魚群捕撈問題數(shù)學(xué)建模 張一

1、理學(xué)院高年級學(xué)生研究工作總結(jié)選題方向 一類魚群捕撈問題模型研究 學(xué) 號 20080669 姓 名 張一 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 導(dǎo) 師 張悅 職 稱 講師 東北大學(xué)理學(xué)院2012年 1月11日一、選題背景、目的和意義（不少于500字）1.選題背景生物經(jīng)濟(jì)(Bio-economy)是建立在生物資源可持續(xù)利用、生物技術(shù)基礎(chǔ)之上，以生物技術(shù)產(chǎn)品的生產(chǎn)、分配、使用為基礎(chǔ)的經(jīng)濟(jì)。 生物產(chǎn)業(yè)無疑是一個很賺錢，同時也很燒錢的行業(yè)。建立在生物技術(shù)等基礎(chǔ)上的育種、制藥等行業(yè)也具有非常重大的經(jīng)濟(jì)價值與社會價值。特殊品種比如：耐旱耐鹽、高產(chǎn)高效等品種的選育在解決糧食、環(huán)境等問題上將作出巨大貢獻(xiàn)；而生物制藥、生物醫(yī)學(xué)

2、等領(lǐng)域的發(fā)展將會給人類的健康、醫(yī)療問題帶來重大突破。 生物經(jīng)濟(jì)具有劃時代的意義，蘊(yùn)藏著不可限量的經(jīng)濟(jì)價值。正如托夫勒在第三次浪潮中預(yù)言，社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展將由農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)、工業(yè)經(jīng)濟(jì)進(jìn)入信息經(jīng)濟(jì)和生物經(jīng)濟(jì)時代。生命科學(xué)和生物技術(shù)，對人類社會所產(chǎn)生的作用，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過信息技術(shù)。2.選題目的和意義生物經(jīng)濟(jì)引起廣泛生物經(jīng)濟(jì)是建立在生物資源、生物技術(shù)基礎(chǔ)之上，以生物技術(shù)產(chǎn)品的市場化運(yùn)作為基礎(chǔ)的一種經(jīng)濟(jì)形態(tài)。目前全球生物經(jīng)濟(jì)總量每5年翻一番，增長率為25%30%，是世界經(jīng)濟(jì)增長率的10倍。預(yù)計到2020年生物經(jīng)濟(jì)規(guī)模將達(dá)到15萬億美元，超過以信息技術(shù)為基礎(chǔ)的信息經(jīng)濟(jì)，成為世界上最強(qiáng)大的經(jīng)濟(jì)力量。生物技術(shù)的巨大潛在效

3、益及廣闊前景，使這一領(lǐng)域成為繼電腦網(wǎng)絡(luò)之后的又一競爭熱點(diǎn)。目前，全球生物技術(shù)產(chǎn)業(yè)市場以美為主，歐盟其次，日本緊追在后。2004年美國生物科技投資占美國風(fēng)險投資總額的13.5%；生物技術(shù)產(chǎn)品每年以12%的速度擴(kuò)展，預(yù)計到2010年將增加到490億美元。二、應(yīng)用原理（不少于300字)問題的提出大量的海洋生物（例如魚、蝦等）為人類所消費(fèi)。如果捕撈率大于自然增長率，則海洋生物群將減少，甚至可能導(dǎo)致某種群的滅絕。許多國際機(jī)構(gòu)極為關(guān)心這類問題，他們想知道能否捕撈某種特定的種群，如果允許捕撈應(yīng)有什么樣的限制。 假設(shè)某種魚（海洋生物中的一個種群）分4個年齡組，稱1齡魚，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5

4、.07，11.55，17086，22.99（克），各年齡組魚的自然死亡率為0.8，這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵反之，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105（個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率為1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量之比。 漁業(yè)管理部門規(guī)定只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如魚船數(shù)等）固定不變，這個單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)稱捕撈強(qiáng)度。常使用一種只能捕撈3齡魚和4齡魚的網(wǎng)，并且其捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42：1，漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。現(xiàn)在考慮對

5、這種魚的最優(yōu)捕撈策略，使得在可持續(xù)捕獲的前提下年收獲量最高。3、 工作總結(jié)(2頁，不少于2000字)1. 問題假設(shè)（1） 魚群總量的增加雖然是離散的，但對大規(guī)模魚群而言，我們可以假設(shè)魚群總量的變化隨時間是連續(xù)的。（2） 查閱有關(guān)鳀魚的資料發(fā)現(xiàn)，鳀魚一般在每年8月開始產(chǎn)卵，從而可以假設(shè)魚群每年在8月底瞬間產(chǎn)卵完畢，卵在12月底全部孵化完畢。（3） 齡魚到來年分別長一歲成為i + 1齡魚，i = 1，2，3。（4） 4齡魚在年末留存的數(shù)量占全部數(shù)量的比例相對很小，可假設(shè)全部死亡。（5） 連續(xù)捕獲使各年齡組的魚群數(shù)量呈周期性變化，周期為1年，可以只考慮魚群數(shù)量在1年內(nèi)的變化情況。2. 問題分析（1）

