應(yīng)用高斯公式計(jì)算下列曲面積分

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1. 應(yīng)用高斯公式計(jì)算下列曲面積分：（1），其中S是單位球面的外側(cè)；（2），其中S是立方體表面的外側(cè)；（3），其中S是錐面與平面z=h所圍空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè)；（4），其中S是單位球面的外側(cè)；（5），其中S是單位球面的外側(cè)。分析：記住高斯公式，其中S 取外側(cè)解： （1）因?yàn)?，所以?） （3），由柱面坐標(biāo)變換知 原式（4） （5）：增補(bǔ)平面使之成為一封閉體，并取下側(cè)為正側(cè)， 原式2應(yīng)用高斯公式計(jì)算三重積分 ，其中V由與所確定的空間區(qū)域。分析：空間區(qū)域V如圖：解： 原式3應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中L為與三坐標(biāo)面的交線，它的走向使所圍平面區(qū)域上側(cè)

2、在曲線的左側(cè)；（2），其中L為所交的橢圓的正向.(3) ,其中L為以為頂點(diǎn)的三角形沿ABCA的方向.分析：斯托克斯公式給出了雙側(cè)曲面積分與曲面邊界的曲線積分的關(guān)系，即 其中S 的側(cè)與 L 的方向按右手定則解 (1)記L為曲面S:的邊界,如圖由斯托克斯公式知原式且 同理故原積分=0(2)視L為該橢圓的邊界,則 原式=由于曲面上任一點(diǎn)處的發(fā)向量 中的，從而由定義知，因此，原式=0.(3) 4.求下列全微分的原函數(shù):(1);(2)分析：（1）因?yàn)?，而，所以在?nèi)是某一函數(shù)的全微分解： (1) 因,故原函數(shù)為: (2)分析：因?yàn)?，而，所以在?nèi)是某一函數(shù)的全微分。解法1：任取，則，其中為任意常數(shù)解法2:由

3、于故原函數(shù)為5.驗(yàn)證下列線積分與路線無關(guān),并計(jì)算其值;(1);(2),其中在球面上.分析：要驗(yàn)證線積分與路線無關(guān)，只需要驗(yàn)證被積表達(dá)式是某二元函數(shù)的全微分，即或驗(yàn)證解： (1)因在內(nèi)有,所以所給曲線積分與路線無關(guān),從而 原積分(2)因在內(nèi)有所以,所給曲線積分與路線無關(guān),且6.證明：由曲面S所包圍的立體V的體積為其中為曲面S的外法線方向余弦。分析：再利用高斯公式證明：故原公式成立.7.證明:若S為封閉曲面,為任何固定方向,則 其中n為曲面S的外法線方向.分析：若為曲面S的外法線方向余弦，有再利用高斯公式證明： 設(shè)N和的方向余弦分別是和,則由一.二型曲面積分之間的關(guān)系可得=由的方向固定, 都是常數(shù),故,由奧高公式得原式=8.證明公式 .其中s是包圍V的曲面,n是s的外法線方向, 分析： 因?yàn)槎?則由第一.二型曲面積分的關(guān)系及奧高公式可得。證明： 故公式成立.9.若L是平面上的閉曲線,它所包圍區(qū)域的面積為S,求 其中L依正向進(jìn)行.分