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1、浙江省臺(tái)州市臨海市第六中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講解 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A;b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C變形形式a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;sin A,sin B,sin C;abcsin_Asin_Bsin_C;.cos A;cos B;cos C.2.正弦定理解決的問(wèn)題有哪兩類?提示:(1)已知兩角和任一邊,求其他邊和角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角3余弦定理解決的問(wèn)題有哪三類?提示:(1)已知三邊,求各角;(2)已知兩邊和它
2、們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角;(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他角和邊溫馨提示:解斜三角形的類型:(1)已知兩角一邊,用正弦定理,有解時(shí),只有一解(2)已知兩邊及其一邊的對(duì)角,用正弦定理,有解的情況可分為以下情況,在ABC中,已知a、b和角A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角圖形關(guān)系式absin Absin Aababab解個(gè)數(shù)一解兩解一解一解上表中A為銳角時(shí),absin A時(shí),無(wú)解;A為鈍角時(shí),ab,ab均無(wú)解(3)已知三邊,用余弦定理有解時(shí),只有一解(4)已知兩邊及夾角,用余弦定理,必有一解4三角形面積設(shè)ABC的三邊分別為a、b、c,所對(duì)的三個(gè)角分別為A、B、C,其面積為S.(1)S
3、ah(h為BC邊上的高);(2)Sabsin C.1(2013高考北京卷)在ABC中,a3,b5,sin A,則sin B()A.B.C. D1解析:選B.在ABC中,由正弦定理,得sin B.2在ABC中,若a18,b24,A45,則此三角形有()A無(wú)解 B兩解C一解 D解的個(gè)數(shù)不確定解析:選B.bsin A12ab.三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè)3(2014蘭州調(diào)研)在ABC中,a3,b2,cos C,則ABC的面積為()A3 B2C4 D.解析:選C.cos C,sin C,SABCabsin C324.4在ABC中,B60,b2ac,則ABC的形狀為_(kāi)解析:由余弦定理得b2a2c22accos 6
4、0ac,即a22acc20,ac.又B60,ABC為等邊三角形答案:等邊三角形5(2013高考安徽卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若bc2a,3sin A5sin B,則角C_.解析:由3sin A5sin B,得3a5b.又因?yàn)閎c2a,所以ab,cb,所以cos C.因?yàn)镃(0,),所以C.答案:利用正、余弦定理解三角形(2013高考山東卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且ac6,b2,cos B.(1)求a,c的值; (2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B,得b2(ac)22ac(1cos B),又b2,ac6
5、,cos B,所以ac9,解得a3,c3.(2)在ABC中,sin B,由正弦定理得sin A.因?yàn)閍c,所以A為銳角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.在解有關(guān)三角形的題目時(shí),要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合,或是兩個(gè)定理都要用,要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到1(2012高考浙江卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bsin Aacos B.(1)求角B的大小;(2)若b3,s
6、in C2sin A,求a,c的值解:(1)由bsin Aacos B及正弦定理,得sin Bcos B.所以tan B,所以B.(2)由sin C2sin A及,得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B,得9a2c2ac.所以a,c2.利用正、余弦定理判定三角形的形狀在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大??;(2)若sin Bsin C1,試判斷ABC的形狀解(1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A,故cos A,A
7、120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1,故sin Bsin C.因?yàn)?B90,0C90,故BC.所以ABC是等腰鈍角三角形判斷三角形的形狀,主要有如下兩種途徑:(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀;(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角函數(shù)恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論,在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解2(1)在ABC中,sin2(a,b,c分別為角A
8、,B,C的對(duì)邊),則ABC的形狀為_(kāi);(2)在ABC中,若basin C,cacos B,則ABC的形狀為_(kāi)解析:(1)sin2,cos A.由余弦定理,a2b2c2,ABC為直角三角形(2)由basin C可知sin C,由cacos B可知ca,整理得b2c2a2,即三角形一定是直角三角形,A90,sin Csin B,BC,故ABC為等腰直角三角形答案:(1)直角三角形(2)等腰直角三角形與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題(2013高考湖北卷)在ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是 a,b,c,已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大??;(2)若ABC的面積S5,b5,求sin Bsin
9、 C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1,得2cos2A3cos A20,即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因?yàn)?A,所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5,得bc20.又b5,所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021,所以a.從而由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化3在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acos2 ccos2 b.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;(2)若B60,b4,求ABC的面積解:(1)證明:acos2ccos2acb,則a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理,得sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B,即sin Asin Csin(
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