6、 符號說明 xi（t）：在t時刻i齡魚的條數(shù)，i = 1，2，3，4； n：每年的產(chǎn)卵量； k：4齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù)； 2ai0：每年初i齡魚的數(shù)量，i = 1，2，3，4；（2） 對死亡率的理解 題中給出魚的自然死亡率為0.8（/年），它指平均死亡率，即單位時間魚群死亡數(shù)量與現(xiàn)有魚群數(shù)量的比例系數(shù)，由假設(shè)知，它是一個與環(huán)境等其它因素?zé)o關(guān)的常數(shù)；另一方面，魚群的數(shù)量是連續(xù)變化的，且1，2齡魚在全年及3，4齡魚在后4個月的數(shù)量只與死亡率有關(guān)。由此可知，各齡魚的變化滿足： = -0.8x（t），i = 1，2，3，4（3） 對捕撈強(qiáng)度系數(shù)的理解 單位時間4齡魚捕撈量與4齡魚群總數(shù)成正比，比例系數(shù)即是

7、捕撈強(qiáng)度系數(shù)k，它是一定的，且只在捕撈期內(nèi)（即每年的前8個月）捕撈3，4齡魚。所以，一方面捕撈強(qiáng)度系數(shù)k決定了3，4齡魚在捕撈期內(nèi)的數(shù)量變化規(guī)律為： = -（0.8+0.42k）x（t） = -（0.8+k）x（t） 另一方面決定了t時刻捕撈的3，4齡魚的數(shù)量為：0.42kx3（t）和kx4（t）。（4） 對成活率的理解 只有3，4齡魚在每年的8月一次產(chǎn)卵，因此可將每年的產(chǎn)卵量n表示為： 題目中已經(jīng)說明了成活率為：，所以每年初1齡魚的數(shù)量為：x1（0）= n ×模型的建立 可持續(xù)捕撈要求每年初漁場中各年齡組魚群條數(shù)都一樣，既要求x1（0）= x0（1），x2（0）= x1（1），x3

8、（0）= x2（1），x4（0）= x3（1）。在這種平衡狀態(tài)下，捕撈強(qiáng)度就影響年收獲量。要得到最高年收獲量，考慮到前面的方程，可以得到以下的優(yōu)化模型： max（total（k）=17.86 t0，1，x1（0）= n × t0，1，x2（0）= x1（1） t0，2/3，x3（0）= x2（1） s.t. t2/3，1，x3（-）= x3（+） t0，2/3，x4（0）= x3（1） t2/3，1，x4（-）= x4（+） 模型的求解Modulex1，x2，x31，x32，x41，x42，t，a10，a20，a30，a31，a40，a41， nn，k，t3，t4，total，tdd

9、，aa， x1t_ =x1t / . DSolvex1t= = - 0.8x1t，x10= =a10，x1t，t，1； a20=x11； x2t_ =x2t / . DSolvex2t= = - 0.8x2t，x20= =a20，x2t，t，1； a30=x21； aa= DSolvex31t= = -（0.8+0.42k）x31t，x310= =a30，x31t，t，； x31t_ =x31t/aa1； a31=x312/3； x32t_ =x32t / . DSolvex32t= = -0.8x32t，x322/3= =a31，x32t，t，1； a40=x321； x41t_ =x41t

10、 /.DSolvex41t= =-(0.8+k)x41t,x410= =a40,x41t，t,1； a41=x412/3； x42t_ =x42t /.DSolvex42t= =-0.8x42t，x422/3= =a41，x42t，t,1； nn=1.109*105*（0.5a31+a41）； a10=a10 / . Solvenn*1.22*1011/(1.22*1011+nn)= =a10，a10，2； t3=Integrate0.42*k*x31t，t，0，2/3； t4=Integratek*x41t，t，0，2/3； totalk_ ：= 17.86*t3+22.99*t4； Plottotalk，k，0，35；ans=FindMinimum-totalk，k，17； k=k / . ans2；Printk=，Nk，16，total=，N-ans1，16； PrintNa10，16；PrintNa20，16；PrintNa30，16；PrintNa40，16；結(jié)果分析 用Mathematica軟件編程解微分方程組，先求得一元函數(shù)total（k）的表達(dá)式，畫出total（k）函數(shù)的圖形。然后求出：k=17.3629時，最高年收獲量為total=3.887075517793442×1011（克），此時每年年初