作為小數(shù)部分的21位，因此偏置量為127+12=148，就是IEEE浮點數(shù)表示標準：                    V = (-1)s×M×2E            &

10、#160;       E = e-Bias中的e，此前計算Bias=127，剛好驗證了E=148-127=21。將148轉(zhuǎn)為二進制表示為10010100，加上符號位0，最后得到二進制浮點數(shù)表示1001010010101010000110010000100，其16進制表示為： H:     4        A       5  

11、0;       5         0         C         8        4   B:  0100   1010   0101&

12、#160;   0101   0000   1100  1000   0100                    |      21           | 

13、0;   1|8   |       23       | 這就是浮點數(shù)3490593.0(0x4A550C84)的二進制表示。 例三：0.5的二進制形式是0.1它用浮點數(shù)的形式寫出來是如下格式 0                01111110 &

14、#160;               00000000000000000000000符號位           階碼                    &

15、#160;  小數(shù)位正數(shù)符號位為0，負數(shù)符號位為1階碼是以2為底的指數(shù)小數(shù)位表示小數(shù)點后面的數(shù)字下面我們來分析一下0.5是如何寫成0 01111110 00000000000000000000000首先0.5是正數(shù)所以符號位為0再來看階碼部分,0.5的二進制數(shù)是0.1,而0.1是1.0*2(-1),所以我們總結(jié)出來:要把二進制數(shù)變成(1.f)*2(exponent)的形式,其中exponent是指數(shù)而由于階碼有正負之分所以階碼=127+exponent;即階碼=127+(-1)=126 即 01111110余下的小數(shù)位為二進制小數(shù)點后面的數(shù)字,即0000000000000000000

16、0000由以上分析得0.5的浮點數(shù)存儲形式為0 01111110 00000000000000000000000 注：如果只有小數(shù)部分,那么需要右移小數(shù)點. 比如右移3位才能放到第一個1的后面, 階碼就是127-3=124.例四  （20.59375）10 =（10100.10011 ）2首先分別將整數(shù)和分數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：20.5937510100.10011然后移動小數(shù)點，使其在第1，2位之間10100.100111.010010011×24   即e4于是得到：S0， E4127131， M010010011最后得到32位浮

17、點數(shù)的二進制存儲格式為：0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000(41A4C000)16 例五：-12.5轉(zhuǎn)為單精度二進制表示12.5:1. 整數(shù)部分12，二進制為1100; 小數(shù)部分0.5, 二進制是.1，先把他們連起來，從第一個1數(shù)起取24位（后面補0）：1100.10000000000000000000這部分是有效數(shù)字。（把小數(shù)點前后兩部分連起來再取掉頭前的1，就是尾數(shù)）2. 把小數(shù)點移到第一個1的后面，需要左移3位（1.10010000000000000000000*23）, 加上偏移量127：127+3=130，二進制是10000010

18、，這是階碼。3. -12.5是負數(shù)，所以符號位是1。把符號位，階碼和尾數(shù)連起來。注意，尾數(shù)的第一位總是1，所以規(guī)定不存這一位的1，只取后23位：1 10000010 10010000000000000000000把這32位按8位一節(jié)整理一下，得：11000001 01001000 00000000 00000000就是十六進制的 C1480000.例六：2.0256751. 整數(shù)部分2，二進制為10; 小數(shù)部分0.025675, 二進制是.0000011010010010101001，先把他們連起來，從第一個1數(shù)起取24位（后面補0）：10.0000011010010010101001這部分是

19、有效數(shù)字。把小數(shù)點前后兩部分連起來再取掉頭前的1，就是尾數(shù): 000000110100100101010012. 把小數(shù)點移到第一個1的后面，左移了1位, 加上偏移量127：127+1=128，二進制是10000000，這是階碼。3. 2.025675是正數(shù)，所以符號位是0。把符號位，階碼和尾數(shù)連起來：0 10000000 00000011010010010101001把這32位按8位一節(jié)整理一下，得：01000000 00000001 10100100 10101001就是十六進制的 4001A4A9. 例七：(逆向求十進制整數(shù))一個浮點二進制數(shù)手工轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)的例子：假設(shè)浮點二

20、進制數(shù)是 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000按1，8，23位分成三段：1 01111010 10000000000000000000000最后一段是尾數(shù)。前面加上"1.", 就是 1.10000000000000000000000下面確定小數(shù)點位置。由E = e-Bias，階碼E是01111010，加上00000101才是01111111（127），所以他減去127的偏移量得e=-5。（或者化成十進制得122，122-127=-5）。因此尾數(shù)1.10（后面的0不寫了）是小數(shù)點右移5位的結(jié)果。要復(fù)原它就要左移5位小數(shù)點，得0.000

21、0110, 即十進制的0.046875 。最后是符號：1代表負數(shù)，所以最后的結(jié)果是 -0.046875 。注意：其他機器的浮點數(shù)表示方法可能與此不同. 不能任意移植。再看一例(類似例七)：比如：53004d3e二進制表示為：01010011000000000100110100111110按照1個符號    8個指數(shù)          23個小數(shù)位劃分0