高三數(shù)學(xué)解正弦定理和余弦定理

1、浙江省臺(tái)州市臨海市第六中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講解 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C變形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.2.正弦定理解決的問題有哪兩類？提示：(1)已知兩角和任一邊，求其他邊和角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊和角3余弦定理解決的問題有哪三類？提示：(1)已知三邊，求各角；(2)已知兩邊和它

2、們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；(3)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他角和邊溫馨提示：解斜三角形的類型：(1)已知兩角一邊，用正弦定理，有解時(shí)，只有一解(2)已知兩邊及其一邊的對角，用正弦定理，有解的情況可分為以下情況，在ABC中，已知a、b和角A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角圖形關(guān)系式absin Absin Aababab解個(gè)數(shù)一解兩解一解一解上表中A為銳角時(shí)，absin A時(shí)，無解；A為鈍角時(shí)，ab，ab均無解(3)已知三邊，用余弦定理有解時(shí)，只有一解(4)已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解4三角形面積設(shè)ABC的三邊分別為a、b、c，所對的三個(gè)角分別為A、B、C，其面積為S.(1)S

3、ah(h為BC邊上的高)；(2)Sabsin C.1(2013高考北京卷)在ABC中，a3，b5，sin A，則sin B()A.B.C. D1解析：選B.在ABC中，由正弦定理，得sin B.2在ABC中，若a18，b24，A45，則此三角形有()A無解 B兩解C一解 D解的個(gè)數(shù)不確定解析：選B.bsin A12ab.三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè)3(2014蘭州調(diào)研)在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為()A3 B2C4 D.解析：選C.cos C，sin C，SABCabsin C324.4在ABC中，B60，b2ac，則ABC的形狀為_解析：由余弦定理得b2a2c22accos 6

4、0ac，即a22acc20，ac.又B60，ABC為等邊三角形答案：等邊三角形5(2013高考安徽卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角C_.解析：由3sin A5sin B，得3a5b.又因?yàn)閎c2a，所以ab，cb，所以cos C.因?yàn)镃(0，)，所以C.答案：利用正、余弦定理解三角形(2013高考山東卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6

5、，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因?yàn)閍c，所以A為銳角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到1(2012高考浙江卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大??；(2)若b3，s

6、in C2sin A，求a，c的值解：(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.利用正、余弦定理判定三角形的形狀在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大??；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀解(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A

7、120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因?yàn)?B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰鈍角三角形判斷三角形的形狀，主要有如下兩種途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論，在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解2(1)在ABC中，sin2(a，b，c分別為角A

8、，B，C的對邊)，則ABC的形狀為_；(2)在ABC中，若basin C，cacos B，則ABC的形狀為_解析：(1)sin2，cos A.由余弦定理，a2b2c2，ABC為直角三角形(2)由basin C可知sin C，由cacos B可知ca，整理得b2c2a2，即三角形一定是直角三角形，A90，sin Csin B，BC，故ABC為等腰直角三角形答案：(1)直角三角形(2)等腰直角三角形與三角形面積有關(guān)的問題(2013高考湖北卷)在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是 a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大??；(2)若ABC的面積S5，b5，求sin Bsin

9、 C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因?yàn)?A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，所以a.從而由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2 ccos2 b.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若B60，b4，求ABC的面積解：(1)證明：acos2ccos2acb，則a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理，得sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即sin Asin Csin